Ricerca dell'inverso in un quoziente di polinomi

[KatieP]

Ho il quoziente $(Z_2[x])/(((x+1)^3))$ e mi viene chiesto di trovare l'inverso di $x^2 + I$ dove $I= ((x+1)^3))$
Ho svolto la divisione euclidea tra il generatore e $x^2$ ma ottengo come resto soltanto $x+1$ che è il rappresentante di un divisore dello zero e non è invertibile nel mio anello. Non avrei dovuto ottenere, come ultimo resto diverso da zero, 1 o un elemento ad esso associato? In questo caso come faccio a trovare l'inverso ?

[killing_buddha]

Gli elementi invertibili di \(R/I\) sono quelli coprimi coi generatori di $I$; nel tuo caso il generatore è uno solo, e se $I=(a)$, e scrivi $a(x)p(x)+q(x)b(x)=1$, l'inverso di $b(x)$ è $q(x)$.

[KatieP]

Appunto, per trovare $a(x)$ e $b(x)$ dovrei fare la divisione euclidea e ottenere resto 1 o associato a 1. Qui ottengo come resto un divisore dello zero. Non so cosa sbaglio.