Residui quadratici

[jJjjJ1]

Sono proprio una schiappa in teoria dei numeri, ho iniziato ora, quindi scusate in anticipo per le domande demenziali.

Ho questo esercizio: determinare se \(\displaystyle 3k + 2 \), con un opportuno k intero, è un quadrato perfetto.

Il mio ragionamento è stato questo, se n è il quadrato perfetto, allora \(\displaystyle n = 3k + 2 \) è la divisione con resto di n/3, il resto è 2, perciò \(\displaystyle 3k + 2 \) non può essere un quadrato perfetto perché i residui quadratici di 3 sono [0] e [1]. E' esatto?

[dan952]

In sostanza ciò che hai detto è giusto infatti 2 non è un residuo quadratico modulo 3, facile verificarlo con il simbolo di Legendre facendo uso di alcune sue proprietà (es. $ (2/p)=(-1)^((p^2-1)/8) $ che per $p-=1$ o $7 mod 8$ fa $1$ ovvero $2$ è un residuo quadratico modulo $p$ e per $p-=3$ o $5mod8$ fa $-1$ cioè $2$ è un non-residuo quadratico modulo $p$, nel nostro caso $p=3$ e quindi $3-=3mod8$, che era quello che volevamo verificare).