Reticolo degli ideali

[perplesso1]

Fino ad ora ero convinto che dato un poset $P$ l'insieme $Id(P)$ dei suoi ideali ordinato mediante la relazione di inclusione dovesse essere un reticolo completo, con le operazioni insiemistiche di unione e intersezione di ideali. Ora però leggo su planetmath http://planetmath.org/encyclopedia/IdealCompletion.html che "In general, the ideal completion of a poset is not a complete lattice." ma non capisco il perchè. Intersezioni arbitrarie di ideali non dovrebbere essere ancora ideali ?? inoltre mi risulta che il reticolo $Id(P)$ è dotato di massimo $P$ e quindi dall'esistenza delle intersezioni dovrebbe seguire automaticamente quella delle unioni arbitrarie. Che cosa sto sbagliando? grazie per la pazienza...

[perplesso1]

Mi rispondo da solo. Sono stato ingannato dal fatto che le note di J.B. Nation che stavo leggendo definiscono "ideale" quello che in genere viene chiamato downset. Mentre per gli autori di quella pagina di Planetmath un ideale è un downset diretto. E purtroppo intersezioni arbitrarie di insiemi diretti non sempre sono dirette. Risolto, grazie, ciao a tutti. xD