Provare che un gruppo è abeliano

[Samy211]

Ciao ragazzi...

Non so perchè ma non ho un grande feeling con i gruppi ( W la sincerità ) anche se gli argomenti in teoria mi piacciono...I dolori sorgono nel momento in cui si passa alla pratica...Sicuramente manco di qualcosa però appena apro l'eserciziario mi viene quasi una crisi

In ogni caso ho preso coraggio ( ) e ho preso un esercizio di un vecchio esame dato dal mio professore e volevo risolverlo...Almeno la volontà c'è

Una voce del problema è il seguente

Sia $G$ un gruppo di ordine $p^2q^2$, con $p

Ora, notando che l'ordine di $G$ è dato dalla potenza di 2 numeri primi mi viene da pensare che $G$ è un p-gruppo e per la seconda proprietà di questi gruppi, risulta essere abeliano....
Il ragionamento è corretto?

Grazie in anticipo.

[mistake89]

Non vorrei dire una cosa inesatta ma a me non pare che sia un $p$-gruppo. Semmai i suoi sylow sono $p$-gruppi ma... aspettiamo i pareri dei più esperti.

Tra l'altro nel tuo ragionamento dove sfrutti l'ipotesi che $q^2!=1$ in $ZZ_p$?

[Samy211]

"mistake89":Tra l'altro nel tuo ragionamento dove sfrutti l'ipotesi che $q^2!=1$ in $ZZ_p$?

Diciamo che il mio non può nemmeno considerarsi un ragionamento ma una bozza.. Diciamo che in casi come questo non so dove mettere le mani o da dove iniziarci...

[Lorin1]

Iniziamo col dire che $G$ non è un p-gruppo, perchè per essere tale il suo ordine deve essere una potenza di un primo e, qui come vedi, di potenze ne abbiamo due. Comunque, proviamo a ragionare sull'ordine e sull'ipotesi $q^2!=1$; per prima cosa direi di utilizzare i teoremi di Sylow, per dire chi e come sono fatti (parlo sempre di ordine) i sottogruppi di G; come seconda cosa, magari ti può servire, ti voglio riportare due proprietà:

1)Sia $|G|=p^2$ (p primo qualunque) allora G è abeliano

2) G ciclico $=>$ G abeliano

Adesso ragionaci su e vedi se ti viene qualche idea

PS
non è detto che tu debba usare le due proprietà che ti ho riportato...

[Samy211]

Grazie per aver risposto!

Il fatto che $q^2 != 1$ potrebbe indurmi a dire che $q$ non divide $p$ anche se già il fatto di essere entrambi primi lo implicava...
Direi allora che abbiamo 2 p-sottogruppi di Sylow, rispettivamente uno di ordine $p^2$ e l'altro di ordine $p^2$ (e quì mi sa che ho detto una cavolata ) e per la prima regola che mi hai gentilmente citato, risultano essere entrambi abeliani....

Fin quì è giusto?

[Lorin1]

Allora si per il primo teorema di Sylow possiamo sicuramente dire che abbiamo:

p-sottogruppo di Sylow di ordine $p^2$
q-sottogruppo di Sylow di ordine $q^2$

per la proprietà che prima ti ho riportato possiamo dire che entrambi sono abeliani. Andiamo a ragionare sul loro numero; per il terzo teorema di Sylow abbiamo:

$np=1(modp) =>np=1+kp$

$nq=1(modq) => nq=1+kq$

prova a ragionare anche su questo, anche perchè non sono sicuro che se un gruppo G ha sottogruppi abeliani è abeliano

[mistake89]

Salvo sostituire il secondo $p^2$ con $q^2$ è giusto.
Abbiamo che i suoi sylow sono entrambi abeliani. Hanno anche intersezione banale. Se riuscissi a provare che sono entrambi normali ci sarebbe isomorfismo e quindi l'abelianità.

Proverò a pensarci anche io questa sera!

[mistake89]

"Lorin": non sono sicuro che se un gruppo G ha sottogruppi abeliani è abeliano

No infatti, prendi il gruppo dei quaternioni!

[Lorin1]

Giusto...grazie per avermelo ricordato!
Si, beh se si riuscisse a dimostrare che $np=1,nq=1$ potremmo utilizzare il prodotto diretto e magari mostrare la tesi.

[Samy211]

"Lorin":
per la proprietà che prima ti ho riportato possiamo dire che entrambi sono abeliani. Andiamo a ragionare sul loro numero; per il terzo teorema di Sylow abbiamo:

$np=1(modp) =>np=1+kp$

$nq=1(modq) => nq=1+kq$

I divisori che danno resto 1 possono essere $1$ oppure $q$ o $q^2$ e sapendo che $q$ e $p$ sono primi il loro divisore è $1$...

E' possibile?

[mistake89]

Non proprio. I divisori sono quelli citati ma non è detto che non siano congrui ad $1$ mod $p$.

Prendi $2^2$ e $3^2$ ad esempio. Ovviamente i divisori di $3^2$ saranno solo $1,3,9$ ma $3 \equiv 1 mod 2$...

[Samy211]

Vero... Il fatto però che sia stato detto che $q^2 != 1$ in $ZZ_p$ non esclude $q^2$?

[mistake89]

Sì

[Samy211]

Wow almeno 1 cosa "giusta" l'ho detta

Quindi i divisori che danno resto nullo potrebbero essere $1$ e $q$ per quanto riguarda $p$ mentre per $q$, non avendo niente specificato, potrebbero essere $1, p, p^2$....Giusto?

[Steven11]

Vediamo se vi convince questa soluzione, ci pensavo proprio oggi.

[tex]$|G|=p^2q^2$[/tex]
Vediamo i Sylow:

i p-sylow saranno in numero [tex]$n$[/tex] tale che [tex]$n\equiv1\mod p$[/tex] e [tex]$n|q^2$[/tex].
Quindi [tex]$n=1,q,q^2$[/tex] ma l'ipotesi
[tex]$q^2\not\equiv1\mod p$[/tex] esclude gli ultimi due casi. $q^2$ è escluso banalmente, [tex]$q$[/tex] pure perché se fosse
[tex]$q\equiv1\mod p$[/tex] allora quadrando otterrei [tex]$q^2\equiv1\mod p$[/tex] contro l'ipotesi.

Quindi ho un solo [tex]$p$[/tex] sylow.

I q-sylow saranno in numero, sempre applicando il teorema di Sylow,[tex]$m=1,p,p^2$[/tex] con [tex]$m\equiv1\mod q$[/tex]

Ma se fosse [tex]$m=p$[/tex] avrei [tex]$p\equiv 1\mod q$[/tex], assurdo perché [tex]$p [tex]$p-1$[/tex] è ancora minore di $q$ quindi non è certamente suo multiplo.

Analogamente se fosse [tex]$m=p^2\equiv 1\mod q$[/tex] avrei [tex]$(p-1)(p+1)\equiv 0 \mod q$[/tex] cioè $q$ divide [tex]$(p-1)(p+1)$[/tex] ed essendo primo deve dividere almeno uno dei due fattori, cosa impossibile:
per quanto detto prima [tex]$q$[/tex] non divide [tex]$p-1$[/tex], ma nemmeno [tex]$p+1$[/tex], che è sempre minore di [tex]$q$[/tex] (due numeri primi, salvo 2 e 3, non sono consecutivi).

Quindi i $q$ e $p$ sylow sono normali (perchè unici nel loro ordine), hanno facilmente intersezione banale, e allora il loro prodotto diretto è isomorfo al gruppo.
[tex]$G\cong H_p\times H_q$[/tex] ma d'altra parte [tex]$H_q$[/tex] e [tex]$H_p$[/tex] essendo di ordine il quadrato di un primo, sono abeliani (fatto noto).
E il prodotto diretto di due abeliani è ancora abeliano, da cui l'asserto.

Spero fili tutto, una controllatina da qualcuno mi farebbe piacere.

[Steven11]

ps: anche [tex]$S_3$[/tex], più noto dei quaternioni magari (citato da mistake) ha tutti i sottogruppi propri abeliani, essendo essi di ordine 2 e 3, ma non è certo abeliano.

[Samy211]

Wow, grazie mille Steven Non penso riuscirò mai a fare un pensiero del genere

Me lo rileggo per bene e nel caso qualche parte non mi è chiara ti chiedo... Ancora grazie!!

[Samy211]

Scusate la domanda che per voi sarà banale, però a me crea un pò di confusione ... Il mio professore illustra un esempio simile nelle sue dispense e dimostra che dati 2 sottogruppi di Sylow, un gruppo è abeliano. Per farlo introduce un lemma, esattamente questo

Se H e K sono due sottogruppi normali di un gruppo G tali che $H nn K = {e} $, allora gli elementi di H commutano con quelli di K.

che dopo definisce somma diretta interna. Voi quì citate il prodotto diretto che comunque è isomorfo alla somma diretta e quindi tecnicamente non cambia nulla... La differenza tra i 2 è solo che il secondo si riferisce a dei gruppi e il primo a dei sottogruppi normali?

[dissonance]

Intervengo così, al volo, perché non penso ci sia nessun altro. Spero di non creare confusione. In genere parlando di gruppi "somma" e "prodotto" sono maniere rapide di indicare la legge di composizione interna, suggerendo nel primo caso che questa è commutativa. Sono quindi sinonimi, con sfumature diverse di significato: così "somma diretta" e "prodotto diretto" sono la stessa cosa, ma nel primo caso si intende che l'operazione è commutativa.

[Samy211]

Grazie dissonance per il chiarimento..Mi era tutto poco chiaro perchè c'era differenza tra 2 libri del professore e un manuale...


Grazie a tutti comunque per le risposte, siete gentilissimi

[Lorin1]

I miei complimenti al ragionamento di Steven, anche io ero sulla stessa strada ma non riuscivo a proseguire perchè non sfruttavo il fatto che $p

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