Relazione equivalenza e relazione di congruenza

[gnappo90]

sapete dirmi qual'è la differenza tra relazione di equivalenza e relzione di congruenza?

[gugo82]

Per quanto mi possa ricordare, le congruenza sono particolari equivalenze definite su insiemi dotati di qualche struttura algebrica.

Più precisamente, una relazione d'equivalenza è una relazione riflessiva, simmetrica e transitiva definita in un insieme [tex]$A$[/tex].
Se in [tex]$A$[/tex] è definita qualche operazione, una congruenza è una relazione d'equivalenza che è compatibile con le operazioni di [tex]$A$[/tex].

Ad esempio, la relazione [tex]$\equiv_m$[/tex] (equivalenza modulo [tex]$m$[/tex]) definita in [tex]$\mathbb{Z}$[/tex] è una congruenza perchè essa è compatibile con le operazioni di [tex]$\mathbb{Z}$[/tex], nel senso che verifica le seguenti proprietà:

1. [tex]\forall x,y,z,t\in \mathbb{Z},\ \text{$x\equiv_m z$ e $y\equiv_m t$}\ \Rightarrow \ x+y\equiv_m z+t[/tex]

2. [tex]\forall x,y,z,t\in \mathbb{Z},\ \text{$x\equiv_m z$ e $y\equiv_m t$}\ \Rightarrow \ xy\equiv_m zt[/tex].

Però aspetta l'opinione di qualcuno più algebrista di me.

[gnappo90]

scusa ma forse non ho capito.per relazione di equivalenza abbiamo relazione riflessiva, simmetrica e transitiva.
In tal caso è corretto scrivere
Riflessiva
$AA a in ZZ$ $ a -= a $$ mod m$
Simmetrica
$AA (a,b) in ZZ a -= b mod m$ $ rarr $$b -= a mod m$
Transitiva
$AA (a,b,c) in ZZ a -= b mod m b -= c mod m$ $ rarr $$ a -= c mod m $

oppure

Riflessiva
$AA a in R a,a in R$
Simmetrica
$AA (a,b) in R se (a,b) in R $$ rarr $ $(b,a) in R $
Transitiva
$AA (a,b,c) in R se (a,b) in R se (b,c) in R$ $ rarr $$(a,c) in R $

Quale delle due è corretta?mentre per relazione di congruenza?