Ricapitolazione esercizi
Allora, ragazzi, purtroppo ho avuto dei problemi e non sono riuscito a connetermi prima; faccio quindi qui una ricapitolazione degli esercizi a cui devo trovare una soluzione; di alcuni l'ho trovata e ve la posto; si accettano consigli, critiche, aiuti, qualora li vogliate fare....
1) Dai un esempio di un gruppo abeliano e uno non abeliano con automorfo isomorfico
2) Provare cha $Aut(Z_2+Z_4)$ è isomorfo a $D_8$
3) MOstrare che nessun gruppo pu; avere il suo gruppo degli automorfi ciclico di ordine dispari.
4) Sia $Q_p$ il gruppo additivo dei numeri razionali della forma $m*p^n$ con m ed n in Z e p primo fissato. Descrivere $EndQ_p$ e $AutQ_p$
5) Se m ed n sono coprimi allora il gruppo ciclico di ordine mn è isomorfo al prodotto di un gruppo ciclico di ordine m e uno di ordine n
6) Se p è primo , allora l'automorfo di un gruppo ciclico di ordine p è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine p-1
7) se p è primo allora $a=b (modp)$ implica $a^(p^(n-1))=b^(p^(n-1))modp^n$.
Allora, sto scrivendo a poco alla volta le soluzioni....
1) Dai un esempio di un gruppo abeliano e uno non abeliano con automorfo isomorfico
2) Provare cha $Aut(Z_2+Z_4)$ è isomorfo a $D_8$
3) MOstrare che nessun gruppo pu; avere il suo gruppo degli automorfi ciclico di ordine dispari.
4) Sia $Q_p$ il gruppo additivo dei numeri razionali della forma $m*p^n$ con m ed n in Z e p primo fissato. Descrivere $EndQ_p$ e $AutQ_p$
5) Se m ed n sono coprimi allora il gruppo ciclico di ordine mn è isomorfo al prodotto di un gruppo ciclico di ordine m e uno di ordine n
6) Se p è primo , allora l'automorfo di un gruppo ciclico di ordine p è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine p-1
7) se p è primo allora $a=b (modp)$ implica $a^(p^(n-1))=b^(p^(n-1))modp^n$.
Allora, sto scrivendo a poco alla volta le soluzioni....
Risposte
1) Avevo pensato a $Z_2 x Z_3$ e D_3: $Z_2 x Z_3$ è di ordine 6 così come $D_3$. Inizio con l'osservare che il primo gruppo è abeliano, mentre il secondo no. A questo punto devo trovare gli automorfismi dei due gruppi per provare che questi sono isomorfi.(le applicazioni da verificare sono circa 36????)
(è successo un imprevisto, domani inserisco gli altri; nel frattempo, vedete, se volte 1))
(è successo un imprevisto, domani inserisco gli altri; nel frattempo, vedete, se volte 1))
"biggest":Clic.
1) Dai un esempio di un gruppo abeliano e uno non abeliano con automorfo isomorfico
2) Provare cha $Aut(Z_2+Z_4)$ è isomorfo a $D_8$Clic.
3) MOstrare che nessun gruppo pu; avere il suo gruppo degli automorfi ciclico di ordine dispari.Clic.
4) Sia $Q_p$ il gruppo additivo dei numeri razionali della forma $m*p^n$ con m ed n in Z e p primo fissato. Descrivere $EndQ_p$ e $AutQ_p$Clic.
5) Se m ed n sono coprimi allora il gruppo ciclico di ordine mn è isomorfo al prodotto di un gruppo ciclico di ordine m e uno di ordine nClic.
6) Se p è primo , allora l'automorfo di un gruppo ciclico di ordine p è isomorfo ad un gruppo ciclico di ordine p-1Clic.
7) se p è primo allora $a=b (modp)$ implica $a^(p^(n-1))=b^(p^(n-1))modp^n$.Clic.
[mod="Martino"]Riepilogo effettuato. Chiudo questo argomento, invitandoti a discutere dei singoli problemi nei rispettivi argomenti da te aperti. Attenzione in futuro. Grazie.[/mod]
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