Relazioni: Ingettività, Surgettività
Salve a tutti,
ho il segunente funzione:
$f: NN rarr QQ$
Così definita:
$AAx in NN$ $f(x)=5/(x+2)$
Devo dimostrare che è ingettiva ma non surgettiva.
Per l'ingettività devo dimostrare questa formula:
$AA x_1,x_2 in NN$ $f(x_1) = f(x_2)$ $rarr$ $x_1=x_2$
Ovvero ponendo $f(x_1)=f(x_2)$ devo ottenere $x_1=x_2$
quindi:
$5/(x_1+2) = 5/(x_2+2)$
ovvero:
$1/(x_1+2) = 1/(x_2+2)$
Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
ho il segunente funzione:
$f: NN rarr QQ$
Così definita:
$AAx in NN$ $f(x)=5/(x+2)$
Devo dimostrare che è ingettiva ma non surgettiva.
Per l'ingettività devo dimostrare questa formula:
$AA x_1,x_2 in NN$ $f(x_1) = f(x_2)$ $rarr$ $x_1=x_2$
Ovvero ponendo $f(x_1)=f(x_2)$ devo ottenere $x_1=x_2$
quindi:
$5/(x_1+2) = 5/(x_2+2)$
ovvero:
$1/(x_1+2) = 1/(x_2+2)$
Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
Risposte
NB: ho aperto un thread ad hoc su questo OT nella sezione "Generale". Invito chi vuole continuare la discussione a farlo la.
@Neptune
Cioè [tex]x\mapsto x^{2}+5x-10[/tex] non è un'applicazione?
Il tuo amico ha cercato di provare l'iniettività mostrando che da [tex]f(x_{1})=f(x_{2})[/tex] segue che [tex]x_{1}=x_{2}[/tex]: credo proprio che da [tex]x_{1}^{2}+5x_{1}-10=x_{2}^{2}+5x_{2}-10[/tex] non segua [tex]x_{1}=x_{2}[/tex].
Cioè [tex]x\mapsto x^{2}+5x-10[/tex] non è un'applicazione?
Il tuo amico ha cercato di provare l'iniettività mostrando che da [tex]f(x_{1})=f(x_{2})[/tex] segue che [tex]x_{1}=x_{2}[/tex]: credo proprio che da [tex]x_{1}^{2}+5x_{1}-10=x_{2}^{2}+5x_{2}-10[/tex] non segua [tex]x_{1}=x_{2}[/tex].
"WiZaRd":
@Neptune
Cioè [tex]x\mapsto x^{2}+5x-10[/tex] non è un'applicazione?
Il tuo amico ha cercato di provare l'iniettività mostrando che da [tex]f(x_{1})=f(x_{2})[/tex] segue che [tex]x_{1}=x_{2}[/tex]: credo proprio che da [tex]x_{1}^{2}+5x_{1}-10=x_{2}^{2}+5x_{2}-10[/tex] segua [tex]x_{1}=x_{2}[/tex].
Ma precedentemente avevamo dimostrato che non è ingettiva, come anche l'esercizio pressupponeva di dimostrare che non lo è. Cioè avevamo detto che, riuscendoci a ricavare da una $y$ due $x$ allora questa non era ingettiva.
Però effettivamente è un applicazione perchè "estraiamo" due radici diverse.
Sì, hai ragione, errore mio: mi sono dimenticato un non prima dell'ultima formula. Chiedo scusa. Correggo subito.
Ad ogni modo per vedere che è un'applicazione non devi basarti sul fatto che nei precedenti post avevamo trovato due radici: per renderti conto che è un'applicazioni devi assicurarti che per ogni elemento del dominio vi sia uno ed un solo corrispondente.
Ad ogni modo per vedere che è un'applicazione non devi basarti sul fatto che nei precedenti post avevamo trovato due radici: per renderti conto che è un'applicazioni devi assicurarti che per ogni elemento del dominio vi sia uno ed un solo corrispondente.
"WiZaRd":
Sì, hai ragione, errore mio: mi sono dimenticato un non prima dell'ultima formula. Chiedo scusa. Correggo subito.
Ad ogni modo per vedere che è un'applicazione non devi basarti sul fatto che nei precedenti post avevamo trovato due radici: per renderti conto che è un'applicazioni devi assicurarti che per ogni elemento del dominio vi sia uno ed un solo corrispondente.
Quello che sosteniamo noi è:
Chiamiamo $x$ un generico elemento del dominio e $y$ un generico elemento del codominio;
Se in quella formula metto una generica $y$ avrò due generiche $x$, o viceversa posso anche dire che ci sono due $x$ con la stessa immagine. Ma una relazione per essere funzionale non doveva essere verificata la regola che: "Ogni elemento del dominio deve essere in relazione con un solo elemento del codominio" ?
Ovvero: $AA x in A EE$$|$$y in B$ t.c $aRb$ ? ove ovviamente stiamo parlando di una relazione da $A rarr B$.
P.S: Non riesco a trovare nelle formule matematiche il simbolo di "esiste ed è uno solo" ovvero la $EE$ con la sbarretta accanto..
Il simbolo di esistenza ed unicità mi pare non sia contemplato dal MathML, ma anche col TeX occorre ricorrere all'uso del quantificatore affiancato da un altro simbolo: la barra verticale pare un tale che, usa il punto esclamativo: [tex]\exists ![/tex] ed $\exists !$.
Chiariamo poi di quale formula stiamo parlando. Stiamo parlando di questa: (*) [tex]y=x^{2}+5x-10[/tex]?
Se sì, io non vedo il problema dov'è? Tu mi dici, se scelgo [tex]y[/tex] trovo due [tex]x[/tex]! Embé: [tex]y[/tex] è un elemento del codominio e la definizione di applicazione non ti vieta nemmeno di poter trovare infite [tex]x[/tex] per una data [tex]y[/tex]. Pensa ad una applicazione costante: [tex]g(\cdot)\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x \mapto 6[/tex]; quante [tex]x[/tex] hanno come immagine [tex]6[/tex]? Risposta: infinite.
Il punto è: quante immagini ha una data [tex]x[/tex]? Risposta: una sola. Se io scelgo una certa [tex]x[/tex], con la (*) mi posso calcolare una sola [tex]y[/tex], non una in più, non una in meno.
Chiariamo poi di quale formula stiamo parlando. Stiamo parlando di questa: (*) [tex]y=x^{2}+5x-10[/tex]?
Se sì, io non vedo il problema dov'è? Tu mi dici, se scelgo [tex]y[/tex] trovo due [tex]x[/tex]! Embé: [tex]y[/tex] è un elemento del codominio e la definizione di applicazione non ti vieta nemmeno di poter trovare infite [tex]x[/tex] per una data [tex]y[/tex]. Pensa ad una applicazione costante: [tex]g(\cdot)\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x \mapto 6[/tex]; quante [tex]x[/tex] hanno come immagine [tex]6[/tex]? Risposta: infinite.
Il punto è: quante immagini ha una data [tex]x[/tex]? Risposta: una sola. Se io scelgo una certa [tex]x[/tex], con la (*) mi posso calcolare una sola [tex]y[/tex], non una in più, non una in meno.
"WiZaRd":
Il simbolo di esistenza ed unicità mi pare non sia contemplato dal MathML, ma anche col TeX occorre ricorrere all'uso del quantificatore affiancato da un altro simbolo: la barra verticale pare un tale che, usa il punto esclamativo: [tex]\exists ![/tex] ed $\exists !$.
Chiariamo poi di quale formula stiamo parlando. Stiamo parlando di questa: (*) [tex]y=x^{2}+5x-10[/tex]?
Se sì, io non vedo il problema dov'è? Tu mi dici, se scelgo [tex]y[/tex] trovo due [tex]x[/tex]! Embé: [tex]y[/tex] è un elemento del codominio e la definizione di applicazione non ti vieta nemmeno di poter trovare infite [tex]x[/tex] per una data [tex]y[/tex]. Pensa ad una applicazione costante: [tex]g(\cdot)\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x \mapto 6[/tex]; quante [tex]x[/tex] hanno come immagine [tex]6[/tex]? Risposta: infinite.
Il punto è: quante immagini ha una data [tex]x[/tex]? Risposta: una sola. Se io scelgo una certa [tex]x[/tex], con la (*) mi posso calcolare una sola [tex]y[/tex], non una in più, non una in meno.
Giusto ho fatto un pò di confusione effettivamente.
Altra domanda, vorrei approfondire la logica proposizionale ed i quantificatori un pò per conto mio (ossia anche se non fa parte dell'esame di matematica discreta mi premerebbe studiarla in maniera più apprfondita). Voi mi facevate notare dell'esistenza di un esame apposito, quindi esisteranno anche libri appositi che ne parlano dalla A alla Z? se si potreste farmi qualche titolo? (magari qualcosa la trovo usata, o in biblioteca)
Non so perchè questa mia fissazione, però già che li uso in larga scala forse è bene che li approfondisca, no?
Puoi usare gli appunti di G. Lolli (basta che lo cerchi con Google) oppure fare una lettura di Mendelson, Logica Matematica, Bollati Boringhieri od anche Enderton, A Mathematical Introduction To Logic (il secondo meglio del primo).
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