Regola Cartesio
Ciao!
Qualcuno potrebbe spiegarmi la regola di cartesio?
Praticamente per studiare la BIBO stabilità del sistema mi serve capire quando la funzione differenziale i cui coefficienti sono parametri reali assume radici a parte reale minore di zero.
Esempio data una eq. differenziale con omogenea associata:
(1-a^2)S^2 + aS + (a +1/100) =0
come devo imporre le condizioni su a?
Grazie!
Qualcuno potrebbe spiegarmi la regola di cartesio?
Praticamente per studiare la BIBO stabilità del sistema mi serve capire quando la funzione differenziale i cui coefficienti sono parametri reali assume radici a parte reale minore di zero.
Esempio data una eq. differenziale con omogenea associata:
(1-a^2)S^2 + aS + (a +1/100) =0
come devo imporre le condizioni su a?
Grazie!
Risposte
Il criterio generale di stabilità impone che tutte le radici dell'equazione caratteristica abbiano parte reale negativa. In questo caso l'equazione è di secondo grado del tipo...
a2*s^2+a1*s+ao=0 (1)
... con a2= 1-a^2, a1= a e ao= a+1/100...
Per una equazione di secondo grado con determinante >0 Cartesio a suo tempo ha stabilito che le due radici erano entrambe negative se i termini a2,a1 e ao sono dello stesso segno. Se il determinante invece è <0 è immediato vedere che le due radici hanno la stessa parte reale negativa se a2 e a1 hanno lo stesso segno...
cordiali saluti
lupo grigio
a2*s^2+a1*s+ao=0 (1)
... con a2= 1-a^2, a1= a e ao= a+1/100...
Per una equazione di secondo grado con determinante >0 Cartesio a suo tempo ha stabilito che le due radici erano entrambe negative se i termini a2,a1 e ao sono dello stesso segno. Se il determinante invece è <0 è immediato vedere che le due radici hanno la stessa parte reale negativa se a2 e a1 hanno lo stesso segno...
cordiali saluti
lupo grigio
quindi le condizioni da imporre sarebbero:
quindi le condizioni ha imporre quali sono?
il prof. imponeva i termini prima tutti maggiori di zero e poi tutti minori...
ma a me sembra una cosa assurda! cioè che senso ha?
secondo me ho copiato male io... dato che ero arrivato tardi...
quindi le condizioni ha imporre quali sono?
il prof. imponeva i termini prima tutti maggiori di zero e poi tutti minori...
ma a me sembra una cosa assurda! cioè che senso ha?
secondo me ho copiato male io... dato che ero arrivato tardi...
Dato in generale un polinomio in s di grado n...
D(s) = Sum [i=0,n] ai * s^i (1)
... siccome per ipotesi an è diverso da 0, è sempre possibile scriverlo come ...
D(s) = an * Sum [i=0,n] ai/an * s^i (2)
Pertanto si può considerare an come un semplice coefficiente moltiplicativo e in tal caso l'equazione caratteristica diviene...
Sum [i=0,n] ci * s^i = 0 (3)
... in cui è cn=1 e ci=ai/an...
Nel caso da te segnalato la condizione an diversa da zero si traduce in a^2<1 e a^2>1...
Consideriamo da prima il caso a^2<1. In tal caso an è >0 e quindi anche gli altri termini devono essere positivi. La condizione di stabilità è pertanto 0
Consideriamno poi il caso a^2>1. Qui è an<0 e quindi anche gli altri termini devono essere negativi. La condizione di stabilità diviene pertanto a<-1...
cordiali saluti
lupo grigio
D(s) = Sum [i=0,n] ai * s^i (1)
... siccome per ipotesi an è diverso da 0, è sempre possibile scriverlo come ...
D(s) = an * Sum [i=0,n] ai/an * s^i (2)
Pertanto si può considerare an come un semplice coefficiente moltiplicativo e in tal caso l'equazione caratteristica diviene...
Sum [i=0,n] ci * s^i = 0 (3)
... in cui è cn=1 e ci=ai/an...
Nel caso da te segnalato la condizione an diversa da zero si traduce in a^2<1 e a^2>1...
Consideriamo da prima il caso a^2<1. In tal caso an è >0 e quindi anche gli altri termini devono essere positivi. La condizione di stabilità è pertanto 0
Consideriamno poi il caso a^2>1. Qui è an<0 e quindi anche gli altri termini devono essere negativi. La condizione di stabilità diviene pertanto a<-1...
cordiali saluti
lupo grigio
Vediamo un pò se ho capito:
ho questa eq: s^2 +(1+a)s - B*a (dove B = pigreco elevato al quadrato)
il termine di grado 2 ha coefficienti 1 che è sempre positivo, quindi i coefficienti non potranno essere tutti negativi. Vediamo quando questi sono tutti positivi:
1+a>0 & -a >0 che porta al sistema:
a>-1 e a<0 da cui facendo il sistema risulta -1
Quest'altra:
(1-a^2)s^2 + as + (a+1/100)
Vediamo quando i coefficienti sono tutti positivi:
1-a^2 > 0 -> -1
a> -1/100
facendo il sistema (non con il prodotto dei segni, vero?) ottengo che 0
(1-a^2)<0 per valori esterni, quindi a>1 e a<-1
a<0
a<-1/100
da cui con il sistema ottengo a<-1
è corretto il ragionamento?
ho questa eq: s^2 +(1+a)s - B*a (dove B = pigreco elevato al quadrato)
il termine di grado 2 ha coefficienti 1 che è sempre positivo, quindi i coefficienti non potranno essere tutti negativi. Vediamo quando questi sono tutti positivi:
1+a>0 & -a >0 che porta al sistema:
a>-1 e a<0 da cui facendo il sistema risulta -1
Quest'altra:
(1-a^2)s^2 + as + (a+1/100)
Vediamo quando i coefficienti sono tutti positivi:
1-a^2 > 0 -> -1
a> -1/100
facendo il sistema (non con il prodotto dei segni, vero?) ottengo che 0
(1-a^2)<0 per valori esterni, quindi a>1 e a<-1
a<0
a<-1/100
da cui con il sistema ottengo a<-1
è corretto il ragionamento?
Sì, il ragionamento è corretto...
In generale nell'equazione caratteristica la possiamo sempre porre =1 il coefficiente del termine di grado n. In tal caso possiamo scrivere...
D(s)= (s-s1)*(s-s2)*...*(s-sn) (1)
... ove le si [i=1,2,...,n] sono le radici del polinomio stesso, vale a dire i valori di s per cui è D(s)=0. Se tutte le radici di D(s) hanno parte reale negativa è evidente che lo sviluppo (1) conterrà solo termini del tipo (s+a) [se -a è una radice reale...] o del tipo (s^2+2*u+ u^2+v^2) [se -u+j*v è una radice complessa...]. Sviluppando il prodotto è immediato vedere che i coefficienti di D(s) sono in tal caso tutti positivi...
cordiali saluti
lupo grigio
In generale nell'equazione caratteristica la possiamo sempre porre =1 il coefficiente del termine di grado n. In tal caso possiamo scrivere...
D(s)= (s-s1)*(s-s2)*...*(s-sn) (1)
... ove le si [i=1,2,...,n] sono le radici del polinomio stesso, vale a dire i valori di s per cui è D(s)=0. Se tutte le radici di D(s) hanno parte reale negativa è evidente che lo sviluppo (1) conterrà solo termini del tipo (s+a) [se -a è una radice reale...] o del tipo (s^2+2*u+ u^2+v^2) [se -u+j*v è una radice complessa...]. Sviluppando il prodotto è immediato vedere che i coefficienti di D(s) sono in tal caso tutti positivi...
cordiali saluti
lupo grigio
ok, grazie!!!
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