Relazione transitiva
Buongiorno a tutti, ho un dubbio, leggendo
The definition of transitive for relations applies to all$ x,y,z$ in the domain of the relation. It does not require them to be distinct. So if $R$ is a transitive relation, then the reasoning $ (a,b),(b,a)∈R implies (a,a)∈R$ is valid.
Quindi per esempio se considero relazione: "essere fratello di" che risulta transitiva, devo considerare valida anche la relazione
Mario $R$Luca e Luca $R$Mario $implies$ Mario $R$Mario
Cioè Mario é fratello di Mario, altrimenti non ho più la transitività.
Grazie
The definition of transitive for relations applies to all$ x,y,z$ in the domain of the relation. It does not require them to be distinct. So if $R$ is a transitive relation, then the reasoning $ (a,b),(b,a)∈R implies (a,a)∈R$ is valid.
Quindi per esempio se considero relazione: "essere fratello di" che risulta transitiva, devo considerare valida anche la relazione
Mario $R$Luca e Luca $R$Mario $implies$ Mario $R$Mario
Cioè Mario é fratello di Mario, altrimenti non ho più la transitività.
Grazie
Risposte
"milos144":Non è transitiva. L'hai appena dimostrato.
"essere fratello di" che risulta transitiva
Questo era proprio il mio dubbio....ma su alcuni esercizi che ho visto in giro la fanno passare per transitiva....come mai?
Grazie
Grazie
Se su un libro c'è scritta una cosa falsa, il fatto che sia scritta su un libro non la rende vera.
Comunque per esempio "avere lo stesso padre" o simili non è la stessa cosa che essere fratelli (o sorelle).
Dipende dall’interpretazione della “fratellitudine”… 
Se “essere fratelli” è inteso come sinonimo di “avere gli stessi genitori”, allora sì: ognuno è fratello di se stesso.
Dirai: ma con tutti i casi di famiglie divise e riformate non sarebbe ora di cambiare interpretazione?
Beh, e diciamo pure che “essere fratelli” è sinonimo di “avere almeno un genitore in comune”… In questo caso che succede?
Se “essere fratelli” è inteso come sinonimo di “avere gli stessi genitori”, allora sì: ognuno è fratello di se stesso.
Dirai: ma con tutti i casi di famiglie divise e riformate non sarebbe ora di cambiare interpretazione?
Beh, e diciamo pure che “essere fratelli” è sinonimo di “avere almeno un genitore in comune”… In questo caso che succede?
Nel caso della relazione definita "avere lo stesso padre" mi risulta invece una relazione di equivalenza.
Nella relazione "avere lo stesso padre" che è di equivalenza, mi confermate che c'é una sola classe di equivalenza? Grazie
La relazione "avere lo stesso padre" è riflessiva.
Se definita sull'insieme degli esseri umani, non c'è un'unica classe di equivalenza.
Se definita sull'insieme degli esseri umani, non c'è un'unica classe di equivalenza.
Buongiorno a tutti, nelle relazioni così definite:
$R={(a,b) in NN xx NN | a+b=7}$
$F={(a,b) in NN xx NN | a*b=12}$
come faccio a verificare che che $F^2$ e $R^2$ sono contenute nella relazione diagonale?
Io ho ragionato cosi:
ho inteso $R^2= R^-1@R rArr aRb ^^ bRa rArr aRa$
ho inteso $F^2= F^-1@F rArr aFb ^^ bFa rArr aFa$
Grazie
$R={(a,b) in NN xx NN | a+b=7}$
$F={(a,b) in NN xx NN | a*b=12}$
come faccio a verificare che che $F^2$ e $R^2$ sono contenute nella relazione diagonale?
Io ho ragionato cosi:
ho inteso $R^2= R^-1@R rArr aRb ^^ bRa rArr aRa$
ho inteso $F^2= F^-1@F rArr aFb ^^ bFa rArr aFa$
Grazie
Chiamare $R^2$ qualcosa che è il "prodotto" di $R$ ed $R^(-1)$ non è proprio furbo a livello notazionale...
Sei sicuro che il senso sia quello?
Poi, hai fatto qualche esempio per vedere se funziona?
Sei sicuro che il senso sia quello?
Poi, hai fatto qualche esempio per vedere se funziona?
Intanto grazie.
L'esercizio chiedeva di verificare che $F^2$ e $R^2$ sono contenute nella relazione diagonale. Ora se io intendo $F^2$ o anche $R^2$ a livello notazionale, per esempio come ho fatto io, non é vero che $R$ o $F sube $ relazione diagonale, in quanto le relazioni di partenza, per come sono definite, non sono nè riflessive nè transitive. Quindi come dovrei intendere $R^2$ e $F^2$ affinché siano contenute nella relazione diagonale?
L'esercizio chiedeva di verificare che $F^2$ e $R^2$ sono contenute nella relazione diagonale. Ora se io intendo $F^2$ o anche $R^2$ a livello notazionale, per esempio come ho fatto io, non é vero che $R$ o $F sube $ relazione diagonale, in quanto le relazioni di partenza, per come sono definite, non sono nè riflessive nè transitive. Quindi come dovrei intendere $R^2$ e $F^2$ affinché siano contenute nella relazione diagonale?
Di solito, se \( S \) è un insieme, con \( S^{2} \) si indica il prodotto cartesiano \( S \times S \).
Data una relazione \( R \) su un insieme \( S \), ovvero \( R \subseteq S^{2} \), se \( R^{-1} \) è la relazione inversa (o opposta), la composizione \( R^{-1} \circ R \) è un sottoinsieme della relazione identica, cioè la diagonale di \( S^{2} \), chiamiamola \( diag(S^{2}) \).
Ciò premesso, nel tuo caso abbiamo che, per esempio:
\[
R = \{ (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0)\}
\]
Quindi sicuramente non è \( R \subseteq diag(\mathbb{N}^{2}) \) e men che meno è \( R^{2} \subseteq diag(\mathbb{N}^{2})\), dato che gli elementi di \( R^{2} \) sono coppie aventi per coordinate altre coppie, e.g. \(((0,7),(6,1))\). A meno che non si intenda con \( R^{2} \) la composizione \( R^{-1} \circ R \), ma la cosa mi pare alquanto strana.
L'esercizio di preciso cosa dice? La fonte qual è? Nelle pagine precedenti, c'è scritto con si intende con \( R^{2} \)?
Data una relazione \( R \) su un insieme \( S \), ovvero \( R \subseteq S^{2} \), se \( R^{-1} \) è la relazione inversa (o opposta), la composizione \( R^{-1} \circ R \) è un sottoinsieme della relazione identica, cioè la diagonale di \( S^{2} \), chiamiamola \( diag(S^{2}) \).
Ciò premesso, nel tuo caso abbiamo che, per esempio:
\[
R = \{ (0,7), (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (7,0)\}
\]
Quindi sicuramente non è \( R \subseteq diag(\mathbb{N}^{2}) \) e men che meno è \( R^{2} \subseteq diag(\mathbb{N}^{2})\), dato che gli elementi di \( R^{2} \) sono coppie aventi per coordinate altre coppie, e.g. \(((0,7),(6,1))\). A meno che non si intenda con \( R^{2} \) la composizione \( R^{-1} \circ R \), ma la cosa mi pare alquanto strana.
L'esercizio di preciso cosa dice? La fonte qual è? Nelle pagine precedenti, c'è scritto con si intende con \( R^{2} \)?
È un esercizio tratto da un eserciziario "Esercizi di Algebra" di Alfio Ragusa e Clara Sparacino.
Nel libro non c'è scritto cosa intendono per $R^2$
comunque se per $R^2$ o per $ F^2$ intendono la composizione
$R^-1@R$ per cui $R^2=R^(−1)∘R⇒aRb∧bRa⇒aRa$
essendo le relazioni non transitive come fa ad essere $aRa$ o anche $aFa$
Cioè come fanno ad essere incluse nella relazione diagonale.
Grazue
Nel libro non c'è scritto cosa intendono per $R^2$
comunque se per $R^2$ o per $ F^2$ intendono la composizione
$R^-1@R$ per cui $R^2=R^(−1)∘R⇒aRb∧bRa⇒aRa$
essendo le relazioni non transitive come fa ad essere $aRa$ o anche $aFa$
Cioè come fanno ad essere incluse nella relazione diagonale.
Grazue
"milos144":
Buongiorno a tutti, nelle relazioni così definite:
$R={(a,b) in NN xx NN | a+b=7}$
$F={(a,b) in NN xx NN | a*b=12}$
come faccio a verificare che che $F^2$ e $R^2$ sono contenute nella relazione diagonale?
Ciao, prima di tutto avresti dovuto aprire un nuovo argomento (te lo dico da moderatore), attenzione la prossima volta.
Poi, la composizione di relazioni è questa (clic) e sicuramente è spiegata nel tuo libro. Nessun libro si sognerebbe mai di usare una notazione senza spiegarla. Quindi prova a cercare bene nel libro e troverai la definizione di composizione di relazioni.
Quindi prendiamo per esempio la relazione $R$. Abbiamo che la coppia di numeri naturali $(x,y)$ appartiene a $R^2$ (che ovviamente indica la composizione [tex]R \circ R[/tex]) se e solo se esiste $b in NN$ tale che $(x,b) in R$ e $(b,y) in R$, in altre parole $x+b=7$ e $b+y=7$. Da queste equazioni devi dedurre che $x=y$. Non mi sembra difficile.
"Martino":
$R^2$ (che ovviamente indica la composizione [tex]R \circ R[/tex])
Ma è una notazione standard e quindi sono io ignorante forte o ci sei arrivato tu?
"G.D.":Beh, non credo sia possibile un'altra interpretazione, analogamente al fatto che per esempio se ho una funzione $f:X to X$ di solito la composizione [tex]f \circ f[/tex] si indica con $f^2$ (la composizione di funzioni è un caso particolare della composizione di relazioni).
Ma è una notazione standard e quindi sono io ignorante forte o ci sei arrivato tu?
"G.D.":
[quote="Martino"]$R^2$ (che ovviamente indica la composizione [tex]R \circ R[/tex])
Ma è una notazione standard e quindi sono io ignorante forte o ci sei arrivato tu?[/quote]
Credo sia abbastanza standard, ma non ricordo dove l'ho letta... Per questo non mi tornava l'interpretazione data da OP.
"Martino":Beh, non credo sia possibile un'altra interpretazione, analogamente al fatto che per esempio se ho una funzione $f:X to X$ di solito la composizione [tex]f \circ f[/tex] si indica con $f^2$ (la composizione di funzioni è un caso particolare della composizione di relazioni).[/quote]
[quote="G.D."]Ma è una notazione standard e quindi sono io ignorante forte o ci sei arrivato tu?
"gugo82":
[quote="G.D."][quote="Martino"]$R^2$ (che ovviamente indica la composizione [tex]R \circ R[/tex])
Ma è una notazione standard e quindi sono io ignorante forte o ci sei arrivato tu?[/quote]
Credo sia abbastanza standard, ma non ricordo dove l'ho letta... Per questo non mi tornava l'interpretazione data da OP.[/quote]
Dico la verità: non ricordavo affatto che la composizione di funzioni \( f \circ f \) si indicasse con \( f^{2} \). Poi dopo che Martino vi ha fatto riferimento e dopo che gugo82 pure ha detto di averla letta, ho fatto uno sforzo di memoria e poi sono andato a controllare: l'ho trovata nella traccia di un esercizio sulla composizione di funzioni presente negli appunti di Algebra 1 del Prof. Giordano, che gugo82 dovrebbe conoscere.
Colpa mia.
Ormai sono arrugginito.
Mi scuso per non aver aperto un altro post. Perdonatemi per questa volta.
Quindi se $R^2=R@R$ verificare che $R^2 sube$ relazione diagonale é l'equivalente di dire che la funzione é simmetrica e transitiva
Dico bene? Di nuovo grazie
Quindi se $R^2=R@R$ verificare che $R^2 sube$ relazione diagonale é l'equivalente di dire che la funzione é simmetrica e transitiva
Dico bene? Di nuovo grazie
"milos144":
Quindi se $R^2=R@R$ verificare che $R^2 sube$ relazione diagonale é l'equivalente di dire che la funzione é simmetrica e transitiva
Dico bene? Di nuovo grazie
No, ci sono un'infinità di controesempi, a partire dalla relazione $R=NN xx NN$ (tutto è in relazione con tutto), in questo caso $R$ è simmetrica e transitiva ma $R^2=R$.
Ho l'impressione che ti confonda con l'inclusione
"Relazione diagonale $sube R^2$"
che comunque non è equivalente a dire che la relazione $R$ è simmetrica e transitiva. Pensa all'esempio da te proposto ($x+y=7$).
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