Relazioni e partizioni - dubbio risoluzione esercizio
Ciao a tutti,
questa volta non riesco ad abbozzare una soluzione per questo esercizio.
qualcuno di voi saprebbe aiutarmi a ragionarci su?
Sia $A={n in ZZ | -10<=n<=9 }$ e $f :A->N $ tale che $f(n)=M.C.D.(n,6)$.
Determinare la relazione Rf su A determinata da f e la partizione di A che tale relazione determina.
scusate se non propongo una mia soluzione ma non so proprio come iniziare a cavarci qualcosa
questa volta non riesco ad abbozzare una soluzione per questo esercizio.
qualcuno di voi saprebbe aiutarmi a ragionarci su?
Sia $A={n in ZZ | -10<=n<=9 }$ e $f :A->N $ tale che $f(n)=M.C.D.(n,6)$.
Determinare la relazione Rf su A determinata da f e la partizione di A che tale relazione determina.
scusate se non propongo una mia soluzione ma non so proprio come iniziare a cavarci qualcosa
Risposte
nessun aiutino? (scusate l'insistenza)
[mod="Martino"]Sono vietati gli UP dopo meno di 24 ore. Attenzione in futuro, grazie.[/mod]
Intanto potresti partire dall'analizzare la funzione per vedere se e' iniettiva e/o suriettiva, poi verificare se la relazione e' una relazione di equivalenza, dato che ad ogni relazione di equivalenza e' assegnata una partizione e viceversa (ma dato il testo dell'esercizio dovrebbe esserlo...pero' va verificato).
Io partirei con questo
Io partirei con questo
"GundamRX91":
Intanto potresti partire dall'analizzare la funzione
ma non ho capito una cosa (che mi sto rendendo conto solo ora essere abbastanza stupida) ma la funzione che devo dimostrare essere ingettiva, ecc... è proprio [tex]f(n)= M.C.D.(n,6)[/tex] ??? non devo trovare io una funzione che mi dia quella relazione?
No, no, la funzione è proprio quella indicata.
e allora credo di essermi perso in un bicchiere d'acqua perchè in pratica, riformulando la traccia, vuole sapere che tipo di relazione esiste (ingettività, surgettività e in caso sapere se è una relazione di equivalenza) su quella funzione e alla fine di calcolarne la partizione... bel post stupido allora 
davvero. scusate.
davvero. scusate.
Piano.. ogni funzione [tex]f:A \to B[/tex] determina una partizione su [tex]A[/tex], la seguente:
[tex]\{f^{-1}(b)\ |\ b \in B\}[/tex].
Quella che consiste delle controimmagini dei punti, in pratica. Credo sia questa la partizione che l'esercizio ti chiede di studiare.
[tex]\{f^{-1}(b)\ |\ b \in B\}[/tex].
Quella che consiste delle controimmagini dei punti, in pratica. Credo sia questa la partizione che l'esercizio ti chiede di studiare.
@martino: sei sicuro? la traccia dice di trovare una relazione e la partizione che deriva dalla relazione trovata... gundam almeno me lo ha fatto capire così e devo dire che mi ha convinto
Hai scritto:
Altrimenti dimmi: a quale relazione ti riferisci?
Ti ricordo che una relazione su un insieme [tex]X[/tex] è un sottoinsieme [tex]R[/tex] del prodotto cartesiano [tex]X \times X[/tex].
Io dico che [tex]X=A[/tex] e [tex]R=\{(x,y) \in A \times A\ |\ f(x)=f(y)\}[/tex].
Tu cosa proponi? Chi è il tuo [tex]X[/tex] e chi è il tuo [tex]R[/tex]?
"duombo":Se c'è una relazione su A che f determina, è (usualmente) quella che ti ho scritto sopra (e che sto per riscrivere qui sotto).
Determinare la relazione Rf su A determinata da f
Altrimenti dimmi: a quale relazione ti riferisci?
Ti ricordo che una relazione su un insieme [tex]X[/tex] è un sottoinsieme [tex]R[/tex] del prodotto cartesiano [tex]X \times X[/tex].
Io dico che [tex]X=A[/tex] e [tex]R=\{(x,y) \in A \times A\ |\ f(x)=f(y)\}[/tex].
Tu cosa proponi? Chi è il tuo [tex]X[/tex] e chi è il tuo [tex]R[/tex]?
ora sono ufficialmente confuso, io ora stavo per guardare l'ingettività, la surgettività ecc della funzione $f(x)=MCD(x,6)$ sbaglio?
il ragionamento che hai fatto onestamente mi mette in difficoltà perchè non l'ho capito... secondo te come si dovrebbe fare?
(grazie mille, almeno così ci capisco qualcosa:) )
il ragionamento che hai fatto onestamente mi mette in difficoltà perchè non l'ho capito... secondo te come si dovrebbe fare?
(grazie mille, almeno così ci capisco qualcosa:) )
Quello che ti serve te l'ho già detto, non lo saprei dire meglio. Prova a cercare nel tuo testo sotto "relazioni di equivalenza" quello che ti ho scritto.
Vedi qui, il quarto pallino della sezione "esempi" (quello che comincia con "Qualunque funzione..."). E' di questo che sto parlando.
Vedi qui, il quarto pallino della sezione "esempi" (quello che comincia con "Qualunque funzione..."). E' di questo che sto parlando.
ok provo a vedere, grazie mille
"Martino":Se c'è una relazione su A che f determina, è (usualmente) quella che ti ho scritto sopra (e che sto per riscrivere qui sotto).
Hai scritto:[quote="duombo"]Determinare la relazione Rf su A determinata da f
Altrimenti dimmi: a quale relazione ti riferisci?
Ti ricordo che una relazione su un insieme [tex]X[/tex] è un sottoinsieme [tex]R[/tex] del prodotto cartesiano [tex]X \times X[/tex].
Io dico che [tex]X=A[/tex] e [tex]R=\{(x,y) \in A \times A\ |\ f(x)=f(y)\}[/tex].
Tu cosa proponi? Chi è il tuo [tex]X[/tex] e chi è il tuo [tex]R[/tex]?[/quote]
Non sapevo che ogni funzione può determinare una relazione di equivalenza. Grazie per la segnalazione
Duombo hai risolto l'esercizio, così confrontiamo la soluzione?
[OT] come si fa a mettere le soluzioni "nascoste", quelle che puoi visualizzare cliccando su un link nel testo stesso del post? Spero di essermi
spiegato....
[/OT]
purtroppo non ho proprio idea di come si possa fare quell'esercizio, ho chiesto ad un amico e aspetto la sua risposta
OT: per mettere il testo nascosto, devi selezionarlo e cliccare sul tasto "spoiler"
OT: per mettere il testo nascosto, devi selezionarlo e cliccare sul tasto "spoiler"
Ok, allora posto comunque la mia soluzione e poi aspettiamo le mazzate di Martino (che intanto ringrazio per l'intervento!!)
Posto che una generica funzione [tex]f: A \to B[/tex] può definire una relazione di equivalenza tra [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], [tex]\forall a,b \in A[/tex]
come [tex]a \equiv b \Leftrightarrow f(a) = f(b)[/tex], nel nostro caso abbiamo che [tex]f(a)=MCD(a,6)[/tex] la quale determina il seguente insieme
delle immagini [tex]Imf = \{1,2,3,6\}[/tex]. La controimmagine di [tex]f[/tex] è definita come [tex]f^-^1(b)=\{a \in A | b=f(a)\}[/tex] e le
controimmagini degli elementi di [tex]Imf[/tex] sono:
[tex]f^-^1(1)=\{-7,-5,-1,1,5,7\}[/tex]
[tex]f^-^1(2)=\{-10,-8,-4,-2,2,4,8\}[/tex]
[tex]f^-^1(3)=\{-9,-6,-3,3,6,9\}[/tex]
[tex]f^-^1(6)=\{-6,6\}[/tex]
Una partizione di [tex]A[/tex] è definita come quegli insiemi non vuoti, due a due disgiunti e che l'unione "ricopre" [tex]A[/tex], allora una possibile
partizione può essere definita dalle controimmagini [tex]f^-^1(1)[/tex],[tex]f^-^1(2)[/tex],[tex]f^-^1(3)[/tex].
Posto che una generica funzione [tex]f: A \to B[/tex] può definire una relazione di equivalenza tra [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], [tex]\forall a,b \in A[/tex]
come [tex]a \equiv b \Leftrightarrow f(a) = f(b)[/tex], nel nostro caso abbiamo che [tex]f(a)=MCD(a,6)[/tex] la quale determina il seguente insieme
delle immagini [tex]Imf = \{1,2,3,6\}[/tex]. La controimmagine di [tex]f[/tex] è definita come [tex]f^-^1(b)=\{a \in A | b=f(a)\}[/tex] e le
controimmagini degli elementi di [tex]Imf[/tex] sono:
[tex]f^-^1(1)=\{-7,-5,-1,1,5,7\}[/tex]
[tex]f^-^1(2)=\{-10,-8,-4,-2,2,4,8\}[/tex]
[tex]f^-^1(3)=\{-9,-6,-3,3,6,9\}[/tex]
[tex]f^-^1(6)=\{-6,6\}[/tex]
Una partizione di [tex]A[/tex] è definita come quegli insiemi non vuoti, due a due disgiunti e che l'unione "ricopre" [tex]A[/tex], allora una possibile
partizione può essere definita dalle controimmagini [tex]f^-^1(1)[/tex],[tex]f^-^1(2)[/tex],[tex]f^-^1(3)[/tex].
"GundamRX91":Vale anche il viceversa: la funzione che determina una data relazione di equivalenza è la sua proiezione canonica.
Non sapevo che ogni funzione può determinare una relazione di equivalenza. Grazie per la segnalazione
- Se [tex]\sim[/tex] è una relazione di equivalenza su [tex]A[/tex] allora la proiezione canonica, cioè la funzione [tex]\pi: A \to A/\sim[/tex] che manda [tex]a[/tex] nella sua classe [tex][a]_{\sim}[/tex], è una funzione suriettiva che determina [tex]\sim[/tex] nel senso che [tex]\sim = \{(a,b) \in A \times A\ |\ \pi(a)=\pi(b)\}[/tex].
- Se [tex]f:A \to B[/tex] è una funzione suriettiva allora detta [tex]\sim[/tex] la relazione di equivalenza [tex]\{(a,b) \in A \times A\ |\ f(a)=f(b)\}[/tex], si ha una biiezione canonica [tex]p:A/\sim \to B[/tex], quella che manda [tex][a]_{\sim}[/tex] in [tex]f(a)[/tex], e detta [tex]\pi[/tex] la proiezione canonica [tex]A \to A/\sim[/tex] (la funzione che manda [tex]a[/tex] nella sua classe) si ha [tex]p \circ \pi = f[/tex], in altre parole [tex]\pi[/tex] coincide con [tex]f[/tex] a meno di identificare (canonicamente) [tex]A/\sim[/tex] con [tex]B[/tex].
L'interpretazione intuitiva è questa: si identificano le classi di equivalenza con una proprietà comune caratterizzante. Per esempio la relazione di equivalenza "essere rette parallele" viene tradotta in "essere rette con la stessa direzione", qui la funzione corrispondente è quella che assegna ad ogni retta la sua direzione. In breve, ogni relazione di equivalenza si può esprimere brevemente con "avere la/lo stessa/o *qualcosa*". E la proiezione canonica non fa altro che mandare un oggetto in questo suo "qualcosa".
"GundamRX91":I quattro insiemi che hai descritto non possono intersecarsi (se [tex]f^{-1}(x)[/tex] e [tex]f^{-1}(y)[/tex] hanno un elemento comune [tex]a[/tex] allora per definizione [tex]x=f(a)=y[/tex]). Perché hai messo 6 e -6 in [tex]f^{-1}(3)[/tex]?
[tex]f^-^1(1)=\{-7,-5,-1,1,5,7\}[/tex]
[tex]f^-^1(2)=\{-10,-8,-4,-2,2,4,8\}[/tex]
[tex]f^-^1(3)=\{-9,-6,-3,3,6,9\}[/tex]
[tex]f^-^1(6)=\{-6,6\}[/tex]
Una partizione di [tex]A[/tex] è definita come quegli insiemi non vuoti, due a due disgiunti e che l'unione "ricopre" [tex]A[/tex], allora una possibile
partizione può essere definita dalle controimmagini [tex]f^-^1(1)[/tex],[tex]f^-^1(2)[/tex],[tex]f^-^1(3)[/tex].
Infatti io ho indicato che la partizione è definita dalle sole prime tre controimmagini: [tex]f^-^1(1),f^-^1(2),f^-^1(3)[/tex] proprio per il motivo
che hai indicato.
che hai indicato.
scusate se non intervengo ma giuro che cerco di capire quello che avete scritto non appena sono a casa (ora sono in ufficio)
"GundamRX91":No, ma tu hai messo [tex]6[/tex] e [tex]-6[/tex] in [tex]f^{-1}(3)[/tex], infatti hai scritto
Infatti io ho indicato che la partizione è definita dalle sole prime tre controimmagini: [tex]f^-^1(1),f^-^1(2),f^-^1(3)[/tex] proprio per il motivo
che hai indicato.
"GundamRX91":Questo è sbagliato, dato che [tex]f(\pm 6)=MCD(\pm 6,6)=6 \neq 3[/tex].
[tex]f^-^1(3)=\{-9,-6,-3,3,6,9\}[/tex]
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