Provare che un gruppo è abeliano
Ciao ragazzi...
Non so perchè ma non ho un grande feeling con i gruppi ( W la sincerità
) anche se gli argomenti in teoria mi piacciono...I dolori sorgono nel momento in cui si passa alla pratica...Sicuramente manco di qualcosa però appena apro l'eserciziario mi viene quasi una crisi 
In ogni caso ho preso coraggio ( ) e ho preso un esercizio di un vecchio esame dato dal mio professore e volevo risolverlo...Almeno la volontà c'è 
Una voce del problema è il seguente
Sia $G$ un gruppo di ordine $p^2q^2$, con $p
Ora, notando che l'ordine di $G$ è dato dalla potenza di 2 numeri primi mi viene da pensare che $G$ è un p-gruppo e per la seconda proprietà di questi gruppi, risulta essere abeliano....
Il ragionamento è corretto?
Grazie in anticipo.
Non so perchè ma non ho un grande feeling con i gruppi ( W la sincerità
) anche se gli argomenti in teoria mi piacciono...I dolori sorgono nel momento in cui si passa alla pratica...Sicuramente manco di qualcosa però appena apro l'eserciziario mi viene quasi una crisi In ogni caso ho preso coraggio (
) e ho preso un esercizio di un vecchio esame dato dal mio professore e volevo risolverlo...Almeno la volontà c'è Una voce del problema è il seguente
Sia $G$ un gruppo di ordine $p^2q^2$, con $p
Ora, notando che l'ordine di $G$ è dato dalla potenza di 2 numeri primi mi viene da pensare che $G$ è un p-gruppo e per la seconda proprietà di questi gruppi, risulta essere abeliano....
Il ragionamento è corretto?
Grazie in anticipo.
Risposte
Ragazzi sto provando a risolvere questo esercizio....
Sia $G$ un gruppo di ordine $2q^2$, con $q != 2$ primo, che possiede un solo elemento di ordine $2$. Provare che G è abeliano
Vi scrivo il ragionamento che faccio così mi dite le parti buie se potete
Come prima cosa noto che l'ordine del gruppo è dato dalla potenza di un primo moltiplicato per $2$ e pertanto posso dire che esiste un q-sottogruppo di Sylow che risulta essere abeliano dato che ha ordine $q^2$.
Ora dovrei cercare il numero di q-sottogruppi e per farlo devo considerare che questo deve dividere $2q^2$ e che deve essere $n-=1$ $mod p$. (con n indico il numero di q-sottogruppi di Sylow). In virtù di questo allora i divisori dell'ordine di $G$ possono essere $1,2,q,q^2$... Mi verrebbe da escludere $q$ perchè dice essere $q != 2$ anche se non so se è giusto...
Fin quì il ragionamento è corretto?
Grazie a tutti per la pazienza
Sia $G$ un gruppo di ordine $2q^2$, con $q != 2$ primo, che possiede un solo elemento di ordine $2$. Provare che G è abeliano
Vi scrivo il ragionamento che faccio così mi dite le parti buie se potete
Come prima cosa noto che l'ordine del gruppo è dato dalla potenza di un primo moltiplicato per $2$ e pertanto posso dire che esiste un q-sottogruppo di Sylow che risulta essere abeliano dato che ha ordine $q^2$.
Ora dovrei cercare il numero di q-sottogruppi e per farlo devo considerare che questo deve dividere $2q^2$ e che deve essere $n-=1$ $mod p$. (con n indico il numero di q-sottogruppi di Sylow). In virtù di questo allora i divisori dell'ordine di $G$ possono essere $1,2,q,q^2$... Mi verrebbe da escludere $q$ perchè dice essere $q != 2$ anche se non so se è giusto...
Fin quì il ragionamento è corretto?
Grazie a tutti per la pazienza
No in realtà dal terzo teorema di Sylow sappiamo che: $nq≡1(modq) , (nq,q)=1 => nq|2 = nq =1,2$
ma se $nq=2 =>2≡1(modq) => q|2-1 => q|1 => q=1$ (assurdo) quindi $nq=1$
io partirei da questo...
ma se $nq=2 =>2≡1(modq) => q|2-1 => q|1 => q=1$ (assurdo) quindi $nq=1$
io partirei da questo...
Suppongo tu stia cercando di mostrare che il q-sylow è unico per dedurne la normalità.
Ma la normalità che l'hai subito, perché il q-sylow ha ordine la metà degli elementi del gruppo.
In generale vale che se un sottogruppo ha ordine la metà degli elementi del gruppo, allora è normale.
Quindi, il sottogruppo di due elementi è unico (c'è un solo elemento di ordine 2) quindi normale, il sottogruppo di [tex]$q^2$[/tex] elementi è normale.
L'intersezione è vuota, entrambi i sottogruppi sono abeliani (perché...?) e concludi.
Una nota generale: tu puoi escludere subito [tex]$q$[/tex] e [tex]$q^2$[/tex].
Tu sai che [tex]$n$[/tex] non divide [tex]$q$[/tex] (il resto nella divisione è 1), e quindi nemmeno [tex]$q^2$[/tex], quindi la condizione [tex]$n$[/tex] divide [tex]$2q^2$[/tex] equivale a dire che
[tex]$n$[/tex] divide [tex]$2$[/tex].
Quindi già con questo ti riduci a [tex]$n=1,2$[/tex].
Ma $2$ lo escludi subito perché non è vero che [tex]$2\equiv1\mod q$[/tex]
EDIT: è quello che ti ha detto Lorin di sopra.
Anche con questo modo, senza sfruttare il teorema sull'ordine che è la metà di quello del gruppo, arrivi.
Ultima cosa, che ti permetteva di concludere subito: se hai un gruppo [tex]$G$[/tex] di ordine [tex]$2d$[/tex] con $d$ dispari, allora il gruppo contiene un sottogruppo (che è normale) di ordine [tex]$d$[/tex].
In questo caso potevi applicarlo subito con [tex]$d=q^2$[/tex]
Ti torna tutto? Ciao.
Ma la normalità che l'hai subito, perché il q-sylow ha ordine la metà degli elementi del gruppo.
In generale vale che se un sottogruppo ha ordine la metà degli elementi del gruppo, allora è normale.
Quindi, il sottogruppo di due elementi è unico (c'è un solo elemento di ordine 2) quindi normale, il sottogruppo di [tex]$q^2$[/tex] elementi è normale.
L'intersezione è vuota, entrambi i sottogruppi sono abeliani (perché...?) e concludi.
Ora dovrei cercare il numero di q-sottogruppi e per farlo devo considerare che questo deve dividere $2q^2$ e che deve essere $n-=1$ $mod p$. (con n indico il numero di q-sottogruppi di Sylow). In virtù di questo allora i divisori dell'ordine di $G$ possono essere $1,2,q,q^2$... Mi verrebbe da escludere $q$ perchè dice essere $q != 2$ anche se non so se è giusto...
Una nota generale: tu puoi escludere subito [tex]$q$[/tex] e [tex]$q^2$[/tex].
Tu sai che [tex]$n$[/tex] non divide [tex]$q$[/tex] (il resto nella divisione è 1), e quindi nemmeno [tex]$q^2$[/tex], quindi la condizione [tex]$n$[/tex] divide [tex]$2q^2$[/tex] equivale a dire che
[tex]$n$[/tex] divide [tex]$2$[/tex].
Quindi già con questo ti riduci a [tex]$n=1,2$[/tex].
Ma $2$ lo escludi subito perché non è vero che [tex]$2\equiv1\mod q$[/tex]
EDIT: è quello che ti ha detto Lorin di sopra.
Anche con questo modo, senza sfruttare il teorema sull'ordine che è la metà di quello del gruppo, arrivi.
Ultima cosa, che ti permetteva di concludere subito: se hai un gruppo [tex]$G$[/tex] di ordine [tex]$2d$[/tex] con $d$ dispari, allora il gruppo contiene un sottogruppo (che è normale) di ordine [tex]$d$[/tex].
In questo caso potevi applicarlo subito con [tex]$d=q^2$[/tex]
Ti torna tutto? Ciao.
Stavo riflettendo su una cosa: Dire che $q!=2$ ci basta per affermare che q è dispari?!
In generale no, ma siccome $q$ è primo, allora se un primo non è $2$ è dispari...
ah già...thanx...
Grazie a entrambi... La parte nella quale cerchiamo di capire quanti sottogruppi di Sylow abbiamo mi è adesso chiara.
Ehm..Mi è chiaro che abbiamo un q sottogruppo di Sylow che avendo ordine dato dal quadrato di un primo, risulta essere abeliano (2° proprietà dei p-gruppi), l'altro invece sarebbe il sottogruppo di ordine 2?
Comunque, alla fine ritorniamo alle ipotesi dell'esercizio risolto precedentemente e quindi possiamo dire che il prodotto interno di questi sottogruppi è isomorfo al gruppo $G$ e quindi risulta anch'esso abeliano...
Ehm..Mi è chiaro che abbiamo un q sottogruppo di Sylow che avendo ordine dato dal quadrato di un primo, risulta essere abeliano (2° proprietà dei p-gruppi), l'altro invece sarebbe il sottogruppo di ordine 2?
Comunque, alla fine ritorniamo alle ipotesi dell'esercizio risolto precedentemente e quindi possiamo dire che il prodotto interno di questi sottogruppi è isomorfo al gruppo $G$ e quindi risulta anch'esso abeliano...
"Samy21":
Ehm..Mi è chiaro che abbiamo un q sottogruppo di Sylow che avendo ordine dato dal quadrato di un primo, risulta essere abeliano (2° proprietà dei p-gruppi), l'altro invece sarebbe il sottogruppo di ordine 2?
Esatto. Puoi applicare ad esempio il th. di Cauchy (qui basterebbe anche solo Sylow). Se hai un primo $p$ che divide l'ordine di $G$ allora esiste un elemento (e quindi un sottogruppo) di ordine $p$. Inoltre è ciclico, quindi se ne esistessero più di uno, dovrebbero avere intersezione vuota tra loro (altrimenti coinciderebbero!) quindi, dal fatto che esiste un solo elemento di ordine $2$, puoi dedurre che esso è unico, quindi normale.
E quindi come facciamo a dire che questo è pure abeliano?
Beh un gruppo di ordine $p$ è più che abeliano, è ciclico.
Vero!! Essendo ciclico è chiaramente abeliano....
"mistake89":
Se hai un primo $p$ che divide l'ordine di $G$ allora esiste un elemento (e quindi un sottogruppo) di ordine $p$. Inoltre è ciclico, quindi se ne esistessero più di uno, dovrebbero avere intersezione vuota tra loro (altrimenti coinciderebbero!)
Diciamo banale (si intersecano nell'elemento neutro), non vuota.
Samy, che un gruppo di ordine due sia abeliano puoi vederlo anche senza conoscere i gruppi ciclici, perché è elementare.
Devi solo controllare che $1*a=a*1$, visto che hai solo questi 2 elementi, e la cosa è banalmente vera.
"Steven":
Samy, che un gruppo di ordine due sia abeliano puoi vederlo anche senza conoscere i gruppi ciclici, perché è elementare.
Devi solo controllare che $1*a=a*1$, visto che hai solo questi 2 elementi, e la cosa è banalmente vera.
Lo pensavo anche io però non essendone sicura volevo evitare di fare un'altra gaffe
Comunque ora, avendo visto che i 2 sottogruppi sono entrambi normali e abeliani e che la loro intersezione dà come risultato l'elemento neutro, per dimostrare che $G$ è abeliano posso dire che il prodotto interno di questi sottogruppi è abeliano ed è isomorfo a $G$....Giusto?
Sì, si conclude così.
Grazie mille!!
Hai ragione Steven... grazie della correzione!
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