Relazioni tra numeri reali
Rieccomi! Scusate ma sto avendo difficoltà a capire questi benedetti esercizi:
2. Per ognuna delle seguenti relazioni definite in \(\displaystyle \mathbb {R} \) (nell'universo dei numeri Reali), si dica se è del tipo indicato e, in caso negativo, si elenchino tutte le proprietà che esse non soddisfano.
B. relazione che accoppia numeri con stessa radice quadrata
a. è un'equivalenza
b. non è un'equivalenza perché non gode della/e proprietà:_____________________________________
E. relazione che accoppia tutti i numeri irrazionali
a. è un'equivalenza
b. non è un'equivalenza perché non gode della/e proprietà:_____________________________________
B.
Da come la vedo io è d'equivalenza, perché la relazione r data è, a mio parere:
r = {(x,y) : \(\displaystyle \sqrt {x} \) = \(\displaystyle \sqrt {y} \) }
\(\displaystyle \sqrt {x} \) = \(\displaystyle \sqrt {y} \) implica che x = y, di conseguenza è un'uguaglianza, e quindi una relazione d'equivalenza.
Però la risposta corretta, secondo le soluzioni, è b, perché non gode della proprietà riflessiva.
Qualcuno potrebbe spiegarmi perché non gode della proprietà riflessiva ?
E.
Questa relazione che accoppia tutti gli irrazionali come \(\displaystyle \sqrt {2} \), \(\displaystyle \pi \), e
a mio giudizio è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Infatti abbiamo:
r: \(\displaystyle \mathbb {R} \) -> \(\displaystyle \mathbb {R} \)
r = {(x,y) : x e y sono irrazionali}
di conseguenza mi pare ovvio che ogni elemento x è in relazione anche con se stesso.
Però, anche in questo caso, la risposta corretta non è quella che penso (la a, cioè d'equivalenza), ma è la b, perché, secondo la prof, la relazione data non è riflessiva.
Stesso problema di prima.
[size=150]HELP!!![/size]
2. Per ognuna delle seguenti relazioni definite in \(\displaystyle \mathbb {R} \) (nell'universo dei numeri Reali), si dica se è del tipo indicato e, in caso negativo, si elenchino tutte le proprietà che esse non soddisfano.
B. relazione che accoppia numeri con stessa radice quadrata
a. è un'equivalenza
b. non è un'equivalenza perché non gode della/e proprietà:_____________________________________
E. relazione che accoppia tutti i numeri irrazionali
a. è un'equivalenza
b. non è un'equivalenza perché non gode della/e proprietà:_____________________________________
B.
Da come la vedo io è d'equivalenza, perché la relazione r data è, a mio parere:
r = {(x,y) : \(\displaystyle \sqrt {x} \) = \(\displaystyle \sqrt {y} \) }
\(\displaystyle \sqrt {x} \) = \(\displaystyle \sqrt {y} \) implica che x = y, di conseguenza è un'uguaglianza, e quindi una relazione d'equivalenza.
Però la risposta corretta, secondo le soluzioni, è b, perché non gode della proprietà riflessiva.
Qualcuno potrebbe spiegarmi perché non gode della proprietà riflessiva ?
E.
Questa relazione che accoppia tutti gli irrazionali come \(\displaystyle \sqrt {2} \), \(\displaystyle \pi \), e
a mio giudizio è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Infatti abbiamo:
r: \(\displaystyle \mathbb {R} \) -> \(\displaystyle \mathbb {R} \)
r = {(x,y) : x e y sono irrazionali}
di conseguenza mi pare ovvio che ogni elemento x è in relazione anche con se stesso.
Però, anche in questo caso, la risposta corretta non è quella che penso (la a, cioè d'equivalenza), ma è la b, perché, secondo la prof, la relazione data non è riflessiva.
Stesso problema di prima.
[size=150]HELP!!![/size]
Risposte
Cominciamo dalla E. Non è riflessiva perché \(\displaystyle r\sim q \) è falso per \(\displaystyle q\in\mathbb{Q} \) e \(\displaystyle r\in\mathbb{R} \). La relazione infatti definisce un singolo insieme, non una partizione.
Riguardo alla \(\displaystyle B \) trovo la soluzione del professore un po' discutibile. Infatti ho l'impressione che supponga che la radice quadrata non sia definita nei numeri negativi (cosa assolutamente accettabile), ma in quel caso parlerei di relazione mal definita perché nella definizione usa una operazione che non è definita sull'intero insieme.
Riguardo alla \(\displaystyle B \) trovo la soluzione del professore un po' discutibile. Infatti ho l'impressione che supponga che la radice quadrata non sia definita nei numeri negativi (cosa assolutamente accettabile), ma in quel caso parlerei di relazione mal definita perché nella definizione usa una operazione che non è definita sull'intero insieme.
Nella E, abbiamo una relazione parziale, il cui dominio è, anche se non specificato, non è l'intero campo di studio R, ma un suo sottoinsieme, bensì l'insieme dei numeri irrazionali. Infatti la relazione accoppia tutti i numeri irrazionali, di conseguenza avremo il dominio e il codominio uguali all'insieme dei numeri irrazionali.
È corretto ?
È corretto ?
Penso che tu abbia compreso il concetto, ma stia usando la terminologia sbagliata. Quella è effettivamente una relazione parziale, ma essere parziale non impedisce ad una relazione di essere di equivalenza. Infatti una relazione di equivalenza è quasi sempre una relazione parziale. Inoltre non userei la terminologia delle funzioni per le relazioni (a meno che il tuo professori non la usi). Dovresti rafforzare la tua comprensione sulle definizioni e sui loro legami.
Detto questo, la mia spiegazione è assolutamente formale, quindi non necessita di essere riformulata.
Detto questo, la mia spiegazione è assolutamente formale, quindi non necessita di essere riformulata.
Si stavo facendo confusione tra relazione e funzione, la quale è una particolare relazione.
Quindi se una relazione è definita in un certo insieme, ma elementi di quell'insieme non possono essere inclusi nella relazione data, questa, automaticamente non è riflessiva.
Quindi se una relazione è definita in un certo insieme, ma elementi di quell'insieme non possono essere inclusi nella relazione data, questa, automaticamente non è riflessiva.
Una relazione non è riflessiva se esiste almeno un elemento che non è in relazione con se stesso. Non è difficile da verificare, devi solo stare attento a non fermarti alla prima impressione.
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