Relazione d'ordine in $\mathbb{R}^n$

[Sk_Anonymous]

Se $n=1$, non ci sono problemi
Per il caso $n>1$, invece, il professore ci ha dato soltanto una traccia per dimostrare che l'ordine è parziale. Qualcuno di voi potrebbe gentilmente indicarmi un link o postarmi la dimostrazione completa?

[TomSawyer1]

Come definisci il tuo ordine, nei casi $n>1$?

[Sk_Anonymous]

Siano $x=(x_1,x_2,...,x_n)^T,y=(y_1,y_2,...,y_n)^T\in\mathbb{R}^n$. Diciamo che $x<=y$ se $x_i<=y_i$ per qualsiasi $i$ da 1 a $n$.

EDIT: questa relazione è di ordine parziale (è facile provarlo). Io vorrei sapere come si dimostra che non è possibile definire in alcun modo una relazione d'ordine totale.

[Luca.Lussardi]

Credo che sia sbagliata l'affermazione "non è possibile avere un ordine totale", o perlomeno è incompleta; è meglio dire che non è possibile avere un ordine totale che sia compatibile con il resto della struttura algebrica di $\RR^n$. Probabilmente il motivo è lo stesso per cui tale cosa accade in C, dove si vede subito che un ordine totale porta a contraddizione (basta supporre che $i>0$ o $i<0$ per contraddire l'usuale ordinamento di $\RR$).

[zorn1]

Quello che è rilevante è che in $R^n$ con $n=2$ si struttura come campo ma non esistono ordinamenti compatibili con le operazioni ivi definite. Per farla breve, non è possibile applicare le note regole per risolvere disequazioni in tale contesto, qualunque relazione d'ordine scelga.
$R^n$ con $n>=3$, invece, non può strutturarsi come campo, quindi proprio non ci si chiede se ci siano ordinamenti compatibili con le operazioni.

La questione è strutturale, non relativa al solo sostegno $R^n$, dato che in presenza dell'assioma della scelta ogni insieme può bene ordinarsi, ma il succo è che di questi ordinamenti non sappiamo che farne.

[TomSawyer1]

Per $n=2$, per esempio, e' facile definire un ordine totale, quello lessicografico: $(a,b) \le (c,d)$ sse $a

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[Chevtchenko]

"zorn":$R^n$ con $n>=3$, invece, non può strutturarsi come campo, quindi proprio non ci si chiede se ci siano ordinamenti compatibili con le operazioni.

Gia', pero' $RR^n$ e', per esempio, uno spazio vettoriale, e quindi ha senso chiedersi se una certa struttura d'ordine sia compatibile con la struttura lineare.

[Sk_Anonymous]

Credo proprio che il professore volesse la risposta alla domanda di Sandokan.

[Fioravante Patrone1]

beh, Bourbaki si sarà sentito rinato, leggendo questo post

la domanda significativa è se esistano su $RR^n$ ordini totali compatibili con "la più consueta" struttura che si mette sopra $RR^n$ e che è la struttura di spazio vettoriale (su $RR$)

la risposta è no
non so perché, nel senso che non ho presente una dim di questo fatto
ma se la risposta fosse sì, lo sapremmo
sarebbe una notizia troppo succulenta per non essere conosciuta

se non vi piace il mio concetto di verità, mi spiace

[Sk_Anonymous]

Domani, appena ho un momento libero, posto la traccia dataci dal professore. Intanto grazie a tutti per l'aiuto.

[Sk_Anonymous]

Come promesso, eccomi qui con la traccia

Teorema: se $n>1$, non è possibile definire in $\mathbb{R}^n$ una relazione d'ordine totale compatibile con la struttura di spazio vettoriale.

Traccia della dimostrazione: in $RR^2$ introduciamo un ordine totale compatibile con la struttura di spazio vettoriale. Non è restrittivo supporre $(1,0)^T$ e $(0,1)^T$ positivi; ne viene che sono positivi tutti gli elementi del primo quadrante e negativi tutti quelli del terzo. Inoltre l'ordine deve subordinare su ogni retta per l'origine uno dei due ordini naturali. L'insieme degli elementi positivi [negativi] deve contenere un semipiano generato da una retta $r$ per l'origine e una semiretta di $r$.

Da questo punto in poi, come si potrebbe procedere?
Attendo il vostro responso

[Fioravante Patrone1]

"matths87":Come promesso, eccomi qui con la traccia

Teorema: se $n>1$, non è possibile definire in $\mathbb{R}^n$ una relazione d'ordine totale compatibile con la struttura di spazio vettoriale.

Traccia della dimostrazione: in $RR^2$ introduciamo un ordine totale compatibile con la struttura di spazio vettoriale. Non è restrittivo supporre $(1,0)^T$ e $(0,1)^T$ positivi; ne viene che sono positivi tutti gli elementi del primo quadrante e negativi tutti quelli del terzo. Inoltre l'ordine deve subordinare su ogni retta per l'origine uno dei due ordini naturali. L'insieme degli elementi positivi [negativi] deve contenere un semipiano generato da una retta $r$ per l'origine e una semiretta di $r$.

Da questo punto in poi, come si potrebbe procedere?
Attendo il vostro responso

hee, prima di lasciare che tu faccia domande, te ne faccio una io.

Cosa ti permette di dire che non è restrittivo supporre $(1,0)^T$ e $(0,1)^T$ positivi?
Se lo facessi per un elemento, non perderei tempo a porre la questione. Ma con 2 è un po' meno ovvio, ne convieni?

[Sk_Anonymous]

In tutta sincerità, non mi è chiaro: io mi sono limitato a citare quanto detto dal nostro professore. Cominicio a pensare che 'sto teorema sia impossibile da dimostrare...

[Fioravante Patrone1]

Vergogna! Buttare la spugna così presto!

Posso provare a darti io un indizio.
Secondo me quello che vuol dire è che possiamo prendere 2 elementi positivi che siano linearmente indipendenti fra loro.

Tra l'altro, sempre in omaggio a Bourbaki, sembrerebbe strano che servano proprio $(1,0)^T$ e $(0,1)^T$
perché allora vorrebbe dire che è coinvolta anche la struttura di spazio euclideo o giù di lì
mentre si parlava solo di spazio vettoriale


PS: io ho scritto $(1,0)^T$ e $(0,1)^T$ perché ho fatto un cut&paste, per pigrizia.
Ma questa è la mia opinione sull'uso dei "vettori colonna":

[Sk_Anonymous]

Aspetta, sto perdendo il filo... Cosa c'entra l'indipendenza lineare in questa dimostrazione che sto cercando di tirare fuori?

[Fioravante Patrone1]

"matths87":Aspetta, sto perdendo il filo... Cosa c'entra l'indipendenza lineare in questa dimostrazione che sto cercando di tirare fuori?

Allora, il suggerimento iniziale diceva che si può supporre che $(1,0)$ e $(0,1)$ sono entrambi positivi.

Io ho "contestato" questo fatto, nel senso che ti chiedevo se davvero fosse possibile assumere questo "senza ledere la generalità"

Visto che tu non hai esibito argomenti convincenti, anzi ti mostravi pessimista sulla possibilità di dim questo teorema, ho suggerito che non serve partire da $(1,0)$ e $(0,1)$.

Si può partire assumendo di avere due vettori $u$ e $v$ linearmente indipendenti e positivi.
Poi si va avanti come suggerito dal prof: tutti i vettori del tipo $\lambda u + \mu v$ sono positivi, per $\lambda$ e $\mu$ positivi. Mentre quelli con $\lambda < 0$ e $\mu < 0$ sono vettori negativi.

Come vedi, si ricostruisce bene la traccia, semplicemente invece di lavorare col primo e terzo quadrante stiamo lavorando con loro equivalenti "storti"...

[Sk_Anonymous]

ok, adesso ci sono.
Una piccola osservazione (probabilmente è un mio errore di interpretazione): cosa succede se $\mu$ è positiva e $\lambda$ è negativa (o viceversa)?

[Fioravante Patrone1]

"matths87":ok, adesso ci sono.
Una piccola osservazione (probabilmente è un mio errore di interpretazione): cosa succede se $\mu$ è positiva e $\lambda$ è negativa (o viceversa)?

qui sta il punto
è da qui che bisognerà far spuntare fuori le rogne!


Osservazioni.

1. dire che un ordine $\ge$ è compatibile con la struttura di spazio vettoriale (su $RR$) direi che vuol dire questo:
$u+v \ge 0$ se $u \ge 0$ e $v \ge 0$
$u \ge 0$ e $\lambda >0$ ($\lambda \in RR$) implica $\lambda v \ge 0$

2. su ogni sottospazio vettoriale di dimensione uno, l'ordine indotto "coincide" con quello di $RR$

[Sk_Anonymous]

Stasera, quando rientro a casa, ci penso con calma. Grazie a Fioravante Patrone per l'aiuto.

[zorn1]

"Sandokan.":[quote="zorn"]$R^n$ con $n>=3$, invece, non può strutturarsi come campo, quindi proprio non ci si chiede se ci siano ordinamenti compatibili con le operazioni.

Gia', pero' $RR^n$ e', per esempio, uno spazio vettoriale, e quindi ha senso chiedersi se una certa struttura d'ordine sia compatibile con la struttura lineare.[/quote]

Esattamente cosa intendi? Non ho mai sentito parlare di spazi vettoriali ordinati!

[TomSawyer1]

"zorn":[quote="Sandokan."][quote="zorn"]$R^n$ con $n>=3$, invece, non può strutturarsi come campo, quindi proprio non ci si chiede se ci siano ordinamenti compatibili con le operazioni.

Gia', pero' $RR^n$ e', per esempio, uno spazio vettoriale, e quindi ha senso chiedersi se una certa struttura d'ordine sia compatibile con la struttura lineare.[/quote]

Esattamente cosa intendi? Non ho mai sentito parlare di spazi vettoriali ordinati! [/quote]
http://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_vector_space