Relazione di equivalenza

[olanda2000]

Salve, mi è facile capire che ogni relaz. di equiv. determina nell'insieme su cui è definita una PARTIZIONE : esempio l'essere divisibile per due mi crea in N la partizione in due insiemi, P e D , numeri pari e numeri dispari. Faccio fatica sul viceversa: ogni partizione dell'insieme determina una relazione di equiv. : ma come faccio a sapere qual è tale relazione partendo da una partizione? esempio nell'insieme N ripartisco a caso gli elementi , esempio isolo quelli multipli di 3 dal resto dei numeri interi , ebbene che relazione ho creato? grazie

[otta96]

Due elementi sono in relazione se appartengono allo stesso insieme della partizione.
Questa è la relazione, a te le verifiche che è di equivalenza.

[olanda2000]

perchè devo fare la verifica? il teorema dice "Ogni relazione d'equivalenza determina una partizione e viceversa" , quindi è sicuramente di equivalenza. Però la mia domanda è : qual è questa relazione di equivalenza?

[luca691]

Sulla traccia di @otta96, verifichiamo la transitività.
Detti $X$ e $Y$ due elementi della partizione e $a,b,c$ elementi distinti dell'insieme, in generale sarà: $a~b⇔a,binX$ e $b~c⇔b,cinY$; ma allora $binXnnY$ e quindi necessariamente $X=Y$ (diversamente sarebbe $XnnY=emptyset$ e un tale $b$ non esisterebbe); pertanto anche $cinX$ e quindi $a~c$.

[olanda2000]

Ma ogni partizione determina una relazione di equivalenza? Cioè qualsiasi partizione, intendo arbitrariamente creata, determina una relazione di equivalenza?

[G.D.5]

Secondo me la tua incertezza è dovuta al fatto che non hai un'idea propriamente corretta di cosa sia una relazione, ancor prima di cosa sia una relazione di equivalenza. Secondo me la tua idea di relazione è strettamente connessa con l'idea di proprietà. In altri termini, correggimi se sbaglio, tu parti dall'idea che una relazione debba individuare ed essere a sua volta individuata da una proprietà (verbalmente esprimibile) tra gli oggetti messi in relazione. Ma potrei essere in errore.

[olanda2000]

Sì,la tua idea è corretta: siccome si fanno gli esempi sulle relazioni di equivalenza esprimendo la proprietà che rende gli elementi in relazione tra loro equivalenti, mi chiedevo come si faccia quando la relazione viene individuata da una qualunque partizione arbitrariamente scelta .

[luca691]

Credo che la via sia "costruire" una relazione tra gli elementi dell'insieme a partire dalle proprietà caratteristiche dei sottoinsiemi disgiunti della partizione, e dimostrare che tale relazione è di equivalenza.

[algibro]

Azzardo un'osservazione a proposito.
Possiamo dire che, dati $n$ insiemi $A, B, C,...,N$ non vuoti e tali che siano tutti tra loro disgiunti,
$A \cap B= \emptyset, A \cap C= \emptyset, B \cap C=\emptyset,..., A \cap N=\emptyset, B \cap N=\emptyset, C \cap N= \emptyset ...$,
considerato l'insieme $S =A \cup B \cup C \cup ... \cup N$,
e la partizione $E$ di $S$ così definita:
$E={{a \in S : a \in A}, {b \in S : b \in B}, {c \in S : c \in C}, ..., {n \in S : n \in N}}$,
allora tramite $E$ è possibile stabilire una relazione di equivalenza dove le classi di equivalenza coincidono con gli $n$ insiemi originari.

Ad esempio:
$A={a,b}, B={1,3,5}$
$S={1,a,b,3,5}$
$E={{a,b},{1,3,5}}$
La relazione di equivalenza stabilita dalla partizione $E$ dell'insieme $S$ è la seguente:
$R={{a,a},{b,b},{a,b},{b,a},{1,1},{3,3},{5,5},{1,3},{1,5},{3,5},{3,1},{5,1},{5,3}}$
$\forall x \in S, xRx;$
$\forall x,y \in S, xRy \Rightarrow yEx;$
$\forall x,y,z \in S, xRy, yRz \Rightarrow xEz;$
$cl(a)={a,b}=A$, $cl(1)={1,3,5}=B$

[olanda2000]

Grazie , ho capito di più .

Ps: cosa significa xEx? Volevi scrivere xRx?

[algibro]

"olanda2000":Grazie , ho capito di più .

Ps: cosa significa xEx? Volevi scrivere xRx?

esattamente ! ora correggo.

[luca691]

"luca69":Credo che la via sia "costruire" una relazione tra gli elementi dell'insieme a partire dalle proprietà caratteristiche dei sottoinsiemi disgiunti della partizione, e dimostrare che tale relazione è di equivalenza.

Provo a sviluppare un po' l'idea che ho scritto qua sopra.
Dato un insieme di indici $I$ e un insieme $A$, un'arbitraria partizione di $A$ è una collezione di sottoinsiemi $A_(\alphainI)$, a due a due disgiunti e tale che $A=uuu_(\alphainI)A_\alpha$, ovvero -equivalentemente- una collezione di proprietà caratteristiche (proposizioni) $P_(\alphainI)$ tale che $AAainA,EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)$. Se ho ben compreso il tuo dubbio, l'aspetto importante da cogliere è che, per quanto arbitraria "si possa dare" una partizione, essa è pur sempre definibile mediante proprietà caratteristiche dei sottoinsiemi che la compongono: anche un insieme "esotico" (finito) come ${1,\gamma, 'biella','Biella'}$ si può pur sempre definire -al limite- come "insieme di verità" della proprietà caratteristica $P(a)=$<<$a$ è $1$, oppure $\gamma$, oppure $'biella'$, oppure $'Biella'$>>.
A questo punto definiamo la relazione tra elementi di $A$ nel modo seguente: $R(a,b)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)$: questo significa semplicemente che $a$ e $b$ sono in relazione se e solo se soddisfano la proprietà caratteristica dello stesso sottoinsieme della partizione, che è dire se e solo se appartengono allo stesso sottoinsieme della partizione. Aver espresso la relazione in tal modo, però, ovvero mediante le proprietà caratteristiche dei sottoinsiemi della partizione, dovrebbe far capire che ogni proprietà di $R$ dimostrabile con questa rappresentazione vale per ogni arbitraria partizione (perché appunto ogni arbitraria partizione "è" la sua collezione di proprietà caratteristiche). Ora mostriamo che la proprietà di $R$ "essere di equivalenza" è dimostrabile con questa rappresentazione. $AAa,b,cinA$, si ha:

i) $EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(a)⇔R(a,a)$ (riflessiva);
ii) $R(a,b)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(b)^^P_(\alpha)(a)⇔R(b,a)$ (simmetrica);
iii) $R(a,b)^^R(b,c)⇔EE!\alpha,\betainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)^^P_(\beta)(b)^^P_(\beta)(c)⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)^^P_(\alpha)(b)^^P_(\alpha)(c)$ (in quanto $P_(\alpha)(b)^^P_(\beta)(b)$ è falsa se non per $\beta=\alpha$)$⇔EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(b)^^P_(\alpha)(c)⇒EE!\alphainI$ tale che $P_(\alpha)(a)^^P_(\alpha)(c)⇔R(a,c)$ (transitiva).

[olanda2000]

grazie,ho capito!