Relazione d'ordine in $\mathbb{R}^n$

[Sk_Anonymous]

Se $n=1$, non ci sono problemi
Per il caso $n>1$, invece, il professore ci ha dato soltanto una traccia per dimostrare che l'ordine è parziale. Qualcuno di voi potrebbe gentilmente indicarmi un link o postarmi la dimostrazione completa?

[Fioravante Patrone1]

confermo che quanto scritto su wikipedia è corretto, quanto a definizione
infatti coincide con quanto avevo detto nel mio ultimo post

ovviamente il punto sarà dim che questo ordine non può essere totale

[TomSawyer1]

Pero' nel link di wikipedia, c'e' scritto che $RR^2$ e' uno spazio vettoriale ordinato anche con l'ordine lessicografico, che e' totale . Quindi forse mathhs87 si riferisce soltanto all'ordine da lui definito..

[Fioravante Patrone1]

"TomSawyer":Pero' nel link di wikipedia, c'e' scritto che $RR^2$ e' uno spazio vettoriale ordinato anche con l'ordine lessicografico, che e' totale . Quindi forse mathhs87 si riferisce soltanto all'ordine da lui definito..

Hai ragione.
Mi pare proprio che wikipedia abbia ragione. Non riesco a vedere bachi, al momento. Mi pare che il discorso fili tranquillamente.
Mi sa che oggi ho imparato qualcosa di nuovo!

Avevo detto:
"la risposta è no
non so perché, nel senso che non ho presente una dim di questo fatto
ma se la risposta fosse sì, lo sapremmo
sarebbe una notizia troppo succulenta per non essere conosciuta".
Ma mi sa che non ero abbastanza bene informato!!

Probabilmente nella mia testa escludevo l'ordine lessicografico perché non è "continuo" (il cono dei "$v \ge 0$" non è un sottoinsieme chiuso di $RR^2$).

[Mega-X]

se posso contribuire (mi è balenata questa idea 3 secondi fa) ti chiedo:

si può stabilire, dati 2 numeri complessi $z_1$ e $z_2$ qual è il maggiore fra essi?

[Sk_Anonymous]

Non credo, appunto perchè $CC$ è un campo non ordinato totalmente: non puoi stabilire, ad esempio, se $i+1$ è minore di $2i+3$.

EDIT: io, comunque, voglio dimostrare che in $RR^n$ non è possibile definire un ordine totale che sia compatibile con la struttura di spazio vettoriale e mantenga la proprietà di esistenza dell'estremo superiore.

[Fioravante Patrone1]

"matths87":
EDIT: io, comunque, voglio dimostrare che in $RR^n$ non è possibile definire un ordine totale che sia compatibile con la struttura di spazio vettoriale e mantenga la proprietà di esistenza dell'estremo superiore.

Se interessa la proprietà dell'estremo superiore, l'ordine lessicografico (che indico con $\le_L$) va escluso.

Preciso cosa intendo.
La proprietà dell'estremo superiore mi sembra si possa leggere così, facendo una importazione "verbatim" di ciò che avviene in $RR$:

ogni sottoinsieme A di $RR^2$ non vuoto e limitato superiormente (per $\le_L$) ha estremo superiore in $RR^2$.

L'estremo superiore è il minimo dei maggioranti per $A$ e qui il significato non ha alcun margine di ambiguità.
Quindi, visto che essere limitato superiormente vuol dire che esiste un maggiorante, non vedo neanche qui nessuna ambiguità.

Prendo il $\le_L$ definito come viene fatto su wiki inglese (link indicato da TomSawyer):
per la def formale rinvio a là; vuol dire che la coordinata "$x$" è minore strettamente e, in caso di "pareggio" vado a vedere la seconda coordinata.

Ora, se prendo $A = {(x,y) : y > 1/x \quad e \quad x < 0 }$, ho un insieme non vuoto e superiormente limitato (da $(0,0)$, ad esempio).
Ma $A$ non ha sup. Supponiamo di avere $(\bar x, \bar y) \in RR^2$ che sia il sup di $A$. Se la ascissa del sup, cioè $\bar x$, fosse maggiore o uguale a zero, basterebbe prendere un altro punto del piano con stessa ascissa e ordinata $y$ strettamente minore di $\bar y$ per avere un maggiorante di $A$ più piccolo.
Se fosse $\bar x < 0$, è evidente che $(\bar x, \frac{1}{\bar x} + 1)$ appartiene ad $A$ ed è lessicograficamente maggiore di $(\bar x, \bar y)$, contro l'ipotesi fatta che esso fosse un maggiorante.

s.e.o.

[Sk_Anonymous]

Ok, il controesempio mi è chiaro: l'ordine lessicografico va pertanto escluso.
Però questo non esclude a priori l'esistenza di un ordine totale in $RR^2$.

EDIT: parlo di un ordine totale che mantenga la proprietà dell'esistenza dell'estremo superiore.