Relazioni: Ingettività, Surgettività
Salve a tutti,
ho il segunente funzione:
$f: NN rarr QQ$
Così definita:
$AAx in NN$ $f(x)=5/(x+2)$
Devo dimostrare che è ingettiva ma non surgettiva.
Per l'ingettività devo dimostrare questa formula:
$AA x_1,x_2 in NN$ $f(x_1) = f(x_2)$ $rarr$ $x_1=x_2$
Ovvero ponendo $f(x_1)=f(x_2)$ devo ottenere $x_1=x_2$
quindi:
$5/(x_1+2) = 5/(x_2+2)$
ovvero:
$1/(x_1+2) = 1/(x_2+2)$
Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
ho il segunente funzione:
$f: NN rarr QQ$
Così definita:
$AAx in NN$ $f(x)=5/(x+2)$
Devo dimostrare che è ingettiva ma non surgettiva.
Per l'ingettività devo dimostrare questa formula:
$AA x_1,x_2 in NN$ $f(x_1) = f(x_2)$ $rarr$ $x_1=x_2$
Ovvero ponendo $f(x_1)=f(x_2)$ devo ottenere $x_1=x_2$
quindi:
$5/(x_1+2) = 5/(x_2+2)$
ovvero:
$1/(x_1+2) = 1/(x_2+2)$
Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
Risposte
"Neptune":
$1/(x_1+2) = 1/(x_2+2)$
Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
Fin qui è tutto giusto, segue semplicemente $x_1 + 2 = x_2 +2$ e quindi la tesi
In generale, se $x, y != 0$ allora $1/x = 1/y \Leftrightarrow x = y$.
Ora prova, per negare la suriettività, a trovare un controesempio
"Gatto89":
[quote="Neptune"]
$1/(x_1+2) = 1/(x_2+2)$
Ma arrivato qui mi blocco e non so come proseguire con i calcoli. Ho fatto qualcosa di sbagliato o semplicemente non mi sovviene il calcolo? (in tal caso voi come proseguireste?)
Vi ringrazio in anticipo per la cortesia,
Neptune.
Fin qui è tutto giusto, segue semplicemente $x_1 + 2 = x_2 +2$ e quindi la tesi
In generale, se $x, y != 0$ allora $1/x = 1/y \Leftrightarrow x = y$.
Ora prova, per negare la suriettività, a trovare un controesempio
[/quote]Cioè dici di negare la surgettività ovvero dimostrare che:
$EEy in QQ, AAx in NN$ t.c $f(x)!=5/(x+2)$ ?
Non so a me sembra che $y=5/(x+2)$ appartiene sempre ai numeri razionali per qualsiasi numero naturale possa dare ad $x$, è evidente che mi sfugge qualcosa.
quella che hai detto non è la definizione di surgettività infatti!
Surgettivo vuol dire in parole povere che di ogni elemento di $QQ$ esiste la controimmagine... e ciò non è evidentemente vero prendere anche soltanto $0$ o una qualsiasi frazione negativa
Surgettivo vuol dire in parole povere che di ogni elemento di $QQ$ esiste la controimmagine... e ciò non è evidentemente vero prendere anche soltanto $0$ o una qualsiasi frazione negativa
Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio. Per negare quest'affermazione (ovvero dimostrare che la funzione non è suriettiva) basta trovare un controesempio, ovvero un elemento del codominio che non è preso da nessun elemento del dominio attraverso la funzione $f$.
Tradotto: $EE q \in QQ$ t.c. $f(x) != q \forall x \in NN$
Tradotto: $EE q \in QQ$ t.c. $f(x) != q \forall x \in NN$
"Gatto89":
Una funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di un elemento del dominio. Per negare quest'affermazione (ovvero dimostrare che la funzione non è suriettiva) basta trovare un controesempio, ovvero un elemento del codominio che non è preso da nessun elemento del dominio attraverso la funzione $f$.
Tradotto: $EE q \in QQ$ t.c. $f(x) != q \forall x \in NN$
In pratica posso dire che $EE 2 in QQ$ che non si può scrivere nella formula $5/(x+2)$. Giusto?
@Neptune
Posso darti un consiglio? Evita di cercare di formalizzare troppo il tuo discorso con le formule logiche. Cerca di usare i simboli mutuati dalla logica come delle stenografie per sostituire le frasi di uso corrente, ovviamente attribuendo a queste frasi il senso che ne deriva dalle regole della logica. Perché? Perché fino a quando scrivi [tex]\exists 2 \in \mathbb{Q}[/tex] sul forum non succede niente, ma se lo scrivi ad un esame ti bocciano seduta stante: i quantificatori non li puoi usare sulle costanti individuali e [tex]2[/tex] è una costante individuale.
Tornando in tema: la tua funzione è definita dall'assegnazione [tex]n \mapsto \frac{5}{n+2}[/tex]; mostrare che questa funzione non è suriettiva significa trovare un numero razionale tale che nessun naturale "usato nell'espressione" [tex]\frac{5}{n+2}[/tex] possa restituirti il numero razionale scelto. Ovviamente preso il razionale [tex]2[/tex], allora nessun naturale è tale per cui la frazione [tex]\frac{5}{n+2}[/tex] possa restituirti [tex]2[/tex], quindi come controesempio va bene. Ma si potrebbe anche notare che se [tex]gcd(5,n+2)=1[/tex] allora il numeratore di questa frazione è sempre [tex]5[/tex] e se [tex]gcd(5,n+2)\neq 1[/tex] allora il numeratore di questa frazione può, al più, essere [tex]1[/tex], essendo [tex]5[/tex] un numero primo: quindi, in generale, una qualunque frazione con numeratore [tex]\neq 1 \land \neq 5[/tex] sicuramente non può essere ottenuta per mezzo di alcun numero naturale a partire dalla frazione che definisce l'assegnazione.
Posso darti un consiglio? Evita di cercare di formalizzare troppo il tuo discorso con le formule logiche. Cerca di usare i simboli mutuati dalla logica come delle stenografie per sostituire le frasi di uso corrente, ovviamente attribuendo a queste frasi il senso che ne deriva dalle regole della logica. Perché? Perché fino a quando scrivi [tex]\exists 2 \in \mathbb{Q}[/tex] sul forum non succede niente, ma se lo scrivi ad un esame ti bocciano seduta stante: i quantificatori non li puoi usare sulle costanti individuali e [tex]2[/tex] è una costante individuale.
Tornando in tema: la tua funzione è definita dall'assegnazione [tex]n \mapsto \frac{5}{n+2}[/tex]; mostrare che questa funzione non è suriettiva significa trovare un numero razionale tale che nessun naturale "usato nell'espressione" [tex]\frac{5}{n+2}[/tex] possa restituirti il numero razionale scelto. Ovviamente preso il razionale [tex]2[/tex], allora nessun naturale è tale per cui la frazione [tex]\frac{5}{n+2}[/tex] possa restituirti [tex]2[/tex], quindi come controesempio va bene. Ma si potrebbe anche notare che se [tex]gcd(5,n+2)=1[/tex] allora il numeratore di questa frazione è sempre [tex]5[/tex] e se [tex]gcd(5,n+2)\neq 1[/tex] allora il numeratore di questa frazione può, al più, essere [tex]1[/tex], essendo [tex]5[/tex] un numero primo: quindi, in generale, una qualunque frazione con numeratore [tex]\neq 1 \land \neq 5[/tex] sicuramente non può essere ottenuta per mezzo di alcun numero naturale a partire dalla frazione che definisce l'assegnazione.
"WiZaRd":
@Neptune
Posso darti un consiglio? Evita di cercare di formalizzare troppo il tuo discorso con le formule logiche. Cerca di usare i simboli mutuati dalla logica come delle stenografie per sostituire le frasi di uso corrente, ovviamente attribuendo a queste frasi il senso che ne deriva dalle regole della logica. Perché? Perché fino a quando scrivi [tex]\exists 2 \in \mathbb{Q}[/tex] sul forum non succede niente, ma se lo scrivi ad un esame ti bocciano seduta stante: i quantificatori non li puoi usare sulle costanti individuali e [tex]2[/tex] è una costante individuale.
Tornando in tema: la tua funzione è definita dall'assegnazione [tex]n \mapsto \frac{5}{n+2}[/tex]; mostrare che questa funzione non è suriettiva significa trovare un numero razionale tale che nessun naturale "usato nell'espressione" [tex]\frac{5}{n+2}[/tex] possa restituirti il numero razionale scelto. Ovviamente preso il razionale [tex]2[/tex], allora nessun naturale è tale per cui la frazione [tex]\frac{5}{n+2}[/tex] possa restituirti [tex]2[/tex], quindi come controesempio va bene. Ma si potrebbe anche notare che se [tex]gcd(5,n+2)=1[/tex] allora il numeratore di questa frazione è sempre [tex]5[/tex] e se [tex]gcd(5,n+2)\neq 1[/tex] allora il numeratore di questa frazione può, al più, essere [tex]1[/tex], essendo [tex]5[/tex] un numero primo: quindi, in generale, una qualunque frazione con numeratore [tex]\neq 1 \land \neq 5[/tex] sicuramente non può essere ottenuta per mezzo di alcun numero naturale a partire dalla frazione che definisce l'assegnazione.
Effettivamente ho fatto un bel errore "di sintassi". E' che sto nella testa nel pallone.
Mi sono bloccato su quest'altro esercizio simile dove, data la funzione:
$f: QQ rarr QQ$
Così definita:
$AA x in QQ$ $f(x)=x^2+5x-10$
e devo dimostrare che non è nè ingettiva nè surgettiva.
Ho iniziato dalla surgettività e gia mi sono bloccato, ovvero la surgettività dice sempre che
$AA y in QQ EEx in QQ$ t.c $f(x)= x^2+5x-10$
Quindi so che $y= x^2+5x-10$ e per dimostrare che non è surgettiva devo trovare una $y$ che non è rappresentabile da quella formula ma non mi viene in mente "un procedimento logico per stabilirlo".
L'unica cosa che mi viene in mente e di provare a metterci qualche numero, e procedere per prove, ma la cosa sarebbe dispendiosa e magari alla fine non sarei nemmeno sicuro dell'esattezza.
Tu come mi consigli di agire?
In un sistema cartesiano [tex]Oxy[/tex] il grafico della funzione [tex]\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto x^{2}+5x-10[/tex] qual è? Il grafico della funzione [tex]\mathbb{Q} \to \mathbb{Q}[/tex] dotata della medesima assegnazione si può pensare ottenuto dal grafico precednete togliendo cosa?
Dirai tu: e questo a che serve? Serve a farti rendere conto che esiste un minimo per [tex]y=x^{2}+5x-10[/tex], sicché per un qualsivoglia razionale [tex]<[/tex] di questo minimo, sicuramente non esiste antimmagine.
Allo stesso tempo il grafico di cui sopra dovrebbe suggerirti perché non c'è iniettività.
Alternativamente potresti procedere così: prendi [tex]y=x^{2}+5x-10[/tex] e la consideri come una equazione parametrica con incognita [tex]x[/tex], quindi rispetto a questa risolvi l'equazione e ti ritrovi la [tex]y[/tex] sotto radice, sicché con ovvie considerazioni sulla non negatività del radicando potresti trovare qualche valore di [tex]y[/tex] che ti faccia da controesempio oppure, addirittura, dire escplicitamente per quali valori di [tex]y[/tex] non si può determinare una controimagine. Sempre su questa strada dovresti riuscire anche a spiegare l'assenza di iniettività.
Dirai tu: e questo a che serve? Serve a farti rendere conto che esiste un minimo per [tex]y=x^{2}+5x-10[/tex], sicché per un qualsivoglia razionale [tex]<[/tex] di questo minimo, sicuramente non esiste antimmagine.
Allo stesso tempo il grafico di cui sopra dovrebbe suggerirti perché non c'è iniettività.
Alternativamente potresti procedere così: prendi [tex]y=x^{2}+5x-10[/tex] e la consideri come una equazione parametrica con incognita [tex]x[/tex], quindi rispetto a questa risolvi l'equazione e ti ritrovi la [tex]y[/tex] sotto radice, sicché con ovvie considerazioni sulla non negatività del radicando potresti trovare qualche valore di [tex]y[/tex] che ti faccia da controesempio oppure, addirittura, dire escplicitamente per quali valori di [tex]y[/tex] non si può determinare una controimagine. Sempre su questa strada dovresti riuscire anche a spiegare l'assenza di iniettività.
potresti anche calcolare il semplice $Delta$ di quest'equazione $x^2+5x-10-y=0$ e discutere al variare di $y$ la risolubilità o meno...
"mistake89":
potresti anche calcolare il semplice $Delta$ di quest'equazione $x^2+5x-10-y=0$ e discutere al variare di $y$ la risolubilità o meno...
Sono un pò arrugginito, come la cavolo questa equazione contando che c'è di mezzo il "-y" ?
Un equazione normale non dovrebbe essere del tipo: $ax^2+bx=c$ ?
Purtroppo equazioni e robe simili, benchè le abbia sommi capi ripassate, non le faccio veramente dalle superiore (4 anni fa) e a matematica discreta al massimo ti capita un'equazione di primo grado, solitamente, quindi mi trovo un pò arruginito.
Comunque provo a vedere un pò i vari metodi come vanno, anche se questo dell'equazione sembra il piu diretto..
Alla fine i due metodi sono identici: se tu trovi il minimo $M$ della parabola $y = x^2 +5x -10$ hai che, se $y < M, y \in QQ$ (e puoi sempre trovarlo se $M > -\infty$), $M = x^2 +5x -10$ non ha soluzione e quindi la funzione non è suriettiva.
Per l'iniettività... beh cerca di ragionare sempre sulla parabola e di pensare cosa vuol dire graficamente che una funzione è o non è iniettiva
Per l'iniettività... beh cerca di ragionare sempre sulla parabola e di pensare cosa vuol dire graficamente che una funzione è o non è iniettiva
l'equazione di secondo grado nella forma risolutiva classica è $ax^2+bx+c=0$
esiste una formula che ti permette di trovare le radici di questa equazione: $x_(1-2)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
dove dove $c$ è evidentemente il termine noto, che in questo caso era $-10-y$
esiste una formula che ti permette di trovare le radici di questa equazione: $x_(1-2)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
dove dove $c$ è evidentemente il termine noto, che in questo caso era $-10-y$
"mistake89":
l'equazione di secondo grado nella forma risolutiva classica è $ax^2+bx+c=0$
esiste una formula che ti permette di trovare le radici di questa equazione: $x_(1-2)=(-b+-sqrt(b^2-4ac))/(2a)$
dove dove $c$ è evidentemente il termine noto, che in questo caso era $-10-y$
Quindi, dovrebbe uscire qualcosa del tipo:
$(-5+-sqrt(25+40+4y))/2=0$
A questo punto??
No scusate lavorare su grafici, parabole, non mi viene porprio, ripeto ho solo qualche ricordo molto scarso delle superiori.
beh il $Delta$ è $65+4y$ se questo è minore di $0$ questa nostra equazione non ha soluzione reali (quindi a maggior ragione razionali)...
"mistake89":
beh il $Delta$ è $65+4y$ se questo è minore di $0$ questa nostra equazione non ha soluzione reali (quindi a maggior ragione razionali)...
Giustamente, mi stavo per l'appunto riguardando le proprietà delle equazioni di secondo grado.
Adesso però mi blocco all'ingettività.
Mi sa che quando si parla di radici ed equazioni sono propripo messo male.
Il grafico di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate è simmetrico rispetto a cosa? Se c'è simmetria rispetto all'asse, cosa accade se prendo un punto sull'asse [tex]y[/tex] di ordinata maggiore dell'ordinata del vertice della parabola e per questo punto mando una parallela all'asse [tex]x[/tex]?
Oppure ripartendo da (*) [tex]\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{65+4y}}{2}=x[/tex] (e non [tex]=0[/tex]), cosa popssiamo dire di [tex]x[/tex] quando nel LHS di (*) piazziamo al posto di [tex]y[/tex] un numero che permetta di ottenere [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex]? Quel [tex]\pm[/tex] quante [tex]x[/tex] (in generale) ti permette di trovare?
Oppure ripartendo da (*) [tex]\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{65+4y}}{2}=x[/tex] (e non [tex]=0[/tex]), cosa popssiamo dire di [tex]x[/tex] quando nel LHS di (*) piazziamo al posto di [tex]y[/tex] un numero che permetta di ottenere [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex]? Quel [tex]\pm[/tex] quante [tex]x[/tex] (in generale) ti permette di trovare?
"WiZaRd":
Il grafico di una parabola con asse di simmetria parallelo all'asse delle ordinate è simmetrico rispetto a cosa? Se c'è simmetria rispetto all'asse, cosa accade se prendo un punto sull'asse [tex]y[/tex] di ordinata maggiore dell'ordinata del vertice della parabola e per questo punto mando una parallela all'asse [tex]x[/tex]?
Oppure ripartendo da (*) [tex]\displaystyle \frac{-5\pm\sqrt{65+4y}}{2}=x[/tex] (e non [tex]=0[/tex]), cosa popssiamo dire di [tex]x[/tex] quando nel LHS di (*) piazziamo al posto di [tex]y[/tex] un numero che permetta di ottenere [tex]x \in \mathbb{Q}[/tex]? Quel [tex]\pm[/tex] quante [tex]x[/tex] (in generale) ti permette di trovare?
Quella formula ci permette di trovare due $x$, per negare l'ingettività dobbiamo dire che ci sono due $y$ in quella formula capaci di generarci la stessa radice.
Effettivamente in $QQ$ se metto $+5$ o se metto $-5$, essendoci quel $+-$ ottengo sempre le stesse radici, giusto?
Lo potrei scrivere come
$EE x_1,x_2 in QQ$ $f(x_1)=f(x_2) rarr$ $x_1 != x_2$
ovvero $EE x1,x2 in QQ$ t.c $x_2 = -x_1 rarr$ $f(x_1) = f(x_2)$
L'ho scritta bene?
No.
La (*) non ti dice che esistono due [tex]y[/tex] capaci di darti la stessa radice (e come sarebbe possibile cio? [tex]y=5 \implies x=\frac{-5\pm\sqrt{85}}{2}[/tex] e [tex]y=-5\impliesx=\frac{-5\pm\sqrt{45}}{2}[/tex]), ma ti dice che per una stessa [tex]y[/tex] "tiri fuori" due [tex]x[/tex] diverse: una si ottiene col [tex]+[/tex] davanti alla radice, l'altra col [tex]-[/tex].
Quindi da uno stesso elemento [tex]y[/tex] del codominio si può "risalire" a due diversi elementi del dominio, ovvero vale che [tex]f(x_{1})=f(x_{2}) \land x_{1}\neq x_{2}[/tex], che è la negazione di [tex]f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}[/tex] che, a sua volta è la definizione di iniettività, ergo, data che è vera la negazione della caratterizzazione dell'iniettività, l'applicazione non è iniettiva.
Se vuoi, puoi dire in formule che l'appplicazione non è iniettiva perché [tex]\exists^{\text{\scriptsize{no}}}x_{1},x_{2} \in \text{ dom}(f) : x_{1}\neq x_{2} \land f(x_{1})=f(x_{2})[/tex].
La (*) non ti dice che esistono due [tex]y[/tex] capaci di darti la stessa radice (e come sarebbe possibile cio? [tex]y=5 \implies x=\frac{-5\pm\sqrt{85}}{2}[/tex] e [tex]y=-5\impliesx=\frac{-5\pm\sqrt{45}}{2}[/tex]), ma ti dice che per una stessa [tex]y[/tex] "tiri fuori" due [tex]x[/tex] diverse: una si ottiene col [tex]+[/tex] davanti alla radice, l'altra col [tex]-[/tex].
Quindi da uno stesso elemento [tex]y[/tex] del codominio si può "risalire" a due diversi elementi del dominio, ovvero vale che [tex]f(x_{1})=f(x_{2}) \land x_{1}\neq x_{2}[/tex], che è la negazione di [tex]f(x_{1})=f(x_{2})\implies x_{1}=x_{2}[/tex] che, a sua volta è la definizione di iniettività, ergo, data che è vera la negazione della caratterizzazione dell'iniettività, l'applicazione non è iniettiva.
Se vuoi, puoi dire in formule che l'appplicazione non è iniettiva perché [tex]\exists^{\text{\scriptsize{no}}}x_{1},x_{2} \in \text{ dom}(f) : x_{1}\neq x_{2} \land f(x_{1})=f(x_{2})[/tex].
Giusto, hai ragione.
Ora però non mi trovo un attimo con un esercizio che mi chiede di calcolare la funzione inversa di una funzione bigettiva.
L'esercizio dice dato $A={1,2,3}$, sia $f: P(A) rarr P(A)$ l'applicazione così definita:
$AA X in P(A)$ $f(x)=C_A(X)$
Stabilire se è bigettiva ed in caso affermativo calcolare l'inversa.
Essendo un insieme finito mi sono calcolato tutti i vari casi e ho trovato che è sia ingettiva che surgettiva e quindi surgettiva.
Ora, prendendo l'esempio dagli appunti la formula per calcolare l'inverso dovrebbe essere questa:
$AA Y in P(A) f^-1(Y)=X$ t.c $f(X)=C_A(X)=Y$
Però mi sfuggono due cose:
1) In tutto questo non dice da nessuna parte $X$ cos'è, daccordo è già di suo un insieme quindi non essendo un elemento non dobbiamo esplicarne il dominio, ma non dovremmo almeno dire che è un sottoinsieme di $P(A)$ ?
2) Ma, secondo la traccia, basta che scrivo la proposizione logica corretta oppure devo anche calcolarmi tutti gli inversi?
Ora però non mi trovo un attimo con un esercizio che mi chiede di calcolare la funzione inversa di una funzione bigettiva.
L'esercizio dice dato $A={1,2,3}$, sia $f: P(A) rarr P(A)$ l'applicazione così definita:
$AA X in P(A)$ $f(x)=C_A(X)$
Stabilire se è bigettiva ed in caso affermativo calcolare l'inversa.
Essendo un insieme finito mi sono calcolato tutti i vari casi e ho trovato che è sia ingettiva che surgettiva e quindi surgettiva.
Ora, prendendo l'esempio dagli appunti la formula per calcolare l'inverso dovrebbe essere questa:
$AA Y in P(A) f^-1(Y)=X$ t.c $f(X)=C_A(X)=Y$
Però mi sfuggono due cose:
1) In tutto questo non dice da nessuna parte $X$ cos'è, daccordo è già di suo un insieme quindi non essendo un elemento non dobbiamo esplicarne il dominio, ma non dovremmo almeno dire che è un sottoinsieme di $P(A)$ ?
2) Ma, secondo la traccia, basta che scrivo la proposizione logica corretta oppure devo anche calcolarmi tutti gli inversi?
Domanda: con [tex]C_{A}(X)[/tex] cosa indichi? Il complementare di [tex]X[/tex] in [tex]A[/tex]?
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