Proprietà della relazione vuota

[Aelle1994]

Salve, ho un problema con un esercizio sulle relazioni. Mi viene chiesto di discutere delle proprietà della relazione vuota in un insieme S non necessariamente vuoto.
Per un insieme non vuoto sono riuscito ad arrivare alla conclusione che la relazione vuota è antiriflessiva perché nessun elemento è in relazione con sé stesso; purtroppo non riesco a capire perché la relazione vuota è simmetrica e transitiva nell'insieme non vuoto.
Per quanto riguarda un insieme vuoto non riesco a capire perché la relazione vuota sia riflessiva, antiriflessiva, simmetrica e transitiva.
Le proprietà della relazione vuota in entrambi i casi mi vengono date dalla soluzione dell'esercizio proposto.
Vi ringrazio per l'attenzione.
Saluti

[gugo82]

Scrivi le definizioni e ricorda che ex falso quodlibet.

[Aelle1994]

Salve, grazie per la risposta. Se ho capito cosa intendi in un insieme non vuoto la relazione vuota è simmetrica seguendo questa logica:

A in relazione con A ∧ A non in relazione con A → A è in relazione con B

Questo per tutti gli elementi dell'insieme non vuoto.
La stessa logica può essere applicata per dimostrare che in un insieme non vuoto che contiene gli elementi A,B,C la relazione vuota è transitiva.

Invece, per l'insieme vuoto , scusa la mia ignoranza, non riesco a capire la logica dell' ex falso quodlibet. Potresti farmi qualche esempio.

Ti ringrazio

[gugo82]

Per esempio, una relazione $mathcal(R)$ in un insieme $S$ è riflessiva se:

$s in S => s mathcal(R) s $ (ossia $(s,s) in mathcal(R)$).

Se $S=emptyset$ la premessa è falsa, dunque...

[Aelle1994]

Ti ringrazio per le risposte mi hai fatto arrivare al ragionamento.
Saluti