Proprietà di archimede in Q

[DR1]

\(\forall\)$a , b in QQ$ _____$ EE n in NN : na >= b$ con $a > 0 $
nella dimostrazione (caso $b>a$) del mio testo $ a=p/q$, $b=r/s$ $, n = qr +1 $
perchè $ n = qr +1 $ ?

[Kashaman]

Che ne dici di un ragionamento per assurdo?
Supponiamo per assurdo che $AA n \in NN : na0$(1)
Dalla (1) si ha che è equivalente a $n<(b/a)$, $AA n \in NN$. (3). Poiché vale (3) si ha che $b/a$ è un maggiorante per $NN$. Cioè $NN$ limitato superiormente, assurdo!

[DR1]

Grazie, ma la dimostrazione che intendevo non usa ne il metodo per assurdo, ne per induzione.

[Kashaman]

Se non posti la dimostrazione , non vedo come ti si possa aiutare.

[DR1]

La dimostrazione è questa:
con $p , q, r, s > 0$
$n a = p r + a >= r + a >= r/s + a = b + a > b $

[Kashaman]

Chi sono $p,q,r,s$? possibile che il testo non lo dice?

[DR1]

"Kashaman":Chi sono \( p,q,r,s \)? possibile che il testo non lo dice?

"DR1":\( a > 0 \) nella dimostrazione (caso \( b>a \)) del mio testo \( a=p/q \), \( b=r/s \)

\( a=p/q \), \( b=r/s \)

[DR1]

\( \forall a , b \in Q \\ \exists n \in N : na >= b \) con \( \ a > 0 \)

Dimostrazione:
se \( b \leq a \) basta prendere \( n = 1 \)
se \( b > a \) posto

\( a= \frac{p}{q}, \ b= \frac {r}{s} \ , n = \frac {q}{r} +1 \)
\(p \ , q \ , r \ , s \ > 0 \)
\(p \ , q \ , r \ , s \ \in N \)

risulta

\( na = pr + a \geq r + a \geq \frac {r}{s} + a = b +a > b \) come si voleva.

La mia domanda è questa : perché si pone \(n = \frac {q}{r} +1 \)