Relazioni d'ordine

[Gatto891]

Esercizi vari sulle relazioni d'ordine, mi è rimasto un dubbio:

Nelle relazioni (eventuali) d'ordine in $R$:

$xy \geq 1$ e

$x^2 \geq y^2$

$cos(xy) \geq 0$

$e^{x} \geq e^{2y}$

Premesso che alcune non sono d'ordine a prescindere, ma vorrei sapere comunque nel calcolo dell'asimmetria se la tesi da dimostrare è sempre $x = y$ o varia di caso in caso (e nel secondo caso, qual'è per esempio nella 3 e nella 4)

Danke ^_^

[Studente Anonimo]

"Gatto89":vorrei sapere comunque nel calcolo dell'asimmetria se la tesi da dimostrare è sempre $x = y$ o varia di caso in caso

Non varia, è sempre quella.

[Gatto891]

Quindi (faccio un esempio): per l'asimmetria di $e^{x} \geq e^{2y}$

$e^{x} \geq e^{2y},$ $e^{2y} \geq e^{x} -> x = y$ (che è falso)?

[Studente Anonimo]

"Gatto89":Quindi (faccio un esempio): per l'asimmetria di $e^{x} \geq e^{2y}$

$e^{x} \geq e^{2y},$ $e^{2y} \geq e^{x} -> x = y$ (che è falso)?

Esatto. Quindi quella relazione non è antisimmetrica.

[adaBTTLS1]

casomai $e^x=e^2y$...
però, per interpretare la tua prima domanda, si conclude con un'uguagliaglianza nel caso di relazione d'ordine in senso lato.
se si tratta di relazione d'ordine in senso stretto, l'antisimmetria non si può definire nello stesso modo.
ciao.

[adaBTTLS1]

... pardon, aveva risposto Martino... e probabilmente io non avevo capito la domanda!
ciao.

[Studente Anonimo]

"adaBTTLS":se si tratta di relazione d'ordine in senso stretto, l'antisimmetria non si può definire nello stesso modo.

Perché no? Una relazione d'ordine stretto è antisimmetrica esattamente come lo è una relazione d'ordine largo, no? Quello che viene mancare nell'ordine stretto è la riflessività.

[adaBTTLS1]

in senso stretto non si può dire che "<" (relazione d'ordine stretto in un insieme A) è antisimmetrica se $AA x, y in A, {(x(x=y)$

[Studente Anonimo]

"adaBTTLS":in senso stretto non si può dire che "<" (relazione d'ordine stretto in un insieme A) è antisimmetrica se $AA x, y in A, {(x(x=y)$

Come no? Certo che si può.

Se hai una relazione d'ordine stretto e due elementi $a,b$ tali che $a

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[adaBTTLS1]

nel senso che ammetti la scrittura $a
apro una breve parentesi che potrebbe comunque essere utile a Gatto89: ricordiamo che una relazione d'ordine deve essere o riflessiva (se in senso lato) o antiriflessiva (se in senso stretto). ma ci sono tante relazioni che sono "antisimmetriche" e transitive ma non sono d'ordine perché non sono né riflessive né antiriflessive.

ho messo quell'antisimmetriche tra virgolette per indicare in maniera generica l'antisimmetria in entrambi i sensi: cioè se $x != y$ e $x

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[kekko989]

ma scusa.. $a=b$ rende false tutte e due le ipotesi(che già dicono l'opposto)

[Studente Anonimo]

"Gatto89":Quindi (faccio un esempio): per l'asimmetria di $e^{x} \geq e^{2y}$

$e^{x} \geq e^{2y},$ $e^{2y} \geq e^{x} -> x = y$ (che è falso)?

Più che altro: poni $e^x ge e^{2y}$ e $e^y ge e^{2x}$, ottenendo

$x ge 2y$, $y ge 2x$

E per esempio $x=-1$, $y=-2$ verificano entrambe le condizioni ma sono diversi. Quindi non hai antisimmetria.
Per vederlo meglio puoi rappresentare tali punti $(x,y)$ sul piano cartesiano.

[Studente Anonimo]

"adaBTTLS":nel senso che ammetti la scrittura $a

Beh, intendevo che non succede mai che $a

L'implicazione "$a

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[adaBTTLS1]

a parte che il simbolo "<" rappresentava una relazione d'ordine, quindi anche qualcosa di diverso da "minore", ma <>. è come dire che le relazioni "sono tutte antisimmetriche"!

[Studente Anonimo]

"adaBTTLS":a parte che il simbolo "<" rappresentava una relazione d'ordine, quindi anche qualcosa di diverso da "minore", ma <>. è come dire che le relazioni "sono tutte antisimmetriche"!

No, non ci siamo capiti.

La definizione di relazione antisimmetrica è

(*) "una relazione $sim$ su un insieme $A$ si dice antisimmetrica se ogni volta che $a,b in A$ e $a sim b$ e $b sim a$ si ha $a=b$".

Ora l'usuale relazione d'ordine stretto $<$ su $NN$ è antisimmetrica perché se ho due numeri naturali $n,m$ tali che $n
Se la definizione (*) infastidisce la si può girare ottenendo la definizione equivalente:

(**) "una relazione si dice antisimmetrica se elementi distinti non sono mutuamente in relazione".

[adaBTTLS1]

infatti "non ci siamo capiti"!
io ho fatto una battuta sul fatto che una cosa vera dedotta da una premessa falsa, quindi come detto da te sempre vera, non può essere una definizione di qualcosa che non è sempre vero.
se vedi la antisimmetria insieme con la riflessività o la antiriflessività, l' "n=m" si giustifica perfettamente. non se la cosideri in maniera isolata, perché così tu ammetti che ci possano essere degli elementi per cui valga "aa".
provo a scrivere sotto forma di matrice una relazione "antisimmetrica" e transitiva che non è d'ordine.
abbiamo l'insieme A={a,b,c,d}. metto 1 per indicare "in relazione", 0 per indicare "non in relazione": spero si capisca.
naturalmente non dimostra nulla ma fa capire come è bene precisare le proprietà delle relazioni d'ordine:

$((\,a,b,c,d),(a,1,0,0,0),(b,1,1,0,0),(c,1,1,0,0),(d,1,1,1,0))$

ciao.

P.S.: sull'altra domanda di Gatto89 hai cambiato idea e l'hai interpretata come me?

"Martino":[quote="Gatto89"]Quindi (faccio un esempio): per l'asimmetria di $e^{x} \geq e^{2y}$

$e^{x} \geq e^{2y},$ $e^{2y} \geq e^{x} -> x = y$ (che è falso)?

Più che altro: poni $e^x ge e^{2y}$ e $e^y ge e^{2x}$, ottenendo

$x ge 2y$, $y ge 2x$

E per esempio $x=-1$, $y=-2$ verificano entrambe le condizioni ma sono diversi. Quindi non hai antisimmetria.
Per vederlo meglio puoi rappresentare tali punti $(x,y)$ sul piano cartesiano.[/quote]

[Studente Anonimo]

"adaBTTLS":se vedi la antisimmetria insieme con la riflessività o la antiriflessività, l' "n=m" si giustifica perfettamente. non se la cosideri in maniera isolata, perché così tu ammetti che ci possano essere degli elementi per cui valga "aa".

Non è vero che ammetto l'esistenza di quegli elementi. L'antisimmetria non richiede l'esistenza di particolari elementi.
Io dico che se ho una relazione antisimmetrica, due elementi mutuamente in relazione devono coincidere (il che è equivalente a dire che ogni due elementi distinti non sono mutuamente in relazione). Quindi l'antisimmetria si disinteressa della diagonale: se io vandalizzo la diagonale di una relazione antisimmetrica, quella rimane antisimmetrica.
Credo che siamo d'accordo su questo.

provo a scrivere sotto forma di matrice una relazione "antisimmetrica" e transitiva che non è d'ordine.
abbiamo l'insieme A={a,b,c,d}. metto 1 per indicare "in relazione", 0 per indicare "non in relazione": spero si capisca.
naturalmente non dimostra nulla ma fa capire come è bene precisare le proprietà delle relazioni d'ordine:

$((\,a,b,c,d),(a,1,0,0,0),(b,1,1,0,0),(c,1,1,0,0),(d,1,1,1,0))$

Condivido che quello non è un ordine (né largo né stretto). Ma nondimeno è una relazione antisimmetrica anche secondo la mia definizione (che poi equivale alla tua).

P.S.: sull'altra domanda di Gatto89 hai cambiato idea e l'hai interpretata come me?

"Martino":[quote="Gatto89"]Quindi (faccio un esempio): per l'asimmetria di $e^{x} \geq e^{2y}$

$e^{x} \geq e^{2y},$ $e^{2y} \geq e^{x} -> x = y$ (che è falso)?

Più che altro: poni $e^x ge e^{2y}$ e $e^y ge e^{2x}$, ottenendo

$x ge 2y$, $y ge 2x$

E per esempio $x=-1$, $y=-2$ verificano entrambe le condizioni ma sono diversi. Quindi non hai antisimmetria.
Per vederlo meglio puoi rappresentare tali punti $(x,y)$ sul piano cartesiano.

[/quote]

Sì non mi ero soffermato, ho solo commentato che la sua deduzione "(che è falso)" era corretta. Poi ho visto l'errore di scrittura e ho approfondito.

[Studente Anonimo]

Forse ho capito su quale punto non ci intendiamo. Tu dici che con la definizione seguente

(*) una relazione $sim$ su un insieme $A$ si dice antisimmetrica se per ogni $a,b in A$ tali che $a sim b$ e $b sim a$ si ha $a=b$

la relazione del tuo esempio:

"adaBTTLS":$((\,a,b,c,d),(a,1,0,0,0),(b,1,1,0,0),(c,1,1,0,0),(d,1,1,1,0))$

non è antisimmetrica. Bene allora per dimostrarlo dovresti trovare due elementi di ${a,b,c,d}$, diciamo $x$ e $y$, che non verifichino la condizione in (*), cioè tali che $x ne y$ e $x sim y$ e $y sim x$. Io non li trovo.

[adaBTTLS1]

no no, io ho detto che è antisimmetrica. non è una relazione d'ordine.
ma poiché capita anche di vedere scritto in qualche libro di testo che una relazione d'ordine in senso lato è riflessiva, antisimmetrica e transitiva, mentre una relazione d'ordine in senso stretto è antisimmetrica e transitiva (senza specificare che deve essere antiriflessiva), dal momento che ci sono due tipi diversi di relazione d'ordine, si potrebbe ricorrere anche ad un linguaggio più naturale che non utilizzi delle frasi che suonano assurde pe concludere una cosa che può essere vera o falsa.
per farla breve, la definizione che io ho citato potrebbe essere universale, ma non la uso proprio perché la tua è più corretta (però la tua è "naturale" solo se si riferisce alla relazione d'ordine in senso lato); invece ci sarebbe la seguente a sostituire contemporaneamente la antiriflessività e l'antisimmetria (più "naturale" nel caso di relazioni d'ordine in senso stretto): $AA x,y in A, {(x,y) in R => (y,x) notin R}$

ciao.

[Gatto891]

Ringrazio tutti e mi scuso se ne è nata una discussione così feroce

In effetti il mio dubbio iniziale era se la tesi dell'antisimmetria fosse $x = y$ o $e^{x} = e^{2y}$, perchè dalle risposte di Martino mi sembra la prima e da quelle di Adabttls la seconda...

[Studente Anonimo]

@adaBTTLS: ok, credo che abbiamo trovato un punto in comune, secondo me ci eravamo solo capiti male

"Gatto89":Ringrazio tutti e mi scuso se ne è nata una discussione così feroce

In effetti il mio dubbio iniziale era se la tesi dell'antisimmetria fosse $x = y$ o $e^{x} = e^{2y}$, perchè dalle risposte di Martino mi sembra la prima e da quelle di Adabttls la seconda...

Mi sembra di capire che il tuo dubbio si fondi su premesse sbagliate. La relazione che proponi tu e' questa (su $RR$):

$x sim y$ se e solo se $e^x ge e^{2y}$.

Per verificare se e' antisimmetrica devi porre $x sim y$ e $y sim x$ e vedere che punti $(x,y)$ ne saltano fuori. Se trovi anche un solo tale punto $(x,y)$ con $x ne y$ allora la relazione non e' antisimmetrica. Se invece ogni tale punto e' sulla diagonale (ovvero della forma $(x,x)$) allora la relazione e' antisimmetrica.

Ora $x sim y$ e $y sim x$ diventano:

$x sim y$ significa $e^x ge e^{2y}$;
$y sim x$ significa $e^y ge e^{2x}$ (e non $e^x le e^{2y}$ come hai scritto tu).

Passando ai logaritmi ottieni

$x sim y$ significa $x ge 2y$;
$y sim x$ significa $y ge 2x$.

Quindi $x,y$ verificano $x sim y$ e $y sim x$ se e solo se $x ge 2y$ e $y ge 2x$. Se rappresenti tali punti $(x,y)$ sul piano vedi che ce ne sono infiniti fuori dalla diagonale (prova). Naturalmente ne basta uno: prendi $(-1,-2)$. Quindi non hai l'antisimmetria.
Si e' capito?
Ciao