Rappresentazione di Gruppo come azione
Buonasera a tutti. Sto studiando la teoria della rappresentazione dei gruppi finiti sull' "Algebra" di "Artin" e tentavo di dimostrare l'asserzione che dice che una rappresentazione $\rho : G \rightarrow GL(V)$ (Quindi $\rho_g :V \rightarrow V$ è un'applicazione lineare e invertibile su $V$ per definizione) su uno spazio vettoriale di dimensione finita può essere indotta da un'azione di un gruppo su uno spazio vettoriale, e viceversa (Dove con azione di un gruppo su uno spazio vettoriale si intende la cosa seguente):
Sia $G$ un gruppo e $V$ uno spazio vettoriale. Un'azione di gruppo sullo spazio vettoriale $V$ (Sia $K$ il campo) è una funzione
\[ F : G \times V \longrightarrow V\] che soddisfa le seguenti proprietà
$F(\mathbf{1}, v) = v $, $\forall v\in V$ dove $\mathbf{1}$ è l'elemento neutro di $G$;
$F(gh, v) = F(g, F(h,v) )$, $\forall g,h \in G$, $\forall v\in V$;
$F (g, v + w ) = F(g,v) + F(g, v)$ , $\forall g \in G$, $\forall v,w\in V$;
$F(g, cv) = c F(g, v)$, $\forall g \in G$, $\forall v\in V$, $\forall c \in K$.
Mi da problemi il verso azione $\Rightarrow$ rappresentazione. Io lo dimostro così:
Definisco (cioè creo la rappresentazione indotta dall'azione):
\[\begin{split}
&\rho : G \rightarrow GL(V)\\
&\rho_g (v) : = F(g,v) \quad \forall v\in V \end{split}\]
La linearità è garantita grazie alle ultime due proprietà della definizione;
Voglio controllare che $\rho$ sia un omomorfismo. Se $g,h \in G$ e $\forall v \in V$:
\[\rho_{gh}(v)= F(gh, v) = F(g, F(h,v)) = \rho_g \circ \rho_h (v)\]
usando la seconda della definizione concludo
Non dovrei ora provare l'invertibilità di $\rho_g$?
E qui mi sorge un problema, io dato che già ho dimostrato essere lineare, volevo provare l'iniettività mostrando che il Nucleo era banale e di qui avrei ottenuto anche la suriettivià dato che $\rho_g$ è un operatore su $V$ (Cioè agisce tra due spazi - che poi sono lo stesso - che hanno la stessa dimensione e quindi per il teorema nucleo - immagine concludevo)
Quindi, sia $v$ un vettore e $w_1,..., w_n$ una base.
\[ \begin{split}
& \rho_g(v) = 0 \\
& \rho_g(a_1 w_1 + \dots + a_n w_n) = 0 \\
& a_1 \rho_g( w_1) + \dots + a_n \rho_g(w_n) = 0
\end{split}\]
Quindi dato che l'immagine attraverso $\rho_g$ di elementi di una base è essa stessa una base, concludo $a_i = 0$ per tutti gli $i$ e quindi concludo che $v$ era il vettore nullo.
Dove sta, se c'è l'errore? Grazie a chi risponderà.
Sia $G$ un gruppo e $V$ uno spazio vettoriale. Un'azione di gruppo sullo spazio vettoriale $V$ (Sia $K$ il campo) è una funzione
\[ F : G \times V \longrightarrow V\] che soddisfa le seguenti proprietà
$F(\mathbf{1}, v) = v $, $\forall v\in V$ dove $\mathbf{1}$ è l'elemento neutro di $G$;
$F(gh, v) = F(g, F(h,v) )$, $\forall g,h \in G$, $\forall v\in V$;
$F (g, v + w ) = F(g,v) + F(g, v)$ , $\forall g \in G$, $\forall v,w\in V$;
$F(g, cv) = c F(g, v)$, $\forall g \in G$, $\forall v\in V$, $\forall c \in K$.
Mi da problemi il verso azione $\Rightarrow$ rappresentazione. Io lo dimostro così:
Definisco (cioè creo la rappresentazione indotta dall'azione):
\[\begin{split}
&\rho : G \rightarrow GL(V)\\
&\rho_g (v) : = F(g,v) \quad \forall v\in V \end{split}\]
La linearità è garantita grazie alle ultime due proprietà della definizione;
Voglio controllare che $\rho$ sia un omomorfismo. Se $g,h \in G$ e $\forall v \in V$:
\[\rho_{gh}(v)= F(gh, v) = F(g, F(h,v)) = \rho_g \circ \rho_h (v)\]
usando la seconda della definizione concludo
Non dovrei ora provare l'invertibilità di $\rho_g$?
E qui mi sorge un problema, io dato che già ho dimostrato essere lineare, volevo provare l'iniettività mostrando che il Nucleo era banale e di qui avrei ottenuto anche la suriettivià dato che $\rho_g$ è un operatore su $V$ (Cioè agisce tra due spazi - che poi sono lo stesso - che hanno la stessa dimensione e quindi per il teorema nucleo - immagine concludevo)
Quindi, sia $v$ un vettore e $w_1,..., w_n$ una base.
\[ \begin{split}
& \rho_g(v) = 0 \\
& \rho_g(a_1 w_1 + \dots + a_n w_n) = 0 \\
& a_1 \rho_g( w_1) + \dots + a_n \rho_g(w_n) = 0
\end{split}\]
Quindi dato che l'immagine attraverso $\rho_g$ di elementi di una base è essa stessa una base, concludo $a_i = 0$ per tutti gli $i$ e quindi concludo che $v$ era il vettore nullo.
Dove sta, se c'è l'errore? Grazie a chi risponderà.
Risposte
Ciao
E come giustifichi che $rho_g$ manda una base in una base?
Mi sembra più facile esibire l'inversa.
Che dici di $rho_{g^{-1}}$?
E come giustifichi che $rho_g$ manda una base in una base?
Mi sembra più facile esibire l'inversa.
Che dici di $rho_{g^{-1}}$?
Ahah, in realtà nell'esatto momento in cui l'ho scritto SAPEVO che non poteva essere giusta la mia dimosrazione, perchè avrebbe implicato che tutte le applicazioni lineare di uno spazio in se sono in particolare suriettive e ciò è falso (mi bastava pensare alla proiezione su un sottospazio per convincermene.)
Sì nettamente un'idea migliore. Non mi metterò più a scrivere la tesi dopo le 23, promesso.
Grazie mille e una buona serata
Sì nettamente un'idea migliore. Non mi metterò più a scrivere la tesi dopo le 23, promesso.
Grazie mille e una buona serata
Prego!
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