Relazione d'ordine
Dimostrare che $a + b sqrt 2 <= c + d sqrt 2 iff c - a + (d - b) sqrt 2 >= 0$
è una relazione che rende
$F := { a+ b sqrt 2 : a , b in QQ }$
un campo ordinato
Devo dimostrare che la relazione goda delle proprietà riflessiva , antissimmetrica e transitivo ?
In che modo ?
è una relazione che rende
$F := { a+ b sqrt 2 : a , b in QQ }$
un campo ordinato
Devo dimostrare che la relazione goda delle proprietà riflessiva , antissimmetrica e transitivo ?
In che modo ?
Risposte
"DR1":
Come si fà , in questo caso
$ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2) $
ma anche piu in generale , a supporre vere due ipotesi ?
Si possono supporre vere , una alla volta (ponendo dei casi) o devono verifificarsi contemporaneamente ( se si , come ? ) ?
Quindi tornando al nostro caso , come ?
La proprietà di antisimmetria scritta per esteso intanto è:
\[
(a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2) \wedge (c+ d \sqrt 2 \le a + b \sqrt 2) \Rightarrow a + b \sqrt 2 = c + d \sqrt 2
\]
Ora per esprimere le miei due ipotesi posso scrivere (vedi il $\wedge$ ed espandendo ciò che implica la nostra relazione):
\[
\begin{cases}
a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 \Rightarrow (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2\\
c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 \Rightarrow (a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2
\end{cases}
\]
Da qui si può partire con la dimostrazione.
Se $^^ =$ e , $vv$ = o
proprieta antisimentrica : $ a R a' " " a' R a " " rArr a = a' $
per cui $ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2) rArr a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $
ora , se $ ^^ $ si traduce in un sistema , quali sono le sue incognite ?
proprieta antisimentrica : $ a R a' " " a' R a " " rArr a = a' $
per cui $ (a + b sqrt 2 <= c+ d sqrt 2) ^^ (c+ d sqrt 2 <= a + b sqrt 2) rArr a + b sqrt 2 = c+ d sqrt 2 $
ora , se $ ^^ $ si traduce in un sistema , quali sono le sue incognite ?
Sì, scusa, ieri mentre scrivevo andavo di fretta e non ho badato al simbolo (ho corretto il mio post adesso).
Non devi risolvere il sistema di fatto, a noi non interessa determinare $a, b, c$ e $d$. Se tu moltiplichi una delle due disuguaglianze a destra dell'implicazione (vedi sistema) per $-1 + 0 \sqrt 2$ prova a vedere cosa ottieni... Metti tutto assieme con l'altra disuguaglianza (a destra dell'implicazione) ed il gioco è fatto.
Non devi risolvere il sistema di fatto, a noi non interessa determinare $a, b, c$ e $d$. Se tu moltiplichi una delle due disuguaglianze a destra dell'implicazione (vedi sistema) per $-1 + 0 \sqrt 2$ prova a vedere cosa ottieni... Metti tutto assieme con l'altra disuguaglianza (a destra dell'implicazione) ed il gioco è fatto.
$((c - a) + (d - b) \sqrt 2 )( -1 + 0 sqrt 2)$
ottengo $ - [(c - a) + (d - b) \sqrt 2] $ (dato che si è moltiplicato per l'elemento inverso del prodotto)
Qual'è la loggica di questo passaggio ?
Dimostrare un ipotesi dall'altra ?
ottengo $ - [(c - a) + (d - b) \sqrt 2] $ (dato che si è moltiplicato per l'elemento inverso del prodotto)
Qual'è la loggica di questo passaggio ?
Dimostrare un ipotesi dall'altra ?
Devi moltiplicare entrambi i membri della disuguaglianza cambiando chiaramente il verso della stessa (poiché la quantità per cui moltiplichi è negativa). Otterrai dunque l'altra disuguaglianza del sistema solo che con il verso opposto. Pertanto puoi dedurre che la quantità a primo membro deve essere uguale a $0$...da cui deduci poi banalmente la tesi.
Credo di avere capito ;
dovendo confrontare le due ipotesi
$a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$
$c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$
suppongo $a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$ vera
mi chiedo sarà vera anche la seconda ipotesi ?
riprendo la prima $a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$
moltiplico il tutto per $-1 + 0 sqrt 2 $
$(-1 + 0 sqrt 2)(a + b \sqrt 2) \le c+ d \sqrt 2 (-1 + 0 sqrt 2) iff (-1 + 0 sqrt 2) ((c - a) + (d - b) \sqrt 2) \ge (0 + 0 \sqrt 2) (-1 + 0 sqrt 2)$
e si ottiene
$c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2$
quindi si ha
$((a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2) ^^
((a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2) rArr a + b \sqrt 2 = c+ d \sqrt 2 $
si prendono in considerazione 3 casi :
1 $(a - c) + (b - d) \sqrt 2 < 0 + 0 \sqrt 2$ vera , da cui scaturisce $(a - c) + (b - d) \sqrt 2 > 0 + 0 \sqrt 2$ falsa
2 caso opposto
3 $(a - c) + (b - d) \sqrt 2 = 0 + 0 \sqrt 2$ , da cui risulta $a + b \sqrt 2 = c+ d \sqrt 2 $ , quindi, tesi vera ,solo in questo caso .
Giusto ?
La forma dell'esposizione va bene ? Può essere migliorata ?
dovendo confrontare le due ipotesi
$a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$
$c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$
suppongo $a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$ vera
mi chiedo sarà vera anche la seconda ipotesi ?
riprendo la prima $a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2$
moltiplico il tutto per $-1 + 0 sqrt 2 $
$(-1 + 0 sqrt 2)(a + b \sqrt 2) \le c+ d \sqrt 2 (-1 + 0 sqrt 2) iff (-1 + 0 sqrt 2) ((c - a) + (d - b) \sqrt 2) \ge (0 + 0 \sqrt 2) (-1 + 0 sqrt 2)$
e si ottiene
$c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2$
quindi si ha
$((a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2) ^^
((a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2) rArr a + b \sqrt 2 = c+ d \sqrt 2 $
si prendono in considerazione 3 casi :
1 $(a - c) + (b - d) \sqrt 2 < 0 + 0 \sqrt 2$ vera , da cui scaturisce $(a - c) + (b - d) \sqrt 2 > 0 + 0 \sqrt 2$ falsa
2 caso opposto
3 $(a - c) + (b - d) \sqrt 2 = 0 + 0 \sqrt 2$ , da cui risulta $a + b \sqrt 2 = c+ d \sqrt 2 $ , quindi, tesi vera ,solo in questo caso .
Giusto ?
La forma dell'esposizione va bene ? Può essere migliorata ?
Le ipotesi sono sempre vere, non dobbiamo verificarle 
Se così non fosse cadremmo in contraddizione ma questo avviene solo se eseguiamo una dimostrazione per assurdo.
In ogni caso basta che consideri una delle due disuguaglianze che sono alla destra del $\Leftrightarrow$ e le moltiplichi per $(-1 + 0 \sqrt 2)$, non per $(1 + 0 \sqrt 2)$. Da qui vedi cosa ottieni e lo confronti con l'altra disuguaglianza che sta alla destra di $\Leftrightarrow$.
Se così non fosse cadremmo in contraddizione ma questo avviene solo se eseguiamo una dimostrazione per assurdo.In ogni caso basta che consideri una delle due disuguaglianze che sono alla destra del $\Leftrightarrow$ e le moltiplichi per $(-1 + 0 \sqrt 2)$, non per $(1 + 0 \sqrt 2)$. Da qui vedi cosa ottieni e lo confronti con l'altra disuguaglianza che sta alla destra di $\Leftrightarrow$.
Credo che il procedimento sia giusto , la forma invece no .
In particolare la giustificazione del perché si moltiplica
$ a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $ per $ -1 + 0 sqrt 2 $
forse perché , per confrontare le due ipotesi ,si ha bisogno di un condizione comune ?
In particolare la giustificazione del perché si moltiplica
$ a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $ per $ -1 + 0 sqrt 2 $
forse perché , per confrontare le due ipotesi ,si ha bisogno di un condizione comune ?
Moltiplichi (entrambi i membri) semplicemente perché è un'operazione lecita in una disequazione e perché è una strada (forse non l'unica) che ci permette di dimostrare ciò che che ci interessa ed arrivare alla conclusione desiderata. In matematica serve soprattutto intuizione oltre al ragionamento, più che pensare di agire sempre ed unicamente in maniera meccanica...
PS: io ho avuto questa idea per dimostrare questa proprietà, magari qualcun altro potrebbe trovarne un'altra e dimostrarmi che è valida.
PS: io ho avuto questa idea per dimostrare questa proprietà, magari qualcun altro potrebbe trovarne un'altra e dimostrarmi che è valida.
Guardo la seconda ipotesi
$ c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $
considero la prima $ a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $
mi chiedo : se $ a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $ ,
qual'è la condizione affinche $ c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 $ ?
Quindi
$ a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $ moltiplico per $ -1 + 0 sqrt 2 $
trovo $ c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2 $
che mi dice che $ (a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2) ^^ ( c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2) $
vera
Dunque , quando la seconda ipotesi , soddisfa $ ( c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 ) ^^ (c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2 ) $
la prima , si ottiene la tesi .
In breve si è riscrive la prima ipotesi , rispetto alla seconda e si risolve la tabella di verita di $ ( c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 ) ^^ (c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2 ) $ analizzando i vari casi .
Commenti ?
Suggerimenti per migliorare l'esposizione ?
$ c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $
considero la prima $ a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $
mi chiedo : se $ a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $ ,
qual'è la condizione affinche $ c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 $ ?
Quindi
$ a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 $ moltiplico per $ -1 + 0 sqrt 2 $
trovo $ c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2 $
che mi dice che $ (a + b \sqrt 2 \le c+ d \sqrt 2 iff (c - a) + (d - b) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2) ^^ ( c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2) $
vera
Dunque , quando la seconda ipotesi , soddisfa $ ( c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 ) ^^ (c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2 ) $
la prima , si ottiene la tesi .
In breve si è riscrive la prima ipotesi , rispetto alla seconda e si risolve la tabella di verita di $ ( c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 \ge 0 + 0 \sqrt 2 ) ^^ (c + d \sqrt 2 \le a+ b \sqrt 2 iff (a - c) + (b - d) \sqrt 2 <= 0 + 0 \sqrt 2 ) $ analizzando i vari casi .
Commenti ?
Suggerimenti per migliorare l'esposizione ?
La dimostrazione della proprieta transitiva
$(a + b sqrt 2 <= c + d sqrt 2) ^^ (c + d sqrt 2 <= e + f sqrt 2) rArr a + b sqrt 2 <= e + f sqrt 2$
$a + b sqrt 2 <= c +d sqrt 2 <= e + f sqrt 2 $
è corretta ?
$(a + b sqrt 2 <= c + d sqrt 2) ^^ (c + d sqrt 2 <= e + f sqrt 2) rArr a + b sqrt 2 <= e + f sqrt 2$
$a + b sqrt 2 <= c +d sqrt 2 <= e + f sqrt 2 $
è corretta ?
Scritta così no... Indovina un po': prova a sfruttare le ipotesi
Mi sembra di averlo fattoin $ a + b sqrt 2 <= c +d sqrt 2 <= e + f sqrt 2 $ c'è
$a + b sqrt 2 <= c +d sqrt 2$ prima ipotesi
$c +d sqrt 2 <= e + f sqrt 2 $ seconda ipotesi
Sì ma ciascuna ipotesi cosa implica (vedi come è definita la relazione)
$ ((c - a) + (d - b) \sqrt 2 >=0) ^^ ((e - c) + (f - d) \sqrt 2 >=0) $
p.s. corretto
p.s. corretto
Hai scritto le implicazioni un po' di fretta, non sono corrette. Se provi a riscriverle correttamente e poi sommi le due disuguaglianze che ottieni membro a membro ottieni la tesi.
La somma membro a membro lo fatta, e si ottiene la tesi
"DR1":
[...]
Dove trovo la teoria su questo metodo di riduzione ?
[...]
In vari libri dove si tratta l'algebra o più in generale le strutture algebriche trovi molti esempi utili oltre alla descrizione dei passi risolutivi per procedere in generale. Francamente però non saprei consigliarti un testo specifico, chiedo lumi a qualche utente matematico più esperto in materia di me.
"DR1":
[...]
Perché è possibili usarlo e in quali casi ?
[...]
In matematica, al contrario di quanto i più pensino, serve spesso molta intuizione e fantasia per arrivare al risultato. Molto raramente si può pensare di avere la soluzione pronta per ogni problema. Questo metodo lo puoi usare ogniqualvolta ti trovi di fronte ad un problema siffatto come quello correntemente considerato. L'importante è avere sempre uno schema in testa su come procedere ed effettuare i vari tentativi in maniera ragionata.
"DR1":
[...]
Perché non altera il risultato ?
Non è tanto il fatto che non altera il risultato questo metodo quanto che permette di arrivare alla tesi nella maniera più semplice ed immediata possibile. Non è detto sia sempre unico il metodo risolutivo, spesso esistono più strade. In ogni caso poi bisogna ricercare il metodo più adatto in base alla specifica conclusione a cui si vuole giungere.
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