Relazioni: Ingettività, Surgettività
Salve a tutti,
ho il segunente funzione:
$f: NN rarr QQ$
Così definita:
$AAx in NN$ $f(x)=5/(x+2)$
Devo dimostrare che è ingettiva ma non surgettiva.
Per l'ingettività devo dimostrare questa formula:
$AA x_1,x_2 in NN$ $f(x_1) = f(x_2)$ $rarr$ $x_1=x_2$
Ovvero ponendo $f(x_1)=f(x_2)$ devo ottenere $x_1=x_2$
quindi:
$5/(x_1+2) = 5/(x_2+2)$
ovvero:
$1/(x_1+2) = 1/(x_2+2)$
Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
ho il segunente funzione:
$f: NN rarr QQ$
Così definita:
$AAx in NN$ $f(x)=5/(x+2)$
Devo dimostrare che è ingettiva ma non surgettiva.
Per l'ingettività devo dimostrare questa formula:
$AA x_1,x_2 in NN$ $f(x_1) = f(x_2)$ $rarr$ $x_1=x_2$
Ovvero ponendo $f(x_1)=f(x_2)$ devo ottenere $x_1=x_2$
quindi:
$5/(x_1+2) = 5/(x_2+2)$
ovvero:
$1/(x_1+2) = 1/(x_2+2)$
Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
Risposte
"WiZaRd":
Domanda: con [tex]C_{A}(X)[/tex] cosa indichi? Il complementare di [tex]X[/tex] in [tex]A[/tex]?
Essi, da quel che so è il complementare di X rispetto ad A, ovvero tutto ciò che in A non è X. Perchè esistono diverse interpretazioni?
Niente di particolare: è che esistono diverse notazione per indicare il complementare, e.g. [tex]\complement_{A} X, {}^{A}X, \bar{X}, X^{C}[/tex]
[tex]X[/tex] non è un sottoinsieme di [tex]\wp(A)[/tex] ma un elemento di [tex]\wp(A)[/tex]. Il dominio non si esplicita per gli elementi né per gli insiemi, al più il dominio si esplicita per le applicazioni, anche se una espressione del genere è alquanto infelice: volendo essere pignoli, un'applicazione è assegnata quando sono dati il dominio, il codominio e la "regola" che manda gli elementi del dominio il quelli del codominio. Inoltre, che sia [tex]X \in \wp(A)[/tex] ti viene detto quando la traccia dell'esercizio ti dice come è definita l'assegnazione dell'applicazione.
Oltre a confermare l'iniettività e la suriettività con un controllo diretto potevi giustificarla anche notando che, se [tex], X,Y \subseteq A \land X\neq Y[/tex] allora [tex]A\setminus X \neq A\setminus Y[/tex], quindi l'iniettività; inoltre [tex]\complement_{A}X := A \setminus X[/tex] ed ovviamente [tex]X \cap \complement_{A}X =\varnothing[/tex], sicché, posto [tex]B\equiv\complement_{A}X[/tex] si ha [tex]B\subseteq A[/tex] e [tex]\complement_{A}B=X[/tex], sicché l'applicazione è suriettiva.
Quando ti chiede di calcolare l'inversa devi solo indicare dominio e codominio dell'inversa (i.e. scrivere [tex]f^{-1}:\wp(A)\to\wp(A)[/tex]) e l'assegnazione, che è quella che hai scritto.
Oltre a confermare l'iniettività e la suriettività con un controllo diretto potevi giustificarla anche notando che, se [tex], X,Y \subseteq A \land X\neq Y[/tex] allora [tex]A\setminus X \neq A\setminus Y[/tex], quindi l'iniettività; inoltre [tex]\complement_{A}X := A \setminus X[/tex] ed ovviamente [tex]X \cap \complement_{A}X =\varnothing[/tex], sicché, posto [tex]B\equiv\complement_{A}X[/tex] si ha [tex]B\subseteq A[/tex] e [tex]\complement_{A}B=X[/tex], sicché l'applicazione è suriettiva.
Quando ti chiede di calcolare l'inversa devi solo indicare dominio e codominio dell'inversa (i.e. scrivere [tex]f^{-1}:\wp(A)\to\wp(A)[/tex]) e l'assegnazione, che è quella che hai scritto.
"WiZaRd":
[tex]X[/tex] non è un sottoinsieme di [tex]\wp(A)[/tex] ma un elemento di [tex]\wp(A)[/tex]. Il dominio non si esplicita per gli elementi né per gli insiemi, al più il dominio si esplicita per le applicazioni, anche se una espressione del genere è alquanto infelice: volendo essere pignoli, un'applicazione è assegnata quando sono dati il dominio, il codominio e la "regola" che manda gli elementi del dominio il quelli del codominio. Inoltre, che sia [tex]X \in \wp(A)[/tex] ti viene detto quando la traccia dell'esercizio ti dice come è definita l'assegnazione dell'applicazione.
Oltre a confermare l'iniettività e la suriettività con un controllo diretto potevi giustificarla anche notando che, se [tex], X,Y \subseteq A \land X\neqY[/tex] allora [tex]A\setminux X \neq A\setminus Y[/tex], quindi l'iniettività; inoltre [tex]\complement_{A}X := A \setminus X[/tex] ed ovviamente [tex]X \cap \complement_{A}X =\varnothing[/tex], sicché, posto [tex]B\equiv\complement_{A}X[/tex] si ha [tex]B\subseteq A[/tex] e [tex]\complement_{A}B=X[/tex], sicché l'applicazione è suriettiva.
Quando ti chiede di calcolare l'inversa devi solo indicare dominio e codominio dell'inversa (i.e. scrivere [tex]f^{-1}:\wp(A)\to\wp(A)[/tex]) e l'assegnazione, che è quella che hai scritto.
Ho visto un esercizio simile (si avendo due professoressere ogni tanto gli argomenti si intrecciavano), ed, oltre a scrivere il dominio su cui si applica l'inversa dice anche di calcolare $f$ cerchietto $f^-1$ e $f^-1$ cerchietto $f$ e vedere se restituiscono rispettivamente dominio e codominio, per essere "sicuri" che è relamente l'inversa.
Ma qui, essendo un insieme finito, essendomi già calcolato ogni possibile applicazione, l'ho già visto su carta "che è così", al massimo posso scrivere quli sono gli elementi generati da $f^-1$, nel senso che gli scrivo tutti. O no?
Tra l'altro, piccolo "ot", è possibile dire che $EE x =$ formula $in QQ$ ? e se scrivessimo $EE| x =$ formula $in QQ$ sarebbe sbagliato? Cioè esiste, è uno solo, e gli scriviamo anche la formula per calcolarselo?
Che centra [tex]\mathbb{Q}[/tex] non l'ultimo esercizio?
Per quanto riguarda l'esercizio, tu non hai calcolato ogni applicazione, l'applicazione quella è. Semmai hai calcolato tutte le immagini. Questo però tu lo hai fatto con [tex]f[/tex]: quindi in questo modo hai potuto vedere che l'applicazione è iniettiva e suriettiva.
Ora hai il problema di determinare l'applicazione inversa.
L'applicazione [tex]f^{-1}[/tex] è quella che hai scritto anche tu. Il problema qual è? Il problema è che l'applicazione inversa è quell'unica applicazione tale che [tex]f^{-1}\circ f = \text{ id}_{\text{dom}(f)}[/tex] e [tex]f\circ f^{-1}=\text{id}_{\text{cod}(f)}[/tex] e questo fatto si dimostra come teorema: quindi l'applicazione inversa è quell'unica applicazione che fa si che valgano quelle due composizioni. Nella dimostrazione di questo teorema di mostra anche come costruire l'inversa: si costruisce scambiando di ruolo dominio e codominio dell'applicazione data ed usando come assegnazione quella che manda l'elemento dell'ex-codominio nell'unico elemento dell'ex-dominio che aveva quell'elemento come immagine secondo l'applicazione iniziale.
Ora sappiamo entrambi che quell'inversa che hai scritto è quella esatta, ma qualucno potrebbe chidereti: sei sicuro che quella che hai scritto verifichi quelle due composizioni? Oppure sei sicuro che l'assegnazione che hai fatto sia di quel tipo? A questo punto ti conviene fare come ti è stato detto durante i corsi, perché l'inversa ha esattamente quelle due caratteristiche e fare riferimento a quelle due caratteristiche è quanto ti occorre per mostrare che hai trovato la cosa giusta.
Ovviamente fare riferimento alle immagine calcolate con [tex]f[/tex] ed [tex]f^{-1}[/tex] è il modo pratico di mostare quanto sopra.
Per quanto riguarda l'esercizio, tu non hai calcolato ogni applicazione, l'applicazione quella è. Semmai hai calcolato tutte le immagini. Questo però tu lo hai fatto con [tex]f[/tex]: quindi in questo modo hai potuto vedere che l'applicazione è iniettiva e suriettiva.
Ora hai il problema di determinare l'applicazione inversa.
L'applicazione [tex]f^{-1}[/tex] è quella che hai scritto anche tu. Il problema qual è? Il problema è che l'applicazione inversa è quell'unica applicazione tale che [tex]f^{-1}\circ f = \text{ id}_{\text{dom}(f)}[/tex] e [tex]f\circ f^{-1}=\text{id}_{\text{cod}(f)}[/tex] e questo fatto si dimostra come teorema: quindi l'applicazione inversa è quell'unica applicazione che fa si che valgano quelle due composizioni. Nella dimostrazione di questo teorema di mostra anche come costruire l'inversa: si costruisce scambiando di ruolo dominio e codominio dell'applicazione data ed usando come assegnazione quella che manda l'elemento dell'ex-codominio nell'unico elemento dell'ex-dominio che aveva quell'elemento come immagine secondo l'applicazione iniziale.
Ora sappiamo entrambi che quell'inversa che hai scritto è quella esatta, ma qualucno potrebbe chidereti: sei sicuro che quella che hai scritto verifichi quelle due composizioni? Oppure sei sicuro che l'assegnazione che hai fatto sia di quel tipo? A questo punto ti conviene fare come ti è stato detto durante i corsi, perché l'inversa ha esattamente quelle due caratteristiche e fare riferimento a quelle due caratteristiche è quanto ti occorre per mostrare che hai trovato la cosa giusta.
Ovviamente fare riferimento alle immagine calcolate con [tex]f[/tex] ed [tex]f^{-1}[/tex] è il modo pratico di mostare quanto sopra.
"WiZaRd":
Perché? Perché fino a quando scrivi [tex]\exists 2 \in \mathbb{Q}[/tex] sul forum non succede niente, ma se lo scrivi ad un esame ti bocciano seduta stante: i quantificatori non li puoi usare sulle costanti individuali e [tex]2[/tex] è una costante individuale.
Prego? E perchè? Questa del "ti bocciano seduta stante" mi fa troppo ridere
Per fortuna la matematica è un pò più sostanziosa di così 
@alvinlee88
Dipende da qual è l'esame in cui scrivi una cosa del genere. La frase che hai quotato viene dal topic intitolato esercizi di logica e l'utente Neptune stavo calcando tanto la mano sulle formule logiche, chiedendo continuamente se esse fossero corrette o meno e come scriverle al meglio che, quando ho scritto quanto quotato, stavo pensando che Neptune stesse studiando qualche cosa di introduttivo per preparare un esame di Logica. Converrai che iniziare a preparare un esame del genere così non è la cosa migliore.
Dipende da qual è l'esame in cui scrivi una cosa del genere. La frase che hai quotato viene dal topic intitolato esercizi di logica e l'utente Neptune stavo calcando tanto la mano sulle formule logiche, chiedendo continuamente se esse fossero corrette o meno e come scriverle al meglio che, quando ho scritto quanto quotato, stavo pensando che Neptune stesse studiando qualche cosa di introduttivo per preparare un esame di Logica. Converrai che iniziare a preparare un esame del genere così non è la cosa migliore.
"alvinlee88":
[quote="WiZaRd"] Perché? Perché fino a quando scrivi [tex]\exists 2 \in \mathbb{Q}[/tex] sul forum non succede niente, ma se lo scrivi ad un esame ti bocciano seduta stante: i quantificatori non li puoi usare sulle costanti individuali e [tex]2[/tex] è una costante individuale.
Prego? E perchè? Questa del "ti bocciano seduta stante" mi fa troppo ridere
Per fortuna la matematica è un pò più sostanziosa di così [/quote]Caro alvinlee88, uno che scrive [tex]\exists 2 \in \mathbb{Q}[/tex] io lo boccio davvero seduta stante. Perché io non obbligo nessuno ad usare i quantificatori, ma se vuoi fare il figo usando i quantificatori e li usi a pera, meriti una giusta punizione. Insomma, per la "sostanziosità" della matematica: scrivi come mangi, sapendo quello che mangi.
"Fioravante Patrone":
Caro alvinlee88, uno che scrive [tex]\exists 2 \in \mathbb{Q}[/tex] io lo boccio davvero seduta stante.
Quando avete finito di scherzare, fra tutti, avvertitemi. C'ero quasi cascato.
Ero, e sono, serio! Magari una bocciatura al volo no, lo ammetto... Però il discorso che seguiva è molto serio.
"WiZaRd":
Che centra [tex]\mathbb{Q}[/tex] non l'ultimo esercizio?
Con l'ultimo esercizio nulla, semplicemente mi è venuto un dubbio sulla logica, ovvero, è correttto scrivere per l'apunto che esiste una sola $X$ (che poi è la è rovesciata dell'esiste con un trattino accanto) appartenente ad un insieme $A$ e specificare anche come si calcola con un uguale? e se invece il simbolo fosse un normale $EE$ sarebbe errato sempre specificare con un uguale qual'è? Perchè il primo caso lo vedo "usare" spesso negli esercizi della professoressa, il secondo mi sa di no, ma ad ogni modo mi avete fatto sorgere questo dubbio.
"WiZaRd":
Per quanto riguarda l'esercizio, tu non hai calcolato ogni applicazione, l'applicazione quella è. Semmai hai calcolato tutte le immagini. Questo però tu lo hai fatto con [tex]f[/tex]: quindi in questo modo hai potuto vedere che l'applicazione è iniettiva e suriettiva.
Ora hai il problema di determinare l'applicazione inversa.
L'applicazione [tex]f^{-1}[/tex] è quella che hai scritto anche tu. Il problema qual è? Il problema è che l'applicazione inversa è quell'unica applicazione tale che [tex]f^{-1}\circ f = \text{ id}_{\text{dom}(f)}[/tex] e [tex]f\circ f^{-1}=\text{id}_{\text{cod}(f)}[/tex] e questo fatto si dimostra come teorema: quindi l'applicazione inversa è quell'unica applicazione che fa si che valgano quelle due composizioni. Nella dimostrazione di questo teorema di mostra anche come costruire l'inversa: si costruisce scambiando di ruolo dominio e codominio dell'applicazione data ed usando come assegnazione quella che manda l'elemento dell'ex-codominio nell'unico elemento dell'ex-dominio che aveva quell'elemento come immagine secondo l'applicazione iniziale.
Ora sappiamo entrambi che quell'inversa che hai scritto è quella esatta, ma qualucno potrebbe chidereti: sei sicuro che quella che hai scritto verifichi quelle due composizioni? Oppure sei sicuro che l'assegnazione che hai fatto sia di quel tipo? A questo punto ti conviene fare come ti è stato detto durante i corsi, perché l'inversa ha esattamente quelle due caratteristiche e fare riferimento a quelle due caratteristiche è quanto ti occorre per mostrare che hai trovato la cosa giusta.
Ovviamente fare riferimento alle immagine calcolate con [tex]f[/tex] ed [tex]f^{-1}[/tex] è il modo pratico di mostare quanto sopra.
Quindi per dimostrarlo mi devo calcolare l'immagine inversa di ogni elemento nel caso specifico? Perchè li non ho una regola di composizione per cui posso usare una regola generale ho direttamente "l'insieme delle parti" che è un insieme finito.
Per quel che riguarda l'utilizzo dei quantificatori è innegabile che, benchè non stia affrontando un esame puramente di logica sono comunque molto importanti e ne viene fatto un largo uso nelle formule matematica. Dato che la professoressa non scrive le cose "a parole" ma bensì usa i quantificatori, vorrei poter acquistare anch'io esperienza con il loro utilizzo, appunto perchè vorrei evitare di scrivere cavolate. E questo al di la del fatto che la professoressa possa essere più o meno dura, ma perchè dovendole usare voglio essere ben conscio di quello che scrivo.
Già che ci sono ho appena sviluppato un esercizio che mi è sembrato facile, però vorrei sottoporlo comunque alla vostra attenzione per essere sicuro di non aver commesso errori di forma.
La traccia è:
Data le funzioni
$f: RR_+ rarr RR$ così definita: $AAx in RR_+$ $f(x)= sqrt(x)$
$g:RR rarr RR$ così definita: $AAx in RR$ $g(x)=3x+2$
Determinare $g°f$:
$(g°f)(x) = g(f(x)) = g(sqrt(x)) = 3*sqrt(x)+2$
Stabilire se $f$ è invertibile:
Per farlo, in pratica, devo vedere se è bigettiva no? se lo è allora si potrà calcolare $f^-1$ e quindi è invertibile. Però qui mi chiede solo di stabilire se lo è e quindi mi calcolo la bigettività:
Ingettivita: $AA x_1,x_2 in RR_+$ $f(x_1) = f(x_2) rar x_1 = x_1$
ed è vero infatti
$sqrt(x_1) = sqrt(x_2)$ quindi elevando tutto al quadrato avremo $x_1=x_2$
La surgettività invece: $AA y in RR EEx in RR_+$ t.c $f(x)=sqrt(x)$
Quindi $sqrt(x)=y$ ovvero $x=y^2$ quindi possiamo dedurre correttamente che esisterà sempre una $X in RR_+$ che è il quadrato di y ?
Quindi $f$ sia ingettiva che surgettiva implica che $f$ sia surgettiva e cioè:
$AA y in RR$ $EE|$ $x=y^2 in RR_+$ t.c $f(x) = sqrt(x)$
Quindi avendo la bigettività abbiamo che possiamo calcolarci anche $f^-1$ e cioè l'inversa di $f$, no?
P.S: Ammetto di aver scritto spesso e volentieri delle cose allucinanti sulla logica, ma sono qui proprio perchè "se qualcuno te lo fa notare" te ne accorgi, altrimenti "vai tranquillo per la tua via". Purtroppo avendo fatto solo "un cenno" di logica finisce spesso e volentieri a non comprendere il senso di tutto e a volte "prosegui a tentoni".
La traccia è:
Data le funzioni
$f: RR_+ rarr RR$ così definita: $AAx in RR_+$ $f(x)= sqrt(x)$
$g:RR rarr RR$ così definita: $AAx in RR$ $g(x)=3x+2$
Determinare $g°f$:
$(g°f)(x) = g(f(x)) = g(sqrt(x)) = 3*sqrt(x)+2$
Stabilire se $f$ è invertibile:
Per farlo, in pratica, devo vedere se è bigettiva no? se lo è allora si potrà calcolare $f^-1$ e quindi è invertibile. Però qui mi chiede solo di stabilire se lo è e quindi mi calcolo la bigettività:
Ingettivita: $AA x_1,x_2 in RR_+$ $f(x_1) = f(x_2) rar x_1 = x_1$
ed è vero infatti
$sqrt(x_1) = sqrt(x_2)$ quindi elevando tutto al quadrato avremo $x_1=x_2$
La surgettività invece: $AA y in RR EEx in RR_+$ t.c $f(x)=sqrt(x)$
Quindi $sqrt(x)=y$ ovvero $x=y^2$ quindi possiamo dedurre correttamente che esisterà sempre una $X in RR_+$ che è il quadrato di y ?
Quindi $f$ sia ingettiva che surgettiva implica che $f$ sia surgettiva e cioè:
$AA y in RR$ $EE|$ $x=y^2 in RR_+$ t.c $f(x) = sqrt(x)$
Quindi avendo la bigettività abbiamo che possiamo calcolarci anche $f^-1$ e cioè l'inversa di $f$, no?
P.S: Ammetto di aver scritto spesso e volentieri delle cose allucinanti sulla logica, ma sono qui proprio perchè "se qualcuno te lo fa notare" te ne accorgi, altrimenti "vai tranquillo per la tua via". Purtroppo avendo fatto solo "un cenno" di logica finisce spesso e volentieri a non comprendere il senso di tutto e a volte "prosegui a tentoni".
"Fioravante Patrone":
Ero, e sono, serio! Magari una bocciatura al volo no, lo ammetto... Però il discorso che seguiva è molto serio.
Però devi anche ammettere che benchè è un errore da non sottovalutare, essendo un argomento trattato solo alla lontana, un pò di indulgenza ci vorrebbe.
Voglio dire, molte di queste "raffinatezze" le sto conoscendo grazie a questo forum, ma sui libri di discreta sono argomenti solamente accennati, e capisco anche che voi insegnanti per primo non potete spiegare "tutta la matematica" in un solo corso. Quindi, per lo meno bisognerebbe dare un peso differente agli errori su argomenti poco trattati.
Del resto togliamo l'esempio dell'alunno scansafatiche, l'alunno medio è lo specchio di ciò che il professore ha insegnato. A casa puoi rafforzare i concetti, ma difficilmente ne "scoprirai di nuovi" se a lezione non vengono nemmeno nominati.
"Neptune":
Con l'ultimo esercizio nulla [...] questo dubbio.
Il simbolo di esistenza ed unicità io l'ho visto indicato o come [tex]\exists ![/tex] oppure come [tex]\exists |[/tex], ma non escludo, anzi sono sicuro, che ci siano altri modi di indicarlo, come ad esempio tu dici [tex]\exists^{-}[/tex], se non ti ho male interpretato.
Per quanto riguarda la questione dell'uguale, invero una notazione più pulita col quantificatore esistenziale sarebbe [tex]\exists x : \mathcal{P}(x)[/tex] ove [tex]\mathcal{P}(x)[/tex] è un predicato nella variabile [tex]x[/tex]; se [tex]\mathcal{P}(x)[/tex] è a sua volta formato dalla congiunzione di altri predicati, allora ci si prende la libertà di portare uno dei due prima dei due punti; e.g. [tex]S \subset T \iff S \subseteq T \land S \neq T[/tex] comporta che [tex]\exists x : x \in T \land x \notin S[/tex], ma questo enunciato col quantificatore lo si può anche scrivere [tex]\exists x \in T : x \notin S[/tex]. Quindi se vuoi compattare una cosa del tipo [tex]\exists x : x \in \mathbb{Q} \land x = \text{qualche cosa}[/tex] potrai scrivere [tex]\exists x \in \mathbb{Q} : x =\text{qualche cosa}[/tex]; per quanto detto potresti anche portare [tex]x=\text{qualche cosa}[/tex] prima dei due punti, anche se a me non mi è mai capitato di vedere utilizzata una cosa del tipo [tex]\exists x=\text{qualche cosa} : x \in \mathbb{Q}[/tex]; mi sentirei invece di escludere che si possa infilzare tutto subito dopo il quantificatore, facendo cose tipo [tex]\exists x = \text{qualche cosa} \in \mathbb{Q}[/tex]. Ma come detto, queste sono delle licenze che ci si prende per alleggerire le notazioni fuori da un contesto puramente logico, quindi se i tuoi docenti hanno detto che per quanto li riguarda puoi prenderti la libertà di scrivere cose tipo l'ultima, anche se io non sono d'accordo, puoi fregartene di quello che penso io.
"Neptune":
Quindi [...] scrivo.
Volendo fare le cose per bene, se proprio uno ci tiene a fare vedere che ha trovato quello che voleva trovare o il prof. non è convinto che tu sia convinto che entrambi siete coscienti di avere trovato la cosa giusta, allora la strada più giusta consiste nel mostrare che con la presunta inversa trovata valgono quelle due composizioni.
Quindi uno dice: ho [tex]f\colon\wp(A) \to\wp(A), X \mapsto \complement_{A}X[/tex] e dico che l'inversa è [tex]f^{-1}\colon\wp(A) \to \wp(A), X \mapsto Y \text{ t.c. } \complement_{A}Y=X[/tex]; a questo punto mi verrebbe da dire che la correttezza della risposta è autoevidente per il significato che ha il complementare, ma se uno proprio ci tiene, può notare che [tex](f^{-1}\circ f) (X)= f^{-1}(f(X))=f^{-1}(\complement_{A}X)=Y \text{ t.c. } \complement_{A}Y=\complement_{A}X[/tex], quindi [tex]Y=X[/tex], ed anche che [tex](f\circ f^{-1})(X)=f(f^{-1}(X))=f(Y)=\complement_{A}Y=X[/tex] poiché [tex]Y \text{ t.c. } \complement_{A}Y=X[/tex].
Andarsene caso per caso, amio parere, non conviene, verrebbe una cosa troppo lunga, perché dovresti mostrare che valgono quelle due composizioni andando "a mettere le mani" in ogni singola assegnazione.
"Neptune":
[...]
La surgettività invece: $AA y in RR EEx in RR_+$ t.c $f(x)=sqrt(x)$
Quindi $sqrt(x)=y$ ovvero $x=y^2$ quindi possiamo dedurre correttamente che esisterà sempre una $X in RR_+$ che è il quadrato di y ?
[...]
P.S: Ammetto di aver scritto spesso e volentieri delle cose allucinanti sulla logica, ma sono qui proprio perchè "se qualcuno te lo fa notare" te ne accorgi, altrimenti "vai tranquillo per la tua via". Purtroppo avendo fatto solo "un cenno" di logica finisce spesso e volentieri a non comprendere il senso di tutto e a volte "prosegui a tentoni".
L'applicazione [tex]f[/tex] non è suriettiva: se [tex]y<0[/tex] non ha senso porre [tex]\sqrt{x}=y[/tex] e, quindi, non ha senso elevare al quadrato.
P.S.
Guarda che non devi scusarti, domandare è lecito e mai banale: infatti non si discutevano le tue domande.
Il punto è che alvinlee88 non è tedioso, pesante e rompiballe (per non usare un altro termine più colorito
) come il sottoscritto!
"WiZaRd":
[quote="Neptune"]
[...]
La surgettività invece: $AA y in RR EEx in RR_+$ t.c $f(x)=sqrt(x)$
Quindi $sqrt(x)=y$ ovvero $x=y^2$ quindi possiamo dedurre correttamente che esisterà sempre una $X in RR_+$ che è il quadrato di y ?
[...]
P.S: Ammetto di aver scritto spesso e volentieri delle cose allucinanti sulla logica, ma sono qui proprio perchè "se qualcuno te lo fa notare" te ne accorgi, altrimenti "vai tranquillo per la tua via". Purtroppo avendo fatto solo "un cenno" di logica finisce spesso e volentieri a non comprendere il senso di tutto e a volte "prosegui a tentoni".
L'applicazione [tex]f[/tex] non è suriettiva: se [tex]y<0[/tex] non ha senso porre [tex]\sqrt{x}=y[/tex] e, quindi, non ha senso elevare al quadrato.
P.S.
Guarda che non devi scusarti, domandare è lecito e mai banale: infatti non si discutevano le tue domande.
Il punto è che alvinlee88 non è tedioso, pesante e rompiballe (per non usare un altro termine più colorito
) come il sottoscritto![/quote]Bè ma $sqrt(0)$ non è comunque 0 ? quindi dovrebbe essere ancora nel suo dominio e non generare problemi, o no?
Per quel che riguarda i quantificatori sinceramente durante il corso i due punti non vengono proprio usati. La proposizione tipo solitamente è del genere $EE$ la variabile $in$ un dominio tale che sia vera una determinata formula. Ad ogni modo se ha senso, ed è più che altro una disquisizione "sintattica" allora mi rimetto a quello che preferisce vedere la professaressa.
Comunque grazie mille a tutti per il vostro aiuto, spero di diventare abbastanza bravo da essere io quello che risponde alle domande degli altri, un giorno
Veramente i due punti li usate, solo che non lo sai: i due punti stanno a sostituire il "tale che".
Ad ogni modo, ripeto, se volessimo esprimerci come su un manuale vero di logica, allora non utilizzeremmo nemmeno i due punti, ma metteremmo delle belle parentesi tonde a tutta forza, e.g. scriveremmo [tex]\exists x : p(x) \implies q(x)[/tex] come [tex](\exists x)((p(x))\implies(q(x)))[/tex] (vedasi il Mendelson, per esempio), queste sono abbreviazioni di formule che usate fuori dalla logica formale renderebbero anche troppo pesante il discorso.
Non capisco la questione delle [tex]0[/tex].
La tua applicazione è [tex]f(\cdot):\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x}[/tex]: innanzitutto suppongo che per te [tex]0 \in \mathbb{R}^{+}[/tex] (correggini se sbaglio) e quindi ovviamente l'immagine di [tex]0[/tex] esiste ed è [tex]f(0)=\sqrt{0}=0[/tex]; ma questo importa poco ai fini della suriettività. Come hai detto tu stesso nei primi post, un'applicazione è suriettiva sse ogni lemento del codominio ha almeno una controimmagine: io ti chiedo, [tex]\sqrt{x}[/tex] può mai essere [tex]<0[/tex]? La risposta è ... E se questa è la risposta, dato che il codominio è [tex]\mathbb{R}[/tex], se io prendo [tex]y ... 0[/tex] posso trovare qualche [tex]x[/tex] che messo sotto radice mi dia [tex]y[/tex]? La risposta è ...
Ad ogni modo, ripeto, se volessimo esprimerci come su un manuale vero di logica, allora non utilizzeremmo nemmeno i due punti, ma metteremmo delle belle parentesi tonde a tutta forza, e.g. scriveremmo [tex]\exists x : p(x) \implies q(x)[/tex] come [tex](\exists x)((p(x))\implies(q(x)))[/tex] (vedasi il Mendelson, per esempio), queste sono abbreviazioni di formule che usate fuori dalla logica formale renderebbero anche troppo pesante il discorso.
Non capisco la questione delle [tex]0[/tex].
La tua applicazione è [tex]f(\cdot):\mathbb{R}^{+}\to\mathbb{R}, x \mapsto \sqrt{x}[/tex]: innanzitutto suppongo che per te [tex]0 \in \mathbb{R}^{+}[/tex] (correggini se sbaglio) e quindi ovviamente l'immagine di [tex]0[/tex] esiste ed è [tex]f(0)=\sqrt{0}=0[/tex]; ma questo importa poco ai fini della suriettività. Come hai detto tu stesso nei primi post, un'applicazione è suriettiva sse ogni lemento del codominio ha almeno una controimmagine: io ti chiedo, [tex]\sqrt{x}[/tex] può mai essere [tex]<0[/tex]? La risposta è ... E se questa è la risposta, dato che il codominio è [tex]\mathbb{R}[/tex], se io prendo [tex]y ... 0[/tex] posso trovare qualche [tex]x[/tex] che messo sotto radice mi dia [tex]y[/tex]? La risposta è ...
[OT]
Posso dissentire vivamente?
Studiando veramente a casa (il che vuol dire non limitarsi a ripetere ciò che è stato detto in aula, ma sforzarsi di andare oltre ciò che serve per "prendere l'esame") si imparano moltissime cose che il docente non ha avuto il tempo di dire.
P.S.: "Alunni" sono quelli che frequentano la scuola dell'obbligo (elementari/medie); quelli che vanno all'università si chiamano "studenti".
[/OT]
@alvinlee88: Io sto con FP.
"Neptune":
Del resto togliamo l'esempio dell'alunno scansafatiche, l'alunno medio è lo specchio di ciò che il professore ha insegnato. A casa puoi rafforzare i concetti, ma difficilmente ne "scoprirai di nuovi" se a lezione non vengono nemmeno nominati.
Posso dissentire vivamente?
Studiando veramente a casa (il che vuol dire non limitarsi a ripetere ciò che è stato detto in aula, ma sforzarsi di andare oltre ciò che serve per "prendere l'esame") si imparano moltissime cose che il docente non ha avuto il tempo di dire.
P.S.: "Alunni" sono quelli che frequentano la scuola dell'obbligo (elementari/medie); quelli che vanno all'università si chiamano "studenti".
[/OT]
@alvinlee88: Io sto con FP.
"WiZaRd":
No.
La (*) non ti dice che esistono due [tex]y[/tex] capaci di darti la stessa radice (e come sarebbe possibile cio? [tex]y=5 \implies x=\frac{-5\pm\sqrt{85}}{2}[/tex] e [tex]y=-5\impliesx=\frac{-5\pm\sqrt{45}}{2}[/tex]), ma ti dice che per una stessa [tex]y[/tex] "tiri fuori" due [tex]x[/tex] diverse: una si ottiene col [tex]+[/tex] davanti alla radice, l'altra col [tex]-[/tex].
Quindi da uno stesso elemento [tex]y[/tex] del codominio si può "risalire" a due diversi elementi del dominio, ovvero vale che [tex]f(x_{1})=f(x_{2}) \land x_{1}\neq x_{2}[/tex], che è la negazione di [tex]f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}[/tex] che, a sua volta è la definizione di iniettività, ergo, data che è vera la negazione della caratterizzazione dell'iniettività, l'applicazione non è iniettiva.
Se vuoi, puoi dire in formule che l'appplicazione non è iniettiva perché [tex]\exists^{\text{\scriptsize{no}}}x_{1},x_{2} \in \text{ dom}(f) : x_{1}\neq x_{2} \land f(x_{1})=f(x_{2})[/tex].
Scusate se ritiro fuori questo esercizio ma lo stavo rivedendo con un mio amico, e nel dimostrare l'ingettività ha sviluppato questa uguaglianza $x_1^2+5x_1-10 = x_2^2+5x_2-10$. Nel farlo ci è uscito che, ovviamente, ogni equazione ha due soluzioni, ma questo non equivale a dire che l'esercizio non è nemmeno un applicazione?
Per essere un applicazione dovrebbe valere la regola che per ogni elemento del dominio esiste un solo elemento del codominio mentre qui le radici sono 2 $0$ e $-5$.
"Gugo82":Posso dissentire vivamente?
[quote="Neptune"]Del resto togliamo l'esempio dell'alunno scansafatiche, l'alunno medio è lo specchio di ciò che il professore ha insegnato. A casa puoi rafforzare i concetti, ma difficilmente ne "scoprirai di nuovi" se a lezione non vengono nemmeno nominati.
Studiando veramente a casa (il che vuol dire non limitarsi a ripetere ciò che è stato detto in aula, ma sforzarsi di andare oltre ciò che serve per "prendere l'esame") si imparano moltissime cose che il docente non ha avuto il tempo di dire.[/quote]Sono vibratamente d'accordo con Gugo82: dispiace proprio vedere che c'è chi confonde la verità con l'autorità. Secondo me lo studio parte proprio dalla critica spietata di ogni cosa che l'insegnante ha detto. Prendo un caso limite per esemplificare: quando uno dice "faccio così perché il prof ha detto che si fa così" è in grave fase di regresso. Bisogna avere l'onestà di seguire i propri ragionamenti ed eventualmente arrivare a dire "il professore si è sbagliato qui, qui e qui". Accorgersi poi dopo altri chiarimenti che invece aveva ragione il professore non ha la minima importanza: non deve intaccare lo spirito critico.
Non voglio dire, Neptune, che il tuo approccio sia sbagliato, ma stai attento che non lo diventi.
"Neptune":Questa frase è raccapricciante. Purtroppo potrebbe essere vera, io spero proprio che sia già o che diventi col tempo falsa.
l'alunno medio è lo specchio di ciò che il professore ha insegnato
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