Reticoli
Salve ragazzi,
non ho capito bene come faccio in maniera pratica a stabilire se un diagramma è un reticolo oppure no.
Ho letto la seguente definizione di reticolo:
Un insieme parzialmente ordinato $(A, <=)$ si dice reticolo se per ogni $a, b$ di $A$ il sottoinsieme ${a, b}$ di $A$ ammette estremo inferiore ed estremo superiore.
Si pone per comodità:
sup$({a, b}) = a vvv b$
inf$({a, b}) = a ^^^ b$.
Vi propongo due esempi su cui sto cercando di capire come va applicata la definizione:
Esempio 1:
Sia $A = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}$ munita della relazione $<=$ data dal diagramma
stabilire se è reticolo oppure no.
Esempio 2:
Sia $A = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}$ munita della relazione $<=$ data dal diagramma
stabilire se è reticolo oppure no.
Devo calcolare l'inf ed il sup solo delle coppie di elementi che sono in relazione tra loro oppure di tutte le coppie?
non ho capito bene come faccio in maniera pratica a stabilire se un diagramma è un reticolo oppure no.
Ho letto la seguente definizione di reticolo:
Un insieme parzialmente ordinato $(A, <=)$ si dice reticolo se per ogni $a, b$ di $A$ il sottoinsieme ${a, b}$ di $A$ ammette estremo inferiore ed estremo superiore.
Si pone per comodità:
sup$({a, b}) = a vvv b$
inf$({a, b}) = a ^^^ b$.
Vi propongo due esempi su cui sto cercando di capire come va applicata la definizione:
Esempio 1:
Sia $A = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}$ munita della relazione $<=$ data dal diagramma
stabilire se è reticolo oppure no.
Esempio 2:
Sia $A = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}$ munita della relazione $<=$ data dal diagramma
stabilire se è reticolo oppure no.
Devo calcolare l'inf ed il sup solo delle coppie di elementi che sono in relazione tra loro oppure di tutte le coppie?
Risposte
Io direi di no: se nel diagramma due elementi [tex]x,y[/tex] sono confrontabili secondo [tex]\leqslant[/tex] è allora ovvio che [tex]\sup\{x,y\}[/tex] è il maggiore tra i due elementi sencondo la relazione d'ordine e [tex]\inf\{x,y\}[/tex] è il minore secondo la relazione d'ordine. Lo stesso discorso vale per parti di [tex]A[/tex] con più di due elementi: il problema lo portano quindi gli elementi non confrontabili.
Se nel primo diagramma io prendo gli elementi [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex] noto che l'insieme dei maggioranti non ha minimo perché non posso dire in che ordine si trovano [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex]; se prendo [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex] allora noto che l'insieme dei minoranti non ha massimo perché non posso stabilire in che ordine si trovano [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex].
Nel secondo diagramma invece posso stabilirlo perché se prendo [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex] l'insieme dei maggioranti è costituito dai soli [tex]4[/tex] e [tex]6[/tex] con [tex]4\leqslant 6[/tex].
Lo stesso discorso vale per [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex] ma riferito ai minoranti.
Se nel primo diagramma io prendo gli elementi [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex] noto che l'insieme dei maggioranti non ha minimo perché non posso dire in che ordine si trovano [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex]; se prendo [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex] allora noto che l'insieme dei minoranti non ha massimo perché non posso stabilire in che ordine si trovano [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex].
Nel secondo diagramma invece posso stabilirlo perché se prendo [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex] l'insieme dei maggioranti è costituito dai soli [tex]4[/tex] e [tex]6[/tex] con [tex]4\leqslant 6[/tex].
Lo stesso discorso vale per [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex] ma riferito ai minoranti.
Ah perfetto, ho capito dove sbagliavo! Praticamente nell'insieme dei maggioranti (risp. minoranti) devo metterci solo gli elementi che sono in relazione con tutti gli elementi del sottoinsieme ${a, b}$ di cui voglio calcolare il sup (risp. inf).
E' esatta questa mia osservazione?
O.T. Buon Natale
E' esatta questa mia osservazione?
O.T. Buon Natale
Per forza: se cerchi i maggioranti di [tex]\{a,b\}[/tex] allora ti servono elementi [tex]\geqslant[/tex] di [tex]a[/tex] ed anche di [tex]b[/tex].
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