Relazione d'ordine
Dimostrare che $a + b sqrt 2 <= c + d sqrt 2 iff c - a + (d - b) sqrt 2 >= 0$
è una relazione che rende
$F := { a+ b sqrt 2 : a , b in QQ }$
un campo ordinato
Devo dimostrare che la relazione goda delle proprietà riflessiva , antissimmetrica e transitivo ?
In che modo ?
è una relazione che rende
$F := { a+ b sqrt 2 : a , b in QQ }$
un campo ordinato
Devo dimostrare che la relazione goda delle proprietà riflessiva , antissimmetrica e transitivo ?
In che modo ?
Risposte
Ciao DR1 
Innanzitutto bisogna aver chiara la definizione di campo ordinato che puoi trovare (ad esempio) qui. Poiché è richiesto che la relazione proposta sia un ordine totale bisogna verificare che soddisfi le quattro proprietà di essere riflessiva, antissimetrica, transitiva ed appunto anche totale.
Infine per completare l'opera è necessario verificare le ultime due proprietà richieste, ossia $\forall a, b, c \in F$:
[list=1]
[*:1rqfbzdt] Se $a \le b$ allora $a + c \le b + c$;[/*:m:1rqfbzdt]
[*:1rqfbzdt] Se $0 \le a$ e $0 \le b$ allora $0 \le a \cdot b$.[/*:m:1rqfbzdt][/list:o:1rqfbzdt]
Ovviamente in tali proprietà $+$ e $\cdot$ sono le due operazioni definite nel campo $F$.
Innanzitutto bisogna aver chiara la definizione di campo ordinato che puoi trovare (ad esempio) qui. Poiché è richiesto che la relazione proposta sia un ordine totale bisogna verificare che soddisfi le quattro proprietà di essere riflessiva, antissimetrica, transitiva ed appunto anche totale.
Infine per completare l'opera è necessario verificare le ultime due proprietà richieste, ossia $\forall a, b, c \in F$:
[list=1]
[*:1rqfbzdt] Se $a \le b$ allora $a + c \le b + c$;[/*:m:1rqfbzdt]
[*:1rqfbzdt] Se $0 \le a$ e $0 \le b$ allora $0 \le a \cdot b$.[/*:m:1rqfbzdt][/list:o:1rqfbzdt]
Ovviamente in tali proprietà $+$ e $\cdot$ sono le due operazioni definite nel campo $F$.
Ok, ma per dimostrare ad esempio $ AA a in F" " a R a$
come si procede ?
$a + b sqrt 2 <= a + b sqrt 2 $ o $ (0 + 0 sqrt 2, ... , a + b sqrt 2) sube (0 + 0 sqrt 2, ... , c + d sqrt 2)$ ?
come si procede ?
$a + b sqrt 2 <= a + b sqrt 2 $ o $ (0 + 0 sqrt 2, ... , a + b sqrt 2) sube (0 + 0 sqrt 2, ... , c + d sqrt 2)$ ?
No, basta che che vedi se vale appunto la relazione seguente: $\forall x \in F \quad x \le x$ ($R$ nel nostro specifico è la relazione $\le$):?:
Sia ora $x = a + b \sqrt 2, a,b \in \mathbb{Q}$. Sappiamo che $a + b \sqrt 2 \le a + b \sqrt 2 \Leftrightarrow (a - a) + (b- b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$. Ora poiché $(a - a) + (b- b) \sqrt 2 = 0 + 0 \sqrt 2$ e banalmente $0 + 0 \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$ la proprietà riflessiva è verificata. Come sempre lo $0$ per noi è l'elemento $0 + 0 \sqrt 2$ di $F$ (come se ricordi ti avevo scritto nell'altro thread).
Forse la parte una un attimino più da pensare è dimostrare la totalità (nulla di impossibile e lungo per carità ma secondo me giusto un attimino meno immediato).
Sia ora $x = a + b \sqrt 2, a,b \in \mathbb{Q}$. Sappiamo che $a + b \sqrt 2 \le a + b \sqrt 2 \Leftrightarrow (a - a) + (b- b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$. Ora poiché $(a - a) + (b- b) \sqrt 2 = 0 + 0 \sqrt 2$ e banalmente $0 + 0 \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$ la proprietà riflessiva è verificata. Come sempre lo $0$ per noi è l'elemento $0 + 0 \sqrt 2$ di $F$ (come se ricordi ti avevo scritto nell'altro thread).
Forse la parte una un attimino più da pensare è dimostrare la totalità (nulla di impossibile e lungo per carità ma secondo me giusto un attimino meno immediato).
Come si dimostra la proprietà antisimmetrica ?
in particolare , se $ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera , $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa
$ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $ , cioe $ a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $ giusto ?
in particolare , se $ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera , $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa
$ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $ , cioe $ a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $ giusto ?
"DR1":
[...]
$ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $
[...]
Ciao DR1
Qui penso intendessi scrivere $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 >= 0 $
In realtà io sarei un attimo più formale nella dimostrazione perché, scritta così, secondo me non si comprendono bene i vari passaggi. Molto semplicemente si può partire da una delle due implicazioni (ad esempio la seconda), ossia $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 >= 0 $. Ora possiamo moltiplicare ambo i membri di $(a - c) + ( b - d ) sqrt 2 >= 0$ per $(-1 + 0 sqrt 2)$. In quanto valore negativo dovremo cambiare il verso della disuguaglianza chiaramente. In questo modo vedi che otteniamo nient'altro che la seconda parte della prima implicazione in cui però cambia il verso della disuguaglianza. Da qui si ricava facilmente che $a = c$ e $b = d$ che ci permette così di dimostrare quanto vogliamo.
No , non intendevo $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 >= 0 $
$ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera ,
dunque $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa ,
di conseguenza $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ (vera) $iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $
cioe , $ a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $
non è corretto ?
$ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera ,
dunque $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa ,
di conseguenza $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ (vera) $iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $
cioe , $ a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $
non è corretto ?
Allora, andiamo con ordine: $a + b sqrt 2 >= c+ d sqrt 2$ e $c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ sono le due nostre ipotesi che sappiamo già essere vere. Pertanto:
Questo passaggio è corretto.
No, qui hai ricavato qualcosa che sai già essere vero (dove scrivi "di conseguenza"), nel successivo iff invece usi correttamente la seconda ipotesi iniziale. In ogni caso se $c + d sqrt 2 < a + b sqrt 2$ è falsa potrai dedurre che $c + d sqrt 2 >= a + b sqrt 2$ è vera (cioè il contrario di quanto detto) ma non che $c + d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$.
Non mi convince, non capisco il filo di tutto... Bisogna che lavori su cosa implicano le ipotesi iniziali.
"DR1":
No , non intendevo $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2 iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 >= 0 $
$ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera ,
dunque $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa ,
[...]
Questo passaggio è corretto.
"DR1":
[...]
di conseguenza $ c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ (vera) $iff a - c + ( b - d ) sqrt 2 = 0 $
[...]
No, qui hai ricavato qualcosa che sai già essere vero (dove scrivi "di conseguenza"), nel successivo iff invece usi correttamente la seconda ipotesi iniziale. In ogni caso se $c + d sqrt 2 < a + b sqrt 2$ è falsa potrai dedurre che $c + d sqrt 2 >= a + b sqrt 2$ è vera (cioè il contrario di quanto detto) ma non che $c + d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$.
"DR1":
[...]
cioe , $ a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $
non è corretto ?
Non mi convince, non capisco il filo di tutto... Bisogna che lavori su cosa implicano le ipotesi iniziali.
$ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera
dunque $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa
quindi affinchè$ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2)$ siano vere entrambe
bisogna escludere $<$ da $c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ ,
$ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2)$ allora ,
diventa $ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 = a + b sqrt 2)$ ;
essendo $c+ d sqrt 2 = a + b sqrt 2$ , di conseguenza anche$a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2$
con ciò si conclude che $a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2$ come si voleva .
Ora il ragionamento è corretto ?
dunque $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa
quindi affinchè$ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2)$ siano vere entrambe
bisogna escludere $<$ da $c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2$ ,
$ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2)$ allora ,
diventa $ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 = a + b sqrt 2)$ ;
essendo $c+ d sqrt 2 = a + b sqrt 2$ , di conseguenza anche$a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2$
con ciò si conclude che $a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2$ come si voleva .
Ora il ragionamento è corretto ?
la dimostrazione della proprietà transitiva , mi sembra troppo banale .$AA x , y , z in F (x <= y) ^^ (y <= z) rArr x <= z $
basta questo $ x <= y <= z $ quindi $ x <= z $ ?
con
$x = a + b sqrt 2 $
$y = c + d sqrt 2 $
$z = e + f sqrt 2 $
Innanzitutto, permettetemi di dire che bisogna dimostrare che \(F\) è un campo (e quindi bisogna conoscere in dettaglio come sono definite le operazioni di somma e prodotto).
Fatto ciò, dimostrare che la relazione \(\leq_F\) definita ponendo:
\[
a+b\ \sqrt{2} \leq_F c+d\ \sqrt{2}\quad \stackrel{\text{def.}}{\Leftrightarrow}\quad (c-a)+(d-b)\ \sqrt{2}\geq 0
\]
(in cui \(\geq\), se non intendo male, è l'ordinario simbolo che denota l'ordine in \(\mathbb{R}\)) sia una relazione d'ordine è solo il primo passo dell'esercizio... Infatti, dire che \(F\) è un campo ordinato da \(\leq_F\) è cosa ben diversa (e più restrittiva) del dire che \(F\) è un "insieme ordinato da \(\leq_F\)".
Fatto ciò, dimostrare che la relazione \(\leq_F\) definita ponendo:
\[
a+b\ \sqrt{2} \leq_F c+d\ \sqrt{2}\quad \stackrel{\text{def.}}{\Leftrightarrow}\quad (c-a)+(d-b)\ \sqrt{2}\geq 0
\]
(in cui \(\geq\), se non intendo male, è l'ordinario simbolo che denota l'ordine in \(\mathbb{R}\)) sia una relazione d'ordine è solo il primo passo dell'esercizio... Infatti, dire che \(F\) è un campo ordinato da \(\leq_F\) è cosa ben diversa (e più restrittiva) del dire che \(F\) è un "insieme ordinato da \(\leq_F\)".
Fatto qui
la prorpietà della relazione d'ordine che non ho dimostrato è quella che rende l'insieme totalmente ordinato ; senza di essa , si può dimostrore che $F$ è un campo ordinato ?
la prorpietà della relazione d'ordine che non ho dimostrato è quella che rende l'insieme totalmente ordinato ; senza di essa , si può dimostrore che $F$ è un campo ordinato ?
"DR1":
$ a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2 iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ vera
dunque $ c+ d sqrt 2 < a + b sqrt 2 $ falsa
[..]
Mmh, intanto non stai sfruttando entrambe le ipotesi ma una soltanto... Inoltre nemmeno cosa è richiesto affinché i due elementi siano in relazione non è stato sfruttato (ossia $iff c - a + ( d - b ) sqrt 2 >= 0 $ per la relazione ed il corrispettivo per la seconda).
Inoltre $<=$ è una relazione su elementi di $F$, pertanto non possiamo dedurre direttamente $>$ come relazione "inversa" di $<=$.
Appena ho un attimo di tempo ti rispondo anche per la transitività. Andando a memoria sembra anche a me di ricordare che fosse facile la dimostrazione comunque.
"DR1":
:-k la dimostrazione della proprietà transitiva , mi sembra troppo banale .
$AA x , y , z in F (x <= y) ^^ (y <= z) rArr x <= z $
basta questo $ x <= y <= z $ quindi $ x <= z $ ?
con
$x = a + b sqrt 2 $
$y = c + d sqrt 2 $
$z = e + f sqrt 2 $
Che sia piuttosto semplice la dimostrazione sono d'accordo con te ma non è quella da te postata. Suggerimento: prova ad esplicitare il fatto che $x \le y$ e successivamente anche che $y \le z$. Metti assieme le due disuguaglianze dell'implicazione sommando membro a membro e vedi cosa ottieni.
Nel dimostrare la proprietà antissimetrica , come faccio a usare entrambe le ipotesi ?
Perchè non posso dire che $>$ è la negazione di $<=$ ?
Intuisco che si arriva a dever sottrarre membro a membro $c -a + ( d - b ) sqrt 2 >=0 $ con $a -c + ( b - d ) sqrt 2 >=0 $ , perché ?
Perchè non posso dire che $>$ è la negazione di $<=$ ?
Intuisco che si arriva a dever sottrarre membro a membro $c -a + ( d - b ) sqrt 2 >=0 $ con $a -c + ( b - d ) sqrt 2 >=0 $ , perché ?
Tralascia solo per un attimo questo problema specifico. In generale se devi dimostrare una tesi partendo da delle ipotesi e nel corso della dimostrazione queste non le sfrutti mai magari c'è qualcosa che non va, giusto 
Riguardo alla tua domanda: per poter dire che $\le$ è la negazione di $>$ in $F$ dovresti sapere come è definita esattamente la relazione $>$ in $F$ ma appunto a noi non è dato saperlo.
E' un po' sempre lo stesso discorso di quando consideriamo le operazioni $+$ e $\cdot$ in $F$: esse sono definite in maniera diversa rispetto alle corrispondenti in $\mathbb{Q}$, giusto
Riguardo alla tua domanda: per poter dire che $\le$ è la negazione di $>$ in $F$ dovresti sapere come è definita esattamente la relazione $>$ in $F$ ma appunto a noi non è dato saperlo.
E' un po' sempre lo stesso discorso di quando consideriamo le operazioni $+$ e $\cdot$ in $F$: esse sono definite in maniera diversa rispetto alle corrispondenti in $\mathbb{Q}$, giusto
Giusto , capisco.
Per fare funzionare $>$ dovrei quindi prima dimostrare che è una relazione d'ordine in $F$
Per fare funzionare $>$ dovrei quindi prima dimostrare che è una relazione d'ordine in $F$
Esatto ma...sarebbe un lavoro un po' inutile (anche se si può fare chiaramente) e a oltre i nostri scopi in quanto stiamo già cercando di dimostrare il fatto che $\le$ sia una relazione d'ordine.
Come si fà , in questo caso
$ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2) $
ma anche piu in generale , a supporre vere due ipotesi ?
Si possono supporre vere , una alla volta (ponendo dei casi) o devono verifificarsi contemporaneamente ( se si , come ? ) ?
Quindi tornando al nostro caso , come ?
$ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2) $
ma anche piu in generale , a supporre vere due ipotesi ?
Si possono supporre vere , una alla volta (ponendo dei casi) o devono verifificarsi contemporaneamente ( se si , come ? ) ?
Quindi tornando al nostro caso , come ?
Mmh...mi sa che stai cercando di provare la totalità che però non è scritta correttamente poiché in mezzo ci va il simbolo di or logico e non di and.
Con l'or comunque basta che verifichi che se una delle due (una per volta) è falsa allora l'altra deve essere vera. Questo vuol dire che qualsiasi coppia di elementi si prenda gli stessi sono confrontabili a differenza dell'ordine parziale per cui infatti tale proprietà non vale (l'esempio classico è quello dei reticoli).
Con l'or comunque basta che verifichi che se una delle due (una per volta) è falsa allora l'altra deve essere vera. Questo vuol dire che qualsiasi coppia di elementi si prenda gli stessi sono confrontabili a differenza dell'ordine parziale per cui infatti tale proprietà non vale (l'esempio classico è quello dei reticoli).
No , sto cercando di dimostrare la proprieta antisimmetrica , di cui mi hai gia fornito una dimostrazione ma non ho capito la logica.
Spiegazione/dimostrazione alternativa ?
Spiegazione/dimostrazione alternativa ?
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