Radicale di jacobson in $ Z_n $
Determinare gli ideali massimali e il radicale di jacobson di $ Z_n $
So che in $ Z $ gli ideali massimali coincidono con gli ideali primi e di conseguenza il radicale di jacobson coincide con il nilradicale di $ Z $. La stessa proprietà dovrebbe valere anche nei quozienti di $ Z $ ? Faccio questa domanda perchè in un altro esercizio ho caratterizzato il nilradicale di $ Z_n $ così: sia $ n=p_1^{k_1}...p_t^{k_t} $ con $ p_1,...,p_t $ primi distinti allora un elemento $ [a]_n \in Z_n $ è nilpotente se e solo se $ a $ è multiplo del prodotto $ p_1...p_t $ . E l'ordine del nilradicale è $ p_1^{k_1-1}...p_t^{k_t-1} $
Gli ideali massimali (e quindi primi ? ) di $ Z_n $ se non sbaglio dovrebbero coincidere con i sottogruppi massimali di $ Z_n $, no? Essendo $ n=p_1^{k_1}...p_t^{k_t} $ , mi sembra possibilissimo che l' intersezione dei massimali abbia ordine $ p_1^{k_1-1}...p_t^{k_t-1} $. D'altra parte potrei anche caratterizzare il radicale di jacobson in quest'altro modo: l'insieme degli elementi $ x \in Z_n $ tali che $ 1+xy $ è coprimo con $ n $ per ogni $ y \in Z_n $ (che a prima vista non mi sembra equivalente alla caratterizzazione del nilradicale)
So che in $ Z $ gli ideali massimali coincidono con gli ideali primi e di conseguenza il radicale di jacobson coincide con il nilradicale di $ Z $. La stessa proprietà dovrebbe valere anche nei quozienti di $ Z $ ? Faccio questa domanda perchè in un altro esercizio ho caratterizzato il nilradicale di $ Z_n $ così: sia $ n=p_1^{k_1}...p_t^{k_t} $ con $ p_1,...,p_t $ primi distinti allora un elemento $ [a]_n \in Z_n $ è nilpotente se e solo se $ a $ è multiplo del prodotto $ p_1...p_t $ . E l'ordine del nilradicale è $ p_1^{k_1-1}...p_t^{k_t-1} $
Gli ideali massimali (e quindi primi ? ) di $ Z_n $ se non sbaglio dovrebbero coincidere con i sottogruppi massimali di $ Z_n $, no? Essendo $ n=p_1^{k_1}...p_t^{k_t} $ , mi sembra possibilissimo che l' intersezione dei massimali abbia ordine $ p_1^{k_1-1}...p_t^{k_t-1} $. D'altra parte potrei anche caratterizzare il radicale di jacobson in quest'altro modo: l'insieme degli elementi $ x \in Z_n $ tali che $ 1+xy $ è coprimo con $ n $ per ogni $ y \in Z_n $ (che a prima vista non mi sembra equivalente alla caratterizzazione del nilradicale)
Risposte
Ti rispondo con una domanda ed una ramanzina.
La domanda: sia [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario; sia [tex]I[/tex] un ideale di [tex]A[/tex]. Chi sono gli ideali di [tex]A / I[/tex] in relazione a quelli di [tex]A[/tex]? Più interessante, a chi è omeomorfo [tex]\text{Spec}(A / I)[/tex] (si intenda rispetto alla topologia di Zariski, ovviamente)?
La ramanzina:
Spero che non ci sia bisogno di aggiungere altro.
La domanda: sia [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario; sia [tex]I[/tex] un ideale di [tex]A[/tex]. Chi sono gli ideali di [tex]A / I[/tex] in relazione a quelli di [tex]A[/tex]? Più interessante, a chi è omeomorfo [tex]\text{Spec}(A / I)[/tex] (si intenda rispetto alla topologia di Zariski, ovviamente)?
La ramanzina:
"perplesso":
Gli ideali massimali (e quindi primi ? )
Spero che non ci sia bisogno di aggiungere altro.
"maurer":
La domanda: sia [tex]A[/tex] un anello commutativo unitario; sia [tex]I[/tex] un ideale di [tex]A[/tex]. Chi sono gli ideali di [tex]A / I[/tex] in relazione a quelli di [tex]A[/tex]?
Sono i quozienti $ K/I $ con $ K $ ideale di $ A $ contenente $ I $. Cioè quindi mi stai dicendo che $ K/I $ è primo/massimale se e solo se $ K $ è primo/massimale?
La ramanzina
"perplesso":
Gli ideali massimali (e quindi primi ? )
Ah gia ogni ideale massimale è primo. Ok capito, in realtà volevo chiedere se in $ Z_n $ era vero il viceversa cioè che ogni primo è massimale.
Più interessante, a chi è omeomorfo Spec(A/I) (si intenda rispetto alla topologia di Zariski, ovviamente)?
Boh, conosco solo qualche vaga nozione di topologia...
Spero che non ci sia bisogno di aggiungere altro
Scusa, non ti volevo irritare, ora non farò più domande xD
"perplesso":
Sono i quozienti $ K/I $ con $ K $ ideale di $ A $ contenente $ I $. Cioè quindi mi stai dicendo che $ K/I $ è primo/massimale se e solo se $ K $ è primo/massimale?
Certo!
Perché non provi a dimostrarlo? Non è difficile!"perplesso":
Ah gia ogni ideale massimale è primo. Ok capito, in realtà volevo chiedere se in $ Z_n $ era vero il viceversa cioè che ogni primo è massimale.
Ok, così va meglio (ma questa domanda l'avevi già fatta poco sopra, quindi pensavo che intendessi veramente quello che hai scritto). La risposta allora è sì, e il motivo è quello che ho evidenziato poco sopra.
"perplesso":
Boh, conosco solo qualche vaga nozione di topologia...
It doesn't matter... Più che topologia, questa è geometria algebrica ma non entriamo nel dettaglio. Non sapendo che esame stai preparando ho semplicemente scritto tutto quello che mi è passato per la testa.
"perplesso":
Scusa, non ti volevo irritare, ora non farò più domande xD
Scusami, non volevo essere brusco. Ma la domanda che avevo sottolineato non è una questione su cui sono ammessi dubbi!
E' un po' come confondere il sale e lo zucchero... o qualcosa del genere!
Supponiamo K primo $ (a+I)(b+I)= (ab+I) \in K/I \rightarrow ab \in K \rightarrow a \in K $ oppure $ b \in K \rightarrow (a+I) \in K/I $ oppure $ (b+I) \in K/I \rightarrow K/I $ è primo. Analogamente per il viceversa.
Sia $ K $ massimale e sia $ M/I $ un ideale tale che $ K/I <= M/I <= A/I $ allora $ K <= M <= A $ e quindi $ M=K $ oppure $ M=A $ ovvero $ K/I $ è massimale. Analogamente per il viceversa.
Fatto bene?
Sia $ K $ massimale e sia $ M/I $ un ideale tale che $ K/I <= M/I <= A/I $ allora $ K <= M <= A $ e quindi $ M=K $ oppure $ M=A $ ovvero $ K/I $ è massimale. Analogamente per il viceversa.
Fatto bene?
Sì, è fatto bene. Personalmente, preferisco una soluzione più diagrammatica, la trovo più chiara. Fissa un ideale [tex]K / I[/tex] in [tex]A / I[/tex]. Allora [tex](A / I) / (K / I) \cong A / K[/tex], quindi [tex]K/I[/tex] è primo (massimale) se e solo se [tex]K[/tex] è primo (massimale).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo