Reticoli
Salve ragazzi,
non ho capito bene come faccio in maniera pratica a stabilire se un diagramma è un reticolo oppure no.
Ho letto la seguente definizione di reticolo:
Un insieme parzialmente ordinato $(A, <=)$ si dice reticolo se per ogni $a, b$ di $A$ il sottoinsieme ${a, b}$ di $A$ ammette estremo inferiore ed estremo superiore.
Si pone per comodità:
sup$({a, b}) = a vvv b$
inf$({a, b}) = a ^^^ b$.
Vi propongo due esempi su cui sto cercando di capire come va applicata la definizione:
Esempio 1:
Sia $A = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}$ munita della relazione $<=$ data dal diagramma
stabilire se è reticolo oppure no.
Esempio 2:
Sia $A = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}$ munita della relazione $<=$ data dal diagramma
stabilire se è reticolo oppure no.
Devo calcolare l'inf ed il sup solo delle coppie di elementi che sono in relazione tra loro oppure di tutte le coppie?
non ho capito bene come faccio in maniera pratica a stabilire se un diagramma è un reticolo oppure no.
Ho letto la seguente definizione di reticolo:
Un insieme parzialmente ordinato $(A, <=)$ si dice reticolo se per ogni $a, b$ di $A$ il sottoinsieme ${a, b}$ di $A$ ammette estremo inferiore ed estremo superiore.
Si pone per comodità:
sup$({a, b}) = a vvv b$
inf$({a, b}) = a ^^^ b$.
Vi propongo due esempi su cui sto cercando di capire come va applicata la definizione:
Esempio 1:
Sia $A = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}$ munita della relazione $<=$ data dal diagramma
stabilire se è reticolo oppure no.
Esempio 2:
Sia $A = {1, 2, 3, 4, 5 ,6}$ munita della relazione $<=$ data dal diagramma
stabilire se è reticolo oppure no.
Devo calcolare l'inf ed il sup solo delle coppie di elementi che sono in relazione tra loro oppure di tutte le coppie?
Risposte
Domande: l'insieme [tex]\mathbb{N}[/tex] ordinato per divisibilità è un insieme totalmente ordinato? È un reticolo?
$NN$ secondo me non è totalmente ordinato per divisibilità perchè ad esempio 3 non divide 4
Bene. Ed è un retciolo?
Si, perchè la relazione d'ordine è parziale..giusto?
È un reticolo perché secondo la relazione di divisibilità [tex]\sup\{a,b\}=\text{lcm}(a,b)[/tex] e [tex]\inf\{a,b\}=\gcd(a,b)[/tex] che, ovviamente, sono numeri naturali. Questo per capire cosa? Per capire che pur potendosi avere [tex]a,b[/tex] non confrontabili per divisibilità (l'esempio lo hai fatto tu), [tex]\sup[/tex] e [tex]\inf[/tex] esistono.
A questo punto la risposta alla domanda iniziale è...
A questo punto la risposta alla domanda iniziale è...
"WiZaRd":
A questo punto la risposta alla domanda iniziale è...
A quale domanda?
"xsl":
Devo calcolare l'inf ed il sup solo delle coppie di elementi che sono in relazione tra loro oppure di tutte le coppie?
Se non ricordi le domande che tu stesso fai...
Ah scusami 
La risposta a questo punto è si, devo calcolarli per ogni coppia..
Ma in base alla relazione $<=$ per calcolare inf e sup devo usare le rispettive definizioni?
La risposta a questo punto è si, devo calcolarli per ogni coppia..
Ma in base alla relazione $<=$ per calcolare inf e sup devo usare le rispettive definizioni?
Se disponi delle definizioni delle relazioni d'ordine sì. Ma in questo caso, se gli esercizi che hai postato sono completi, allora devi ricorrere semplicemente allo studio dei diagrammi.
Completi in che senso?
Io ho inteso che tu chiedevi se dovevi trovare [tex]\inf[/tex] e [tex]\sup[/tex] a seconda di come fosse definita la relazione d'ordine, al che, guardando gli esercizi e non trovando come queste relazioni fossero definite esplicitamente, ho detto che se le consegne quelle sono e non c'è altro, allora devi guardare i diagrammi per capire chi sono [tex]\inf[/tex] e [tex]\sup[/tex].
Si gli esercizi non specificano altro! Purtroppo mi sono accorto che la dispensa da cui li ho presi mi dice che il primo non è un reticolo mentre il secondo si! Come è possibile? Eppure graficamente sono simili...
Che siano simili non significa mica che gli ordinamenti sono uguali.
Secondo te perché il primo non è un reticolo?
Secondo te perché il primo non è un reticolo?
Sono sincero, non ne ho idea..
Ricordi la definizione di [tex]\sup[/tex]?
Si, l'estremo superiore è l'elemento più piccolo tra i maggioranti (almeno, questo ha detto il prof.)
E guardando per sempio [tex]2[/tex] e [tex]3[/tex] non c'è qualcosa che non ti torna...
Allora, i maggioranti dovrebbero essere: 4, 5 e 6 ma non posso stabilire il sup...giusto?
Esatto: non trovi il [tex]\sup[/tex] perché non trovi il [tex]\min[/tex] di quei maggioranti.
Ok...però la stessa situazione si verifica anche nel caso del secondo esempio?
Se no, dove sbaglio?
Se no, dove sbaglio?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo