Relazione di equivalenza
Salve a tutti,
sto ripassando le relazion di equivalenza, tra cui le relazioni "modulo R" e le relazioni sulle partizioni (insomma trova la classi di equivalenza e l'insieme quoziente).
Il punto è che avrei bisogno di esercizi da fare ma non ne riesco a trovare che facciano al caso mio.
Avete qualche suggerimento?
Sarebbe però utile che ci fossero le soluzioni, per essere sicuro del risultato.
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
sto ripassando le relazion di equivalenza, tra cui le relazioni "modulo R" e le relazioni sulle partizioni (insomma trova la classi di equivalenza e l'insieme quoziente).
Il punto è che avrei bisogno di esercizi da fare ma non ne riesco a trovare che facciano al caso mio.
Avete qualche suggerimento?
Sarebbe però utile che ci fossero le soluzioni, per essere sicuro del risultato.
Vi ringrazio in anticipo,
Neptune.
Risposte
"WiZaRd":
Sì.
P.S.
Non dipende da te.
Quindi in realtà io potrei scriverle direttamente che è una relazione di congruenza $mod 4$ e che l'insieme quoziente non è altro che l'insieme delle classi di resto da $0$ a $3$.
Se però volessi fare il pignolo, e volessi definire la formula delle varie classi di resto?
La formula iniziale è $4|3a+b$
Noi abbiamo detto che $4|4a$ quindi $4 | 4a-3a-b$ ovvero $4 | a-b$ e quindi $a -= b (mod 4)$
Ora dobbiamo definire le classi di resto:
$[0]_4 = {a in ZZ | 4| a-0}$ e da qui possiamo dire che questo è l'insieme di tutti i numeri che divisi per $4$ danno resto 0?
$[1]_4 = {a in ZZ| 4| a-1}$ e analogalmente diciamo che sono i numeri che divisi per $4$ danno resto $1$ e così via per tutte le altre classi di resto?
Si però tutte quelle mazze verticali danno l'impressione dei moduli: quando devi usare lo stesso simbolo con diversi significati, varia i simboli.
[tex][0]_{\mathcal{R}}=\{a \in \mathbb{ Z } : 4 \mid a -0\}[/tex] oppure [tex][1]_{\mathcal{R}}=\{a \in \mathbb{Z} \mid \exists h \in \mathbb{Z} \mid a-1=4h\}[/tex].
[tex][0]_{\mathcal{R}}=\{a \in \mathbb{ Z } : 4 \mid a -0\}[/tex] oppure [tex][1]_{\mathcal{R}}=\{a \in \mathbb{Z} \mid \exists h \in \mathbb{Z} \mid a-1=4h\}[/tex].
"WiZaRd":
Una relazione è sempre una parte del prodotto cartesiano di due insiemi, quindi non puoi dire che un elemento o è in relazione con sé stesso o è in relazione con un altro elemento. Un elemento è sempre in relazione con un altro elemento, oppure non è in relazione con un altro elemento.
La relazione [tex]x\mathcal{R}y \iff x=y \lor x\cdot y=2[/tex] ti dice che, presi due elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex], questi sono in relazione sse essi sono uguali oppure il loro prodotto restituisce due. Preso un qualunque intero [tex]>2[/tex] o [tex]<2[/tex], questo può essere in relazione solo con sé stesso, poiché per ottenere [tex]2[/tex] con questo intero dovresti usare un numero razionale, quindi per [tex]x \in \mathbb{Z} : \lvert x \rvert > 2[/tex] la classe di equivalenza modulo [tex]\mathcal{R}[/tex] è un singleton: [tex][x]_{R}=\{x\}[/tex].
Preso [tex]x=0[/tex], anche [tex]0[/tex] è in relazione solo con sé stesso: [tex][0]_{\mathcal{R}}=\{0\}[/tex].
Preso [tex]x=1[/tex] questo è in relazione con [tex]2[/tex] (oltre che con sé stesso) e viceversa, quindi [tex][1]_{\mathcal{R}}=\{1,2\}[/tex].
Preso [tex]x= -1[/tex], questo è in relazione con [tex]-2[/tex] (oltre che con sé stesso) e viceversa, quindi [tex][-1]_{\mathcal{R}}=\{-1,-2\}[/tex].
Giusto, stiamo parlando di una relazione tra due insiemi quindi al massimo un elemento può essere in relazione con un'altro elemento uguale.
Quindi, per formalizzare tutte le classi di equivalenza, è matematicamente corretto scrivere che:
con $x in ZZ$
con $x<-2, [x]_r = {x}$
con $x>2, [x]_r = {x}$
con $x=0, [0]_r = {0}$
con $x=1, [1]_r = {1,2}$
con $x=-1, [-1]_r = {-1,-2}$
Sarebbe matematicamente corretta come notazione?
Certo.
"WiZaRd":
La dimostrazione della 2) da parte della tua prof. non è una vera e propria dimostrazione per assurdo: la dimostrazione per assurdo è qualche cosa di un poco più sofisticato del dimostrare che se [tex]X_{1}\cap X_{2} \neq \varnothing[/tex] allora si ha [tex]X_{1}=X_{2}[/tex]. Questa dimostrazione prova che [tex]X_{1}\neq X_{2} \implies X_{1}\cap X_{2}=\varnothing[/tex] mostrando che vale [tex]X_{1}\cap X_{2} \neq \varnothing \implies X_{1}=X_{2}[/tex]: tale dimostrazione va più propriamente sotto il nome di dimostrazione per contrapposizione o del contronominale.
Una dimostrazione per assurdo di [tex]A \implies B[/tex] procede mostrando che [tex](A \land \neg B) \implies C[/tex] dove [tex]C[/tex] è una contraddizione.
Quanto all'esercizio, gli elementi di [tex]F[/tex] sono gli insiemi formati da due numeri interi tali che la loro somma fa [tex]4[/tex]: qualunque sia [tex]X \in F[/tex] risulta [tex]X \neq \varnothing[/tex] perché, detto in termini poveri, l'equazione [tex]x+y=4[/tex] è risolvibile in [tex]\mathbb{Z}[/tex] qualunque sia il fissato [tex]x \in \mathbb{Z}[/tex] ed allora puoi mettere almeno questo [tex]x[/tex] in [tex]F[/tex] (aagiungendovi poi ovviamente [tex]y=4-x[/tex]).
La prova della 2) può farsi anche in modo diretto: se [tex]\{x,4-x\} \neq \{\bar{x}, 4-\bar{x}\}[/tex] allora i due insiemi o differiscono per tutti i termini in essi contenuti, sicché sono disgiunti, o differiscono per un solo elemento, ma, se differiscono per questo elemento, le soluzioni dell'equazione [tex]x+y=4[/tex] sono diverse, una volta che [tex]x[/tex] od [tex]y[/tex] rappresenta come elemento fissato uno dei due elementi che sono diversi, sicché anche i restanti due elementi sono diversi e, di conseguenza, gli insiemi sono disgiunti.
[tex]F \subseteq \wp(\mathbb{Z})[/tex], poiché ciascun elemento di [tex]F[/tex] è una parte di [tex]\mathbb{Z}[/tex], quindi [tex]\displaystyle \bigcup_{X \in F} X \subseteq \mathbb{Z}[/tex], quindi occorre e basta mostrare che [tex]\displaystyle \mathbb{Z}\subseteq \bigcup_{X \in F} X[/tex]: prova un poco.
La relazione [tex]\mathcal{R}_{F}[/tex] indotta da [tex]F[/tex] è quella che mette due elementi di [tex]\mathbb{Z}[/tex] nella stessa classe di equivalenza sse essi stanno... dove stanno?
Ma quindi se $x in ZZ$ e abbiamo una coppia di elementi di ${x,4-x}$ significa che è una coppia di elementi entrambi in $ZZ$.
Quindi due elementi sono in relazione tra loro solo se stanno nella stessa partizione, in $ZZ$.
Però qui non da limiti specifici, dice solo che devi prendere $x in ZZ$ e nulla più. Quindi come possono essere due elementi "equivalenti" tra loro?
Non mi è molto chiaro questo esercizio, ad essere sincero.
Conta che sui libri che ho ne dedica si e no 2 righe che non è nulla più che la definizione di partizione, e non c'ho nessunissimo esercizio svolto, a parte questo stesso che non mi è chiaro. Quindi non so proprio come procedere.
Hai detto bene.
Data [tex]F:=\{\{x,4-x\}\mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex] la relazione [tex]\mathcal{R}_{F}[/tex] indotta è [tex]a \sim b \iff \exists X \in F \mid a \in X \land b \in X \text{(i.e. } a \text { e } b \text{ stanno nello stesso } X \in F \text{)}[/tex].
Cosa non ti piace di questa equivalenza?
Data [tex]F:=\{\{x,4-x\}\mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex] la relazione [tex]\mathcal{R}_{F}[/tex] indotta è [tex]a \sim b \iff \exists X \in F \mid a \in X \land b \in X \text{(i.e. } a \text { e } b \text{ stanno nello stesso } X \in F \text{)}[/tex].
Cosa non ti piace di questa equivalenza?
"WiZaRd":
Hai detto bene.
Data [tex]F:=\{\{x,4-x\}\mid x\in \mathbb{Z}\}[/tex] la relazione [tex]\mathcal{R}_{F}[/tex] indotta è [tex]a \sim b \iff \exists X \in F \mid a \in X \land b \in X \text{(i.e. } a \text { e } b \text{ stanno nello stesso } X \in F \text{)}[/tex].
Cosa non ti piace di questa equivalenza?
CHe non viene detto da nessuna parte $X$ cos'è.
Ovvero, così com'è scritto $aR_fb$ se $a,b in ZZ$ ? a questo punto la partizione è tutta $ZZ$?
[tex]X[/tex] è un elemento di [tex]F[/tex]: infatti c'è scritto [tex]\exists X \in F[/tex] che significa [tex]\exists X : X \in F[/tex], ovvero esiste (almeno un) oggetto [tex]X[/tex] tale che questo oggetto è un elemento di [tex]F[/tex].
[tex]a \sim b[/tex] non se [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex] (ciò sarebbe banale: stiamo lavorando con gli elementi di [tex]F[/tex] che sono parti di [tex]\mathbb{Z}[/tex], quindi per forza deve essere [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex]), ma se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sono elementi dello stesso insieme [tex]X[/tex] elemento di [tex]F[/tex].
[tex]a \sim b[/tex] non se [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex] (ciò sarebbe banale: stiamo lavorando con gli elementi di [tex]F[/tex] che sono parti di [tex]\mathbb{Z}[/tex], quindi per forza deve essere [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex]), ma se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sono elementi dello stesso insieme [tex]X[/tex] elemento di [tex]F[/tex].
"WiZaRd":
[tex]X[/tex] è un elemento di [tex]F[/tex]: infatti c'è scritto [tex]\exists X \in F[/tex] che significa [tex]\exists X : X \in F[/tex], ovvero esiste (almeno un) oggetto [tex]X[/tex] tale che questo oggetto è un elemento di [tex]F[/tex].
[tex]a \sim b[/tex] non se [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex] (ciò sarebbe banale: stiamo lavorando con gli elementi di [tex]F[/tex] che sono parti di [tex]\mathbb{Z}[/tex], quindi per forza deve essere [tex]a,b \in \mathbb{Z}[/tex]), ma se [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] sono elementi dello stesso insieme [tex]X[/tex] elemento di [tex]F[/tex].
Daccordo ma se non sappiamo $F$ come è composto, come facciamo a definire la relazione $R_F$ e quindi come facciamo a dire se un elemento fa parte o meno di quella partizione?
Scusami, sarà un mio limite ma non riesco a capire qual è il tuo dubbio.
Se io ho una partizione [tex]\mathfrak{F}[/tex] di un insieme [tex]S[/tex], per definizione [tex]\bigcup \mathfrak{F}=S[/tex], quindi, se io prendo un qualunque [tex]x \in S[/tex], questo [tex]x[/tex] deve per forza appartenere a qualche [tex]X \in \mathfrak{F}[/tex].
Per quanto riguarda la relazione di equivalenza, se io prendo due elementi [tex]a,b[/tex] di [tex]S[/tex], posso senz'altro definire [tex]a \sim b \iff \exists X \in \mathfrak{F} \mid a \in X \land b \in X[/tex], perché, per quanto sopra, [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] devono per forza essere elementi di qualche [tex]X \in \mathfrak{F}[/tex] ed o stanno nello stesso insieme o stanno in insiemi diversi, perché gli elementi della partizione sono insiemi a due a due disgiunti.
Cosa non ti torna?
Se io ho una partizione [tex]\mathfrak{F}[/tex] di un insieme [tex]S[/tex], per definizione [tex]\bigcup \mathfrak{F}=S[/tex], quindi, se io prendo un qualunque [tex]x \in S[/tex], questo [tex]x[/tex] deve per forza appartenere a qualche [tex]X \in \mathfrak{F}[/tex].
Per quanto riguarda la relazione di equivalenza, se io prendo due elementi [tex]a,b[/tex] di [tex]S[/tex], posso senz'altro definire [tex]a \sim b \iff \exists X \in \mathfrak{F} \mid a \in X \land b \in X[/tex], perché, per quanto sopra, [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] devono per forza essere elementi di qualche [tex]X \in \mathfrak{F}[/tex] ed o stanno nello stesso insieme o stanno in insiemi diversi, perché gli elementi della partizione sono insiemi a due a due disgiunti.
Cosa non ti torna?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo