Relazione transitiva
Buongiorno a tutti, ho un dubbio, leggendo
The definition of transitive for relations applies to all$ x,y,z$ in the domain of the relation. It does not require them to be distinct. So if $R$ is a transitive relation, then the reasoning $ (a,b),(b,a)∈R implies (a,a)∈R$ is valid.
Quindi per esempio se considero relazione: "essere fratello di" che risulta transitiva, devo considerare valida anche la relazione
Mario $R$Luca e Luca $R$Mario $implies$ Mario $R$Mario
Cioè Mario é fratello di Mario, altrimenti non ho più la transitività.
Grazie
The definition of transitive for relations applies to all$ x,y,z$ in the domain of the relation. It does not require them to be distinct. So if $R$ is a transitive relation, then the reasoning $ (a,b),(b,a)∈R implies (a,a)∈R$ is valid.
Quindi per esempio se considero relazione: "essere fratello di" che risulta transitiva, devo considerare valida anche la relazione
Mario $R$Luca e Luca $R$Mario $implies$ Mario $R$Mario
Cioè Mario é fratello di Mario, altrimenti non ho più la transitività.
Grazie
Risposte
Un'altra possibilità è che tu voglia dimostrare che ogni relazione simmetrica e transitiva è anche riflessiva (usando l'argomento "se $aRb$ allora $bRa$ e quindi $aRa$", che però ha un buco, quale?).
Anche questo è falso, pensa alla relazione $R={(1,1)}$ definita su $NN$ (cioè $R sube NN xx NN$).
Anche questo è falso, pensa alla relazione $R={(1,1)}$ definita su $NN$ (cioè $R sube NN xx NN$).
Grazie Martino! Correggo qualcosa che comunque non cambia nulla.
Cerco di verificare che tutto mi sia stato chiarito.
Siamo partiti da
$1)$Se $R^2=R∘R $verificare che$ R^2⊆$ relazione diagonale $N×N$ é l'equivalente di dire che la relazione é simmetrica e transitiva
Non é così, infatti $R^2$ risulta riflessiva e quindi $sube$ relazione diagonale $NxN$, mentre $R$ é simmetrica ma non transitiva.
Poi ci sono tanti esempi che confermano questo:
è vero che una relazione simmetrica e transitiva è riflessiva? La risposta é falso
Infatti dall'esempio che hai fatto
$2)$ $R={(1,1)} $definita su $N$ (cioè $R⊆N×N$).
É simmetrica, transitiva ma non riflessiva. Per esempio $(2,2) !in R$
$3)$Nell'altro esempio: tutto é in relazione con tutto definita su $N$ ho capito che questa relazione é simmetrica e transitiva ma non riflessiva.
Grazie
Cerco di verificare che tutto mi sia stato chiarito.
Siamo partiti da
$1)$Se $R^2=R∘R $verificare che$ R^2⊆$ relazione diagonale $N×N$ é l'equivalente di dire che la relazione é simmetrica e transitiva
Non é così, infatti $R^2$ risulta riflessiva e quindi $sube$ relazione diagonale $NxN$, mentre $R$ é simmetrica ma non transitiva.
Poi ci sono tanti esempi che confermano questo:
è vero che una relazione simmetrica e transitiva è riflessiva? La risposta é falso
Infatti dall'esempio che hai fatto
$2)$ $R={(1,1)} $definita su $N$ (cioè $R⊆N×N$).
É simmetrica, transitiva ma non riflessiva. Per esempio $(2,2) !in R$
$3)$Nell'altro esempio: tutto é in relazione con tutto definita su $N$ ho capito che questa relazione é simmetrica e transitiva ma non riflessiva.
Grazie
Questi due punti sono scorretti:
Una relazione $R$ è detta riflessiva se contiene la relazione diagonale.
A me sembra che tu pensi che una relazione è riflessiva se è contenuta nella relazione diagonale. Non è così, è proprio il contrario.
"milos144":
$1)$Se $R^2=R∘R $verificare che$ R^2⊆$ relazione diagonale $N×N$ é l'equivalente di dire che la relazione é simmetrica e transitiva
Non é così, infatti $R^2$ risulta riflessiva e quindi $sube$ relazione diagonale $NxN$, mentre $R$ é simmetrica ma non transitiva.
$3)$Nell'altro esempio: tutto é in relazione con tutto definita su $N$ ho capito che questa relazione é simmetrica e transitiva ma non riflessiva.
Una relazione $R$ è detta riflessiva se contiene la relazione diagonale.
A me sembra che tu pensi che una relazione è riflessiva se è contenuta nella relazione diagonale. Non è così, è proprio il contrario.
Una relazione R è detta riflessiva se contiene la relazione diagonale.
Questo penso di averlo capito, ma la confusione forse mi viene perché l'esercizio mi chiedeva di verificare che $R^2$ e $F^2$ siano contenute nella relazione diagonale $NxN$ Non dovrebbe essere viceversa allora?
La relazione $R$ definita su $NxN$ "tutto é in relazione con tutto" invece é una relazione di equivalenza.
Questo penso di averlo capito, ma la confusione forse mi viene perché l'esercizio mi chiedeva di verificare che $R^2$ e $F^2$ siano contenute nella relazione diagonale $NxN$ Non dovrebbe essere viceversa allora?
La relazione $R$ definita su $NxN$ "tutto é in relazione con tutto" invece é una relazione di equivalenza.
"milos144":Non capisco proprio quello che vuoi dire. Le relazioni $R^2$ e $F^2$ sono contenute nella relazione diagonale, questo è corretto. Non sono riflessive. Qual è il problema?
Questo penso di averlo capito, ma la confusione forse mi viene perché l'esercizio mi chiedeva di verificare che $R^2$ e $F^2$ siano contenute nella relazione diagonale $NxN$ Non dovrebbe essere viceversa allora?
Grazie Martino per la pazienza. Penso adesso di aver capito:
una relazione R è detta riflessiva se contiene la relazione diagonale. È qui ci siamo!
Ora se considero $R^2$ e $F^2$ o anche $R={(1,1)}$ definite su$ N $(cioè $R,R^2,F^2⊆N×N$).
è facile verificare, per esempio, che $(5,5) !in R^2, !inF^2, !in R$, per cui risultano non riflessive.
$R^2,F^2,R$ però sono $sube$ relazione diagonale $NxN$
una relazione R è detta riflessiva se contiene la relazione diagonale. È qui ci siamo!
Ora se considero $R^2$ e $F^2$ o anche $R={(1,1)}$ definite su$ N $(cioè $R,R^2,F^2⊆N×N$).
è facile verificare, per esempio, che $(5,5) !in R^2, !inF^2, !in R$, per cui risultano non riflessive.
$R^2,F^2,R$ però sono $sube$ relazione diagonale $NxN$
Esatto!
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