Prodotto di Eulero e numeri primi
Apro un nuovo argomento per sottoporre agli utenti del forum questo mio lavoro che avevo già mostrato nel post "Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli".
Lì la formulazione era incerta e poco comprensibile anche perché, non avendone ancora preso coscienza, non evidenziavo come, pur con un approccio elementare, la mia teoria trovi riscontro con il prodotto di Eulero e quindi la funzione zeta di Riemann e non fosse strampalata come poteva apparire.
Manipolando la serie armonica Eulero arrivò a dimostrare che $ \zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s = \prod _"p primo" 1/(1-p^-s) $
Osservando la disposizione dei primi in $ N $ ho realizzato che i primi sono, secondo una organizzazione assolutamente coerente e deterministica, una porzione di $ N $ che tende ad essere $ \prod _"p primo" 1-1/p $
Questa conclusione è coerente con il teorema dei numeri primi o almeno a me sembra oltre ogni ragionevole dubbio. Grazie a questo modello mi è stato inoltre possibile determinare che, con il medesimo principio, i primi gemelli tendano ad essere $ 1/2 \prod _"p primo >3" 1-2/p $ di tutti i naturali e questo implicherebbe la congettura dei gemelli.
Trovando difficoltà a far valutare un lavoro di questo tipo dagli specialisti del settore cerco in forum come questo chi possa confutare o confermare la mia teoria e ringrazio chiunque sia interessato a contribuire, anche confutando se trova dei punti deboli, il mio lavoro.
In ogni caso credo possa risultare interessante perché sicuramente mostra, a livello elementare (e questo a mio avviso dovrebbe esser considerato un pregio), qual è l'organizzazione dei numeri naturali che ha "consentito" ad Eulero di legare $ \zeta (s) $ ai numeri primi con il suo prodotto e, forse, cosa ha reso così ostico, almeno a chi lo ha preceduto, ottenere il medesimo risultato usando i semplici numeri naturali: vale a dire il fatto che lo schema che "obbliga" i primi a succedersi così come fanno tende ad essere infinitamente più grande e difficile da osservare e manipolare rispetto ai primi stessi. Per ottenere il suo prodotto Eulero non aveva bisogno di conoscere come i primi sono organizzati. Conoscendo come sono organizzati anche io, che non sono Eulero e non dispongo di conoscenze adeguate, ho potuto trovare un prodotto che semplificato riconduce a quel risultato.
Piergiorgio D'Ercoli
Lì la formulazione era incerta e poco comprensibile anche perché, non avendone ancora preso coscienza, non evidenziavo come, pur con un approccio elementare, la mia teoria trovi riscontro con il prodotto di Eulero e quindi la funzione zeta di Riemann e non fosse strampalata come poteva apparire.
Manipolando la serie armonica Eulero arrivò a dimostrare che $ \zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s = \prod _"p primo" 1/(1-p^-s) $
Osservando la disposizione dei primi in $ N $ ho realizzato che i primi sono, secondo una organizzazione assolutamente coerente e deterministica, una porzione di $ N $ che tende ad essere $ \prod _"p primo" 1-1/p $
Questa conclusione è coerente con il teorema dei numeri primi o almeno a me sembra oltre ogni ragionevole dubbio. Grazie a questo modello mi è stato inoltre possibile determinare che, con il medesimo principio, i primi gemelli tendano ad essere $ 1/2 \prod _"p primo >3" 1-2/p $ di tutti i naturali e questo implicherebbe la congettura dei gemelli.
Trovando difficoltà a far valutare un lavoro di questo tipo dagli specialisti del settore cerco in forum come questo chi possa confutare o confermare la mia teoria e ringrazio chiunque sia interessato a contribuire, anche confutando se trova dei punti deboli, il mio lavoro.
In ogni caso credo possa risultare interessante perché sicuramente mostra, a livello elementare (e questo a mio avviso dovrebbe esser considerato un pregio), qual è l'organizzazione dei numeri naturali che ha "consentito" ad Eulero di legare $ \zeta (s) $ ai numeri primi con il suo prodotto e, forse, cosa ha reso così ostico, almeno a chi lo ha preceduto, ottenere il medesimo risultato usando i semplici numeri naturali: vale a dire il fatto che lo schema che "obbliga" i primi a succedersi così come fanno tende ad essere infinitamente più grande e difficile da osservare e manipolare rispetto ai primi stessi. Per ottenere il suo prodotto Eulero non aveva bisogno di conoscere come i primi sono organizzati. Conoscendo come sono organizzati anche io, che non sono Eulero e non dispongo di conoscenze adeguate, ho potuto trovare un prodotto che semplificato riconduce a quel risultato.
Piergiorgio D'Ercoli
Risposte
I moduli dei primi $ MP_k $ - La seguente procedura descrive la logica alla base della successione dei numeri primi. Preso un intervallo lungo 2 unità si annulla la posizione pari. Replicando l’intervallo all’infinito, i multipli del 2 cadranno tutti in corrispondenza della posizione annullata e naturalmente $ 1/2 $ di $ N $ non è divisibile per 2.
I successivi primi saranno dispari e non esiste altra sequenza di primi contigui oltre il caso 2 e 3. Chiamo questo “Modulo dei Primi di 2” abbreviato $ MP_2 $ e in generale $ MP_k $ tutti i moduli così ottenuti, dove $ k $ assume i valori di $ 2; 3 $ e ciascun $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ per ogni intero $ n>0 $. Replico $ MP_2 $ per il successivo $ k=3 $. Eliminando il 3 avrò formato $ MP_3 $
Posso verificare che $ 2/6 $ di $ N $ non è divisibile né per 2 né per 3. In futuro qualsiasi altro primo potrà comparire solo con $ p mod 6=5 $ oppure con $ p mod 6=1 $. Una tripletta di primi distanti 2 come $ [3; 5; 7] $ non può più ripresentarsi a causa del 3 e dei suoi multipli. C’è spazio per eventuali coppie di primi gemelli solo se in forma $ [6n-1;6n+1] $. Replico $ MP_3 $ per il successivo $ k=5 $
Eliminando il 5 e tutti i suoi multipli il successivo modulo $ MP_5 $ sarà
I valori fin qui ottenuti coincidono con quelli del reciproco del prodotto di Eulero
$ (1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)=8/30 $
Il processo di moltiplicazione e sottrazione è simile ma eseguito direttamente sugli interi positivi e per essere coerente deve ripetersi per tutti i valori $ 6n-1;6n+1 $ sia primi che composti. Quando $ k $ è composto il modulo $ MP_k $ si formerà moltiplicando il precedente senza sottrarre nulla. Il risultato è generalizzabile con il seguente prodotto
$ (1-1/2)(1-1/3) \prod_{n=1}^N ((6n-1-x)/(6n-1))((6n+1-x)/(6n+1)) $
La variabile $ x $ assume i valori:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto,
- $ x=1 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo.
Semplificando tutti i fattori composti si ha la conferma dell’equivalenza con
$ \prod_{"p primo"} 1-1/p $
Se non si considera l’ultima posizione ogni $ MP_k $ è palindromo. Con un qualsiasi $ MP_k $ è possibile costruire un “orologio” che fornisce un elementare strumento per la ricerca di nuovi primi. Di seguito le rappresentazioni “ad orologio” di $ MP_5 $ ed $ MP_7 $
Rappresentazione grafica di $ MP_5 $ . In verde evidenziate le posizioni da annullare corrispondenti a multipli del 5 che non hanno fra i loro fattori né 2 né 3, già annullate da $ MP_2 $ e da $ MP_3 $
Rappresentazione grafica di $ MP_7 $ . In verde evidenziate le posizioni da annullare corrispondenti ai composti del 7 che non hanno fra i loro possibili fattori 2, 3 e 5
Tutti i primi maggiori di un qualsiasi valore $ k $, se divisi per la lunghezza del modulo $ MP_k $, hanno come possibile resto esclusivamente un valore non annullato di quel modulo. Inoltre in ogni $ MP_k $ i valori nell’intervallo fra $ k $ e $ k^2 $, se non sono annullati, sono numeri primi. Ogni $ MP_k $ è quindi definito fino a $ k^2 $. Per $ MP_2 $ ed $ MP_3 $ la parte definita è superiore alla lunghezza dei rispettivi moduli, da $ MP_5 $ in poi ne diventa via via una porzione infinitesima. Si rivela così la logica con cui i primi con i loro multipli “occupano” $ N $ lasciando spazio ai primi successivi e ai loro multipli e cosa determini l’apparente irregolarità degli intervalli fra primi.
Si osserva che in $ MP_5 $ possono iniziare una sequenza di primi gemelli 3 posizioni su 30. In $ MP_7 $ sono 15 su 210 e così via. Anche per queste sequenze il risultato è generalizzabile
$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{n=1}^N((6n-1-x)/(6n-1))((6n+1-x)/(6n+1)) $
La variabile $ x $ in questo caso assume i valori:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto,
- $ x=2 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo.
Si può dimostrare che questo è vero osservando che nella produttoria ci sono termini fattorizzabili esclusivamente con altri primi $ p>3 $. Ne consegue che tutti i fattori $ 6n±1 $ composti si riconducono alle quattro equazioni diofantee $ ∀ a,b>0 $
- $ 6n-1=(6a-1)(6b+1) $
- $ 6n-1=(6a+1)(6b-1) $
- $ 6n+1=(6a-1)(6b-1) $
- $ 6n+1=(6a+1)(6b+1) $
Se ne ricava che:
- se $ n=6ab+a-b $ allora $ 6n-1 $ è multiplo di $ 6a-1 $
- se $ n=6ab-a+b $ allora $ 6n-1 $ è multiplo di $ 6a+1 $
- se $ n=6ab-a-b $ allora $ 6n+1 $ è multiplo di $ 6a-1 $
- se $ n=6ab+a+b $ allora $ 6n+1 $ è multiplo di $ 6a+1 $
Se $ n $ non può ricondursi a nessuno dei casi sopra allora $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ sono primi. I valori $ n $ relativi ai $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ multipli di un $ 6a±1 $ hanno congruenza $ -a;+a $ rispetto al modulo del rispettivo $ 6a±1 $:
- $ 6ab-a-b mod 6a-1=-a $
- $ 6ab+a-b mod 6a-1=+a $
- $ 6ab-a+b mod 6a+1=-a $
- $ 6ab+a+b mod 6a+1=+a $
Ne consegue che in un qualsiasi intervallo lungo $ 6a-1 $:
- esiste un solo valore $ n $ tale che $ 6n-1 $ sia multiplo di $ 6a-1 $
- esiste un solo valore $ n $ tale che $ 6n+1 $ sia multiplo di $ 6a-1 $
- la differenza fra questi due valori è $ 2a $ oppure, naturalmente, $ 4a-1 $
Analogamente avviene per qualunque $ 6a+1 $ quindi:
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n-1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n+1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 2/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ sono tali che nella coppia $ [6n-1;6n+1] $ ci sia un multiplo di $ 6a±1 $
Si dimostra quindi per induzione che $ \prod_{a=1}^N((6a-1-x)/(6a-1))((6a+1-x)/(6a+1)) $ è vera anche per le coppie candidate ad essere primi gemelli (fuori dalla produttoria, per $ MP_2 $ ed $ MP_3 $ , è evidente).
Al primo passo si ha
$ (5-2)/5 $
Al passo successivo il valore precedente sarà replicato 7 volte sopra e sotto quindi
$ ((5-2)*7)/(5*7) $
Sottraendo i valori relativi ai multipli del 7 eccetto quelli comuni anche al 5 si ha
$ ((5-2)*7)/(5*7)-2/7*((5-2)*7)/(5*7) $
Che può essere semplificato
$ ((5-2)*7)/(5*7)-(2*(5-2))/(5*7)⇒((5-2)*(7-2))/(5*7) $
equivalente a
$ (1-2/5)(1-2/7) $
Continuando a moltiplicare numeratore e denominatore per i successivi $ 6a±1 $, a sottrarre $ 2/( 6a±1) $ della parte precedente, e introducendo la variabile $ x $ per discriminare il comportamento fra primi e composti, la produttoria e la formula generale sono rispettate ad ogni passo, sia per i primi che per i primi gemelli:
$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{a=1}^N(1-x/(6a-1))(1-x/(6a+1)) $
Per i primi gemelli si può riscrivere
$ 1/2 \prod_{"p primo>2"} 1-2/p$
I successivi primi saranno dispari e non esiste altra sequenza di primi contigui oltre il caso 2 e 3. Chiamo questo “Modulo dei Primi di 2” abbreviato $ MP_2 $ e in generale $ MP_k $ tutti i moduli così ottenuti, dove $ k $ assume i valori di $ 2; 3 $ e ciascun $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ per ogni intero $ n>0 $. Replico $ MP_2 $ per il successivo $ k=3 $. Eliminando il 3 avrò formato $ MP_3 $
Posso verificare che $ 2/6 $ di $ N $ non è divisibile né per 2 né per 3. In futuro qualsiasi altro primo potrà comparire solo con $ p mod 6=5 $ oppure con $ p mod 6=1 $. Una tripletta di primi distanti 2 come $ [3; 5; 7] $ non può più ripresentarsi a causa del 3 e dei suoi multipli. C’è spazio per eventuali coppie di primi gemelli solo se in forma $ [6n-1;6n+1] $. Replico $ MP_3 $ per il successivo $ k=5 $
Eliminando il 5 e tutti i suoi multipli il successivo modulo $ MP_5 $ sarà
I valori fin qui ottenuti coincidono con quelli del reciproco del prodotto di Eulero
$ (1-1/2)*(1-1/3)*(1-1/5)=8/30 $
Il processo di moltiplicazione e sottrazione è simile ma eseguito direttamente sugli interi positivi e per essere coerente deve ripetersi per tutti i valori $ 6n-1;6n+1 $ sia primi che composti. Quando $ k $ è composto il modulo $ MP_k $ si formerà moltiplicando il precedente senza sottrarre nulla. Il risultato è generalizzabile con il seguente prodotto
$ (1-1/2)(1-1/3) \prod_{n=1}^N ((6n-1-x)/(6n-1))((6n+1-x)/(6n+1)) $
La variabile $ x $ assume i valori:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto,
- $ x=1 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo.
Semplificando tutti i fattori composti si ha la conferma dell’equivalenza con
$ \prod_{"p primo"} 1-1/p $
Se non si considera l’ultima posizione ogni $ MP_k $ è palindromo. Con un qualsiasi $ MP_k $ è possibile costruire un “orologio” che fornisce un elementare strumento per la ricerca di nuovi primi. Di seguito le rappresentazioni “ad orologio” di $ MP_5 $ ed $ MP_7 $
Rappresentazione grafica di $ MP_5 $ . In verde evidenziate le posizioni da annullare corrispondenti a multipli del 5 che non hanno fra i loro fattori né 2 né 3, già annullate da $ MP_2 $ e da $ MP_3 $
Rappresentazione grafica di $ MP_7 $ . In verde evidenziate le posizioni da annullare corrispondenti ai composti del 7 che non hanno fra i loro possibili fattori 2, 3 e 5
Tutti i primi maggiori di un qualsiasi valore $ k $, se divisi per la lunghezza del modulo $ MP_k $, hanno come possibile resto esclusivamente un valore non annullato di quel modulo. Inoltre in ogni $ MP_k $ i valori nell’intervallo fra $ k $ e $ k^2 $, se non sono annullati, sono numeri primi. Ogni $ MP_k $ è quindi definito fino a $ k^2 $. Per $ MP_2 $ ed $ MP_3 $ la parte definita è superiore alla lunghezza dei rispettivi moduli, da $ MP_5 $ in poi ne diventa via via una porzione infinitesima. Si rivela così la logica con cui i primi con i loro multipli “occupano” $ N $ lasciando spazio ai primi successivi e ai loro multipli e cosa determini l’apparente irregolarità degli intervalli fra primi.
Si osserva che in $ MP_5 $ possono iniziare una sequenza di primi gemelli 3 posizioni su 30. In $ MP_7 $ sono 15 su 210 e così via. Anche per queste sequenze il risultato è generalizzabile
$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{n=1}^N((6n-1-x)/(6n-1))((6n+1-x)/(6n+1)) $
La variabile $ x $ in questo caso assume i valori:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto,
- $ x=2 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo.
Si può dimostrare che questo è vero osservando che nella produttoria ci sono termini fattorizzabili esclusivamente con altri primi $ p>3 $. Ne consegue che tutti i fattori $ 6n±1 $ composti si riconducono alle quattro equazioni diofantee $ ∀ a,b>0 $
- $ 6n-1=(6a-1)(6b+1) $
- $ 6n-1=(6a+1)(6b-1) $
- $ 6n+1=(6a-1)(6b-1) $
- $ 6n+1=(6a+1)(6b+1) $
Se ne ricava che:
- se $ n=6ab+a-b $ allora $ 6n-1 $ è multiplo di $ 6a-1 $
- se $ n=6ab-a+b $ allora $ 6n-1 $ è multiplo di $ 6a+1 $
- se $ n=6ab-a-b $ allora $ 6n+1 $ è multiplo di $ 6a-1 $
- se $ n=6ab+a+b $ allora $ 6n+1 $ è multiplo di $ 6a+1 $
Se $ n $ non può ricondursi a nessuno dei casi sopra allora $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ sono primi. I valori $ n $ relativi ai $ 6n-1 $ e $ 6n+1 $ multipli di un $ 6a±1 $ hanno congruenza $ -a;+a $ rispetto al modulo del rispettivo $ 6a±1 $:
- $ 6ab-a-b mod 6a-1=-a $
- $ 6ab+a-b mod 6a-1=+a $
- $ 6ab-a+b mod 6a+1=-a $
- $ 6ab+a+b mod 6a+1=+a $
Ne consegue che in un qualsiasi intervallo lungo $ 6a-1 $:
- esiste un solo valore $ n $ tale che $ 6n-1 $ sia multiplo di $ 6a-1 $
- esiste un solo valore $ n $ tale che $ 6n+1 $ sia multiplo di $ 6a-1 $
- la differenza fra questi due valori è $ 2a $ oppure, naturalmente, $ 4a-1 $
Analogamente avviene per qualunque $ 6a+1 $ quindi:
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n-1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n+1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 2/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ sono tali che nella coppia $ [6n-1;6n+1] $ ci sia un multiplo di $ 6a±1 $
Si dimostra quindi per induzione che $ \prod_{a=1}^N((6a-1-x)/(6a-1))((6a+1-x)/(6a+1)) $ è vera anche per le coppie candidate ad essere primi gemelli (fuori dalla produttoria, per $ MP_2 $ ed $ MP_3 $ , è evidente).
Al primo passo si ha
$ (5-2)/5 $
Al passo successivo il valore precedente sarà replicato 7 volte sopra e sotto quindi
$ ((5-2)*7)/(5*7) $
Sottraendo i valori relativi ai multipli del 7 eccetto quelli comuni anche al 5 si ha
$ ((5-2)*7)/(5*7)-2/7*((5-2)*7)/(5*7) $
Che può essere semplificato
$ ((5-2)*7)/(5*7)-(2*(5-2))/(5*7)⇒((5-2)*(7-2))/(5*7) $
equivalente a
$ (1-2/5)(1-2/7) $
Continuando a moltiplicare numeratore e denominatore per i successivi $ 6a±1 $, a sottrarre $ 2/( 6a±1) $ della parte precedente, e introducendo la variabile $ x $ per discriminare il comportamento fra primi e composti, la produttoria e la formula generale sono rispettate ad ogni passo, sia per i primi che per i primi gemelli:
$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{a=1}^N(1-x/(6a-1))(1-x/(6a+1)) $
Per i primi gemelli si può riscrivere
$ 1/2 \prod_{"p primo>2"} 1-2/p$
Congettura dei numeri primi gemelli - L’infinità dei numeri primi implica che nell’intervallo da $ k $ a $ k^2 $, porzione definita di ciascun modulo $ MP_k $, troveremo sempre almeno una posizione non annullata, equivalente ad un primo reale. L’esistenza anche di una sola di queste posizioni non annullate in infiniti $ MP_k $ garantisce l’esistenza di infiniti primi e viceversa. Inoltre il teorema dei Numeri Primi implica che il numero di posizioni non annullate in questo intervallo crescerà al crescere di $ k $. Se sono verificate le stesse condizioni per i primi gemelli la congettura è vera. Al contrario dovrà esistere un modulo $ MP_k $ oltre il quale non esisteranno più coppie di primi $ 6n-1; 6n+1
Per creare un $ MP_k $ n-esimo si deve moltiplicare il precedente modulo $ MP_(k_(n-1) ) $ per $ (1-x/k_n ) $ quindi le posizioni annullate dai multipli di $ k_n $ nel modulo $ MP_(k_n ) $ sono al massimo $ x(MP_(k_(n-1))) $. Queste però non possono mai concentrarsi in porzioni specifiche del modulo perché corrispondono allo stesso valore $ k $ e a tutti i valori $ k(6n-1) $ e $ k(6n+1) $ contenuti in $ MP_k $ (quindi minori della lunghezza di $ MP_(k-1) $ per ogni termine $ 6n±1≥k $. Sono quindi sempre ad una certa distanza e distribuite lungo tutto il modulo. Ad esempio in $ MP_7 $ sono annullate le posizioni 7; 49; 77; 91; 119; 133; 161 e 203, vale a dire i multipli del 7 per tutti i valori non annullati nel precedente $ MP_5 $ che sono 1; 7; 11; 13; 17; 19; 23 e 29. Il rapporto fra posizioni annullate per i primi gemelli rispetto alle posizioni annullate per i primi in generale è
$ 2 ( \prod_{"p primo>2"}1-2/p ) / ( \prod_{"p primo>2"}1-1/p ) $
Può essere più chiaro osservare lo sviluppo di questi valori nella tabella che segue
immagine
I multipli di $ k $ contenuti in ogni $ MP_k $ sono l’equivalente della lunghezza del modulo precedente. Di questi quelli che vanno ad annullare posizioni ancora attive per i singoli primi sono pari agli attivi del modulo precedente. Per i primi gemelli invece sono il doppio delle coppie attive. Quindi se in $ MP_5 $ i multipli che, annullando i primi, annullano anche coppie utili per i gemelli sono 2 su 2; in $ MP_7 $ saranno 6 su 8 e così via. I multipli dei primi che occupano posizioni aperte ad ospitare coppie di primi gemelli tendono quindi ad essere una parte infinitesima del totale. Inoltre le posizioni annullate non possono concentrarsi mai nella parte iniziale del modulo perché distribuite con sostanziale uniformità. Se ne conclude che “esistenza” e “quantità” dei primi gemelli, al pari di tutti i primi, sono determinate direttamente ed esclusivamente dalle quantità di candidati presenti nei moduli $ MP_k $ che sono esprimibili con prodotti di termini infiniti e questo implica vera la congettura dei numeri primi gemelli.
Stime di $ π(n) $ e $ π_2 (n) $ ricavabili da $ MP_k $ - Ogni $ MP_k $ è definito fino a $ k^2 $ e, dato che i risultati parziali della produttoria sono anche la densità della parte occupata dai primi $ p≤k $ in $ N $ e che questi combinandosi si distribuiscono con relativa uniformità, si propongono le seguenti approssimazioni per $ π(n) $ e $ π_2 (n) $:
$ π(p^2)~p^2 \prod_{"p primo"}1-1/p $
$ π_2 (p^2)~1/2 p^2 \prod_{"p primo>2"}1-2/p $
Queste stime, pur peggiori di quelle note, confermano che in entrambi i casi la crescita logaritmica, osservabile empiricamente, è garantita all’infinito dalle regole descritte. Questo è vero anche ignorando la distinzione fra primi e composti e sottraendo sempre 1 e 2 a tutti i $ 6n-1; 6n+1 $ per una stima fortemente in difetto. Di seguito si riportano i grafici per le tabelle dei valori per primi e primi gemelli calcolati per ogni $ MP_k $ fino a $ k=17315 $, corrispondenti ai primi e primi gemelli inferiori $ 2,99*10^8 $. Le ordinate rappresentano il numero di primi e primi gemelli, le ascisse l’ennesimo $ MP_k $ calcolato.
Su scala logaritmica è evidente come $ π(n) $ segua l’andamento della stima allontanandosi sempre più dalla stima in difetto.
Di seguito la tabella comparativa dei valori di $ π(n) $, $ n/(ln(n)) $ e le stime con $ MP_k $ per i primi fino a $ 10^18 $ (per la comparazione sono stati presi i moduli con $ k^2 $ prossimo ad $ n $ quindi per valori molto grandi l’approssimazione è insignificante. Es. $ 10^17 $ è $ MP_316227767 $ e $ 10^18 $ è $ MP_1000000001 $)
Con i primi gemelli aumenta la tendenza della stima fatta con $ MP_k $ a restituire valori in eccesso ma anche la tendenza di $ π2(n) $ a divergere dalla stima in difetto
Su scala logaritmica si ha la conferma che $ π2(n) $ è direttamente determinato dal contenuto di $ MP_k $
Tabella e grafico con i valori a confronto di $ π2(n) $, $ n/(ln^2 (n)) $ e le stime con $ MP_k $ fino a $ 10^18 $
Conclusioni - La posizione e le quantità di numeri primi sono determinate da leggi aritmetiche elementari che possono essere descritte con i moduli dei primi $ MP_k $.
L’organizzazione dei primi rivela un sistema totalmente deterministico e l’apparente imprevedibilità dei numeri primi è data dal solo fatto che il loro “ordine” si manifesta su scale via via infinitamente più grandi di quelle in cui compaiono i primi stessi.
Dal presente studio sui moduli dei primi si ricava che:
1) una qualsiasi sequenza di intervalli fra primi che esiste in un $ MP_k $ , se non viene annullata nei successivi moduli, si ripeterà all’infinito.
2) una sequenza di intervalli fra primi che non esiste in un $ MP_k $ non esiste oppure esiste solo un numero finito di volte per primi inferiori a $ k $.
Altre sequenze notevoli oltre i primi gemelli - Si è visto che la densità dei multipli dei $ p>2 $ determina l’esistenza di infiniti primi gemelli. Altro esempio interessante è quello delle sequenze di quadruple di primi. I multipli del 5 ne consentono solo una a partire da $ n mod 30=11 $ . Vengono infatti annullati 4 candidati su 5 che potrebbero iniziare tale serie ed effettivamente i candidati saranno
$ 1/6\prod_{"p primo>3"}1-4/p $
L’intervallo che può contenere questo tipo di sequenza è doppio rispetto a quello per i gemelli aumentando conseguentemente le possibilità che venga annullato ma anche in questo caso il prodotto è infinito: pur se più rari di primi e gemelli, anche le quadruple saranno in numero infinito. Un esempio di produttoria che invece si annulla è quella per una sestupla come 5; 7; 11; 13; 17; 19. In questo caso in $ MP_5 $ i multipli del 5 sono sufficienti ad eliminare qualsiasi candidato utile per iniziare una serie in quel modulo e di conseguenza in tutto $ N $ quindi
$ 1/6\prod_{"p primo>3"}1-5/p $
Con $ p=5 $ posso eliminare da $ N $ tutte le combinazioni possibili e il risultato della produttoria è nullo.
Di seguito alcuni esempi di sequenze particolari che non vengono mai annullate:
- coppia di gemelli fra due primi isolati distanziati di 6 (es. 23; 29; 31; 37)
$ 4/210\prod_{"p primo>7"}1-4/p $
- quadrupla di gemelli fra due primi cugini (es. 7; 11; 13; 17; 19; 23)
$ 1/30\prod_{"p primo>5"}1-6/p $
- piramide 2-4-6-2-6-4-2 (es. 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43)
$ 2/210\prod_{"p primo>7"}1-7/p $
Esistono altre sequenze che aumentano in modo irregolare ma che, per le stesse ragioni descritte, sono indefinite e danno di conseguenza origine ad infiniti primi disposti in quelle stesse sequenze.
Per creare un $ MP_k $ n-esimo si deve moltiplicare il precedente modulo $ MP_(k_(n-1) ) $ per $ (1-x/k_n ) $ quindi le posizioni annullate dai multipli di $ k_n $ nel modulo $ MP_(k_n ) $ sono al massimo $ x(MP_(k_(n-1))) $. Queste però non possono mai concentrarsi in porzioni specifiche del modulo perché corrispondono allo stesso valore $ k $ e a tutti i valori $ k(6n-1) $ e $ k(6n+1) $ contenuti in $ MP_k $ (quindi minori della lunghezza di $ MP_(k-1) $ per ogni termine $ 6n±1≥k $. Sono quindi sempre ad una certa distanza e distribuite lungo tutto il modulo. Ad esempio in $ MP_7 $ sono annullate le posizioni 7; 49; 77; 91; 119; 133; 161 e 203, vale a dire i multipli del 7 per tutti i valori non annullati nel precedente $ MP_5 $ che sono 1; 7; 11; 13; 17; 19; 23 e 29. Il rapporto fra posizioni annullate per i primi gemelli rispetto alle posizioni annullate per i primi in generale è
$ 2 ( \prod_{"p primo>2"}1-2/p ) / ( \prod_{"p primo>2"}1-1/p ) $
Può essere più chiaro osservare lo sviluppo di questi valori nella tabella che segue
immagine
I multipli di $ k $ contenuti in ogni $ MP_k $ sono l’equivalente della lunghezza del modulo precedente. Di questi quelli che vanno ad annullare posizioni ancora attive per i singoli primi sono pari agli attivi del modulo precedente. Per i primi gemelli invece sono il doppio delle coppie attive. Quindi se in $ MP_5 $ i multipli che, annullando i primi, annullano anche coppie utili per i gemelli sono 2 su 2; in $ MP_7 $ saranno 6 su 8 e così via. I multipli dei primi che occupano posizioni aperte ad ospitare coppie di primi gemelli tendono quindi ad essere una parte infinitesima del totale. Inoltre le posizioni annullate non possono concentrarsi mai nella parte iniziale del modulo perché distribuite con sostanziale uniformità. Se ne conclude che “esistenza” e “quantità” dei primi gemelli, al pari di tutti i primi, sono determinate direttamente ed esclusivamente dalle quantità di candidati presenti nei moduli $ MP_k $ che sono esprimibili con prodotti di termini infiniti e questo implica vera la congettura dei numeri primi gemelli.
Stime di $ π(n) $ e $ π_2 (n) $ ricavabili da $ MP_k $ - Ogni $ MP_k $ è definito fino a $ k^2 $ e, dato che i risultati parziali della produttoria sono anche la densità della parte occupata dai primi $ p≤k $ in $ N $ e che questi combinandosi si distribuiscono con relativa uniformità, si propongono le seguenti approssimazioni per $ π(n) $ e $ π_2 (n) $:
$ π(p^2)~p^2 \prod_{"p primo"}1-1/p $
$ π_2 (p^2)~1/2 p^2 \prod_{"p primo>2"}1-2/p $
Queste stime, pur peggiori di quelle note, confermano che in entrambi i casi la crescita logaritmica, osservabile empiricamente, è garantita all’infinito dalle regole descritte. Questo è vero anche ignorando la distinzione fra primi e composti e sottraendo sempre 1 e 2 a tutti i $ 6n-1; 6n+1 $ per una stima fortemente in difetto. Di seguito si riportano i grafici per le tabelle dei valori per primi e primi gemelli calcolati per ogni $ MP_k $ fino a $ k=17315 $, corrispondenti ai primi e primi gemelli inferiori $ 2,99*10^8 $. Le ordinate rappresentano il numero di primi e primi gemelli, le ascisse l’ennesimo $ MP_k $ calcolato.
Su scala logaritmica è evidente come $ π(n) $ segua l’andamento della stima allontanandosi sempre più dalla stima in difetto.
Di seguito la tabella comparativa dei valori di $ π(n) $, $ n/(ln(n)) $ e le stime con $ MP_k $ per i primi fino a $ 10^18 $ (per la comparazione sono stati presi i moduli con $ k^2 $ prossimo ad $ n $ quindi per valori molto grandi l’approssimazione è insignificante. Es. $ 10^17 $ è $ MP_316227767 $ e $ 10^18 $ è $ MP_1000000001 $)
Con i primi gemelli aumenta la tendenza della stima fatta con $ MP_k $ a restituire valori in eccesso ma anche la tendenza di $ π2(n) $ a divergere dalla stima in difetto
Su scala logaritmica si ha la conferma che $ π2(n) $ è direttamente determinato dal contenuto di $ MP_k $
Tabella e grafico con i valori a confronto di $ π2(n) $, $ n/(ln^2 (n)) $ e le stime con $ MP_k $ fino a $ 10^18 $
Conclusioni - La posizione e le quantità di numeri primi sono determinate da leggi aritmetiche elementari che possono essere descritte con i moduli dei primi $ MP_k $.
L’organizzazione dei primi rivela un sistema totalmente deterministico e l’apparente imprevedibilità dei numeri primi è data dal solo fatto che il loro “ordine” si manifesta su scale via via infinitamente più grandi di quelle in cui compaiono i primi stessi.
Dal presente studio sui moduli dei primi si ricava che:
1) una qualsiasi sequenza di intervalli fra primi che esiste in un $ MP_k $ , se non viene annullata nei successivi moduli, si ripeterà all’infinito.
2) una sequenza di intervalli fra primi che non esiste in un $ MP_k $ non esiste oppure esiste solo un numero finito di volte per primi inferiori a $ k $.
Altre sequenze notevoli oltre i primi gemelli - Si è visto che la densità dei multipli dei $ p>2 $ determina l’esistenza di infiniti primi gemelli. Altro esempio interessante è quello delle sequenze di quadruple di primi. I multipli del 5 ne consentono solo una a partire da $ n mod 30=11 $ . Vengono infatti annullati 4 candidati su 5 che potrebbero iniziare tale serie ed effettivamente i candidati saranno
$ 1/6\prod_{"p primo>3"}1-4/p $
L’intervallo che può contenere questo tipo di sequenza è doppio rispetto a quello per i gemelli aumentando conseguentemente le possibilità che venga annullato ma anche in questo caso il prodotto è infinito: pur se più rari di primi e gemelli, anche le quadruple saranno in numero infinito. Un esempio di produttoria che invece si annulla è quella per una sestupla come 5; 7; 11; 13; 17; 19. In questo caso in $ MP_5 $ i multipli del 5 sono sufficienti ad eliminare qualsiasi candidato utile per iniziare una serie in quel modulo e di conseguenza in tutto $ N $ quindi
$ 1/6\prod_{"p primo>3"}1-5/p $
Con $ p=5 $ posso eliminare da $ N $ tutte le combinazioni possibili e il risultato della produttoria è nullo.
Di seguito alcuni esempi di sequenze particolari che non vengono mai annullate:
- coppia di gemelli fra due primi isolati distanziati di 6 (es. 23; 29; 31; 37)
$ 4/210\prod_{"p primo>7"}1-4/p $
- quadrupla di gemelli fra due primi cugini (es. 7; 11; 13; 17; 19; 23)
$ 1/30\prod_{"p primo>5"}1-6/p $
- piramide 2-4-6-2-6-4-2 (es. 17; 19; 23; 29; 31; 37; 41; 43)
$ 2/210\prod_{"p primo>7"}1-7/p $
Esistono altre sequenze che aumentano in modo irregolare ma che, per le stesse ragioni descritte, sono indefinite e danno di conseguenza origine ad infiniti primi disposti in quelle stesse sequenze.
Non ho letto minimamente con attenzione perché ho altro da fare, ma voglio solo farti notare che tutti, o quasi, i prodotti infiniti che hai scritto divergono a \(0 \). Quindi sicuramente le stime per \( \pi \) sono sbagliate.
In primo luogo dovresti definire cosa intendi per
In secondo luogo appunto quando stimi
\[ \pi(p^2) \sim p^2 \prod_{q \text{ prime} } 1 - \frac{1}{q} \]
in particolare stai dicendo che
\[ \pi(p^2) \sim 0 \]
che è assurdo perché è una funzione monotona.
In primo luogo dovresti definire cosa intendi per
i primi sono una prozione di \(N\) che tende ad essereperché non si capisce bene.
In secondo luogo appunto quando stimi
\[ \pi(p^2) \sim p^2 \prod_{q \text{ prime} } 1 - \frac{1}{q} \]
in particolare stai dicendo che
\[ \pi(p^2) \sim 0 \]
che è assurdo perché è una funzione monotona.
"pdercoli":
Grazie a questo modello mi è stato inoltre possibile determinare che, con il medesimo principio, i primi gemelli tendano ad essere $ 1/2 \prod _"p primo >3" 1-2/p $ di tutti i naturali
Questo è tautologicamente vero, stai dicendo che i primi gemelli hanno denistà zero nei naturali. E' ovvio, visto che già i primi hanno densità zero.
"pdercoli":
e questo implicherebbe la congettura dei gemelli.
Neanche per idea. Un insieme di densità zero può essere sia finito che infinito. Tra l'altro ti faccio notare che non puoi neanche sperare di provare che i primi gemelli hanno densità relativa positiva dentro all'insieme dei primi, perchè il teorema di Brun mostra che hanno densità relativa nulla.
"3m0o":
In primo luogo dovresti definire cosa intendi peri primi sono una prozione di \(N\) che tende ad essereperché non si capisce bene.
intendo che lo spazio che tutti i primi $ p $ con i loro multipli lasciano in $ N $ ai primi successivi tende via via a quel rapporto
"3m0o":
In secondo luogo appunto quando stimi
\[ \pi(p^2) \sim p^2 \prod_{q \text{ prime} } 1 - \frac{1}{q} \]
in particolare stai dicendo che
\[ \pi(p^2) \sim 0 \]
che è assurdo perché è una funzione monotona.
io ho scritto
\[ \pi(p^2) \sim p^2 \prod_{p \text{ prime} } 1 - \frac{1}{p} \]
senza usare il termine $ q $ proprio per dire che il numero dei primi (e anche primi gemelli) sono in relazione stretta con i risultati della produttoria calcolati fino a quel determinato $ p $. Mi sembrava chiaro
Ad esempio quanti sono i primi $ < p^2 $ con $ p = 10007 $ e quindi i primi inferiori a 100.140.049?
in base alle mie stime saranno di poco inferiori a $ 100140049 * 0,0608786... = 6096386 $
$pi(10^8)=5761455 $
come scrivo le mie stime tendono ad essere in eccesso e sono peggiori di quelle note. Si possono migliorare empiricamente moltiplicando per circa 0,92 ma le ho lasciate così perché il mio scopo non era quello di migliorare la stima di $pi(n)$ ma di mostrare come il numero dei primi e dei primi gemelli dipendono strettamente dalle quantità reali che trovo nei moduli che chiamo $MP_k$ di cui quei prodotti sono una semplificazione e che mi permettono di estendere la mia formulazione per qualunque valore $ p $. Il prodotto originario non semplificato è dato da
$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{n=1}^N((6n-1-x)/(6n-1))((6n+1-x)/(6n+1)) $
La variabile $ x $ per i primi è:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto,
- $ x=2 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo.
per i primi gemelli è:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto,
- $ x=2 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo.
se trova il tempo per leggere i passaggi che mi portano a questa formulazione forse le risulterà più comprensibile il senso di quelle stime. Grazie per l'attenzione che comunque mi ha prestato
"hydro":
Neanche per idea. Un insieme di densità zero può essere sia finito che infinito. Tra l'altro ti faccio notare che non puoi neanche sperare di provare che i primi gemelli hanno densità relativa positiva dentro all'insieme dei primi, perchè il teorema di Brun mostra che hanno densità relativa nulla.
il rapporto fra i prodotti riferiti a primi e primi gemelli che ho indicato nel mio lavoro è il seguente e tende a 0 in accordo con il teorema di Brun
$ ( 1/2 \prod _"p primo >2" 1-2/p ) / ( \prod _"p primo" 1-1/p ) $
naturalmente i valori vanno riferiti a parità di $p$ quindi con $ p=2 $ vale $1/2$ fuori dalla produttoria quindi $(1/2 * 1/3 * 3/5 * 5/7 ...)/ (1/2 * 2/3 * 4/5 * 6/7 ... )$
dico che $ 1/2 \prod _"p primo >2" 1-2/p $ (nel msg introduttivo c'è un refuso e ho scritto erroneamente p primo >3) implica la congettura dei gemelli perché se il loro numero convergesse ad un valore finito il numeratore non potrebbe divergere. Quindi o è errato il ragionamento che mi ha portato a quel prodotto oppure la mia affermazione, almeno come tesi tutta da dimostrare, ha un qualche senso
"pdercoli":
io ho scritto
\[ \pi(p^2) \sim p^2 \prod_{p \text{ prime} } 1 - \frac{1}{p} \]
senza usare il termine $ q $ proprio per dire che il numero dei primi (e anche primi gemelli) sono in relazione stretta con i risultati della produttoria calcolati fino a quel determinato $ p $. Mi sembrava chiaro
Quello che volevi scrivere si scrive così
\[ \pi(p^2) \sim p^2 \prod_{\substack{q \text{ prime}\\ q \leq p}} 1 - \frac{1}{q} \]
perché scrivere
\[ \prod_{p \text{ prime}} 1 - \frac{1}{p} \]
vuol dire il prodotto su tutti i primi (in questo caso l'indice è muto, vuol dire che non è cambiando nome che cambia il significato del prodotto).
Detto ciò la tua stima rimane errata perché \(f \sim g\) significa che
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)} = 1 \]
ora se fosse corretta avresti
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{ \pi(n^2)}{n^2 \prod_{\substack{p \text{ prime}\\ p \leq n}} (1-1/p)} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 }{2 \ln n \prod_{\substack{p \text{ prime}\\ p \leq n}} (1-1/p)} \]
ma per il teorema di Mertens si ha che
\[\lim_{n \to \infty} \ln n \prod_{\substack{p \text{ prime}\\ p \leq n}} (1-1/p) = e^{- \gamma } \]
dove \( \gamma \) è la costante di Eulero-Mascheroni, pertanto risulta che
hai che
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1 }{2 \ln n \prod_{\substack{p \text{ prime}\\ p \leq n}} (1-1/p)} = \frac{1}{2 e^{-\gamma}} \]
quindi la tua stima è errata comunque. Nel senso che non è come dici te che sono "stime in eccesso o peggiori di quelle note" ma è proprio falso quello che hai scritto.
"pdercoli":
dico che $ 1/2 \prod _"p primo >2" 1-2/p $ (nel msg introduttivo c'è un refuso e ho scritto erroneamente p primo >3) implica la congettura dei gemelli perché se il loro numero convergesse ad un valore finito il numeratore non potrebbe divergere.
Questa frase non ha alcun senso. Intanto sappi che in matematica quando si scrive una somma o un prodotto infinito, si sta implicitamente intendendo il limite della sommatoria o della produttoria. Quindi quando tu scrivi \(1/2\prod_p(1-2/p)\), a tutti gli effetti stai scrivendo $0$. Quindi la tua frase è: "dico che $0$ implica la congettura dei gemelli...". Ti renderai conto anche tu che è una sciocchezza, no? Ma anche se il limite di quel prodotto non fosse $0$ (nota anche che è irrilevante includere $2$ o no, il limite è sempre $0$), cosa vorrebbe dire la tua frase?
"hydro":
[quote="pdercoli"]
dico che $ 1/2 \prod _"p primo >2" 1-2/p $ (nel msg introduttivo c'è un refuso e ho scritto erroneamente p primo >3) implica la congettura dei gemelli perché se il loro numero convergesse ad un valore finito il numeratore non potrebbe divergere.
Questa frase non ha alcun senso. Intanto sappi che in matematica quando si scrive una somma o un prodotto infinito, si sta implicitamente intendendo il limite della sommatoria o della produttoria. Quindi quando tu scrivi \(1/2\prod_p(1-2/p)\), a tutti gli effetti stai scrivendo $0$. Quindi la tua frase è: "dico che $0$ implica la congettura dei gemelli...". Ti renderai conto anche tu che è una sciocchezza, no? Ma anche se il limite di quel prodotto non fosse $0$ (nota anche che è irrilevante includere $2$ o no, il limite è sempre $0$), cosa vorrebbe dire la tua frase?[/quote]
Eulero per dimostrare $ zeta(s) = \prod _"p primo" 1-1/p^-s $ arriva al passaggio $ (\prod _"p primo" 1-1/p^s)zeta(s)=1 $ quindi in base alla tua risposta Eulero ha "a tutti gli effetti" dimostrato che 1=0
Io non uso la serie armonica ma lavoro sempre in $N$ quindi il numeratore rappresenta i valori $n in N$ che non possono essere scritti come $6ab+-a+-b$ per ogni $a,b in N$ rispetto al denominatore che rappresenta l'intero $N$ e di conseguenza sono riferibili a coppie $6n-1;6n+1$ non divisibili per nessun $6a-1$ e $6a+1$. Se i primi gemelli fossero finiti arrivati ad un certo primo $6a-1$ o $6a+1$ il prodotto dovrebbe non tendere a $0$ ma essere esattamente $0$
"3m0o":
Quello che volevi scrivere si scrive così
\[ \pi(p^2) \sim p^2 \prod_{\substack{q \text{ prime}\\ q \leq p}} 1 - \frac{1}{q} \]
Ti ringrazio molto per la correzione. Sulle altre osservazioni ho intuito cosa intendi ma per entrare nel merito devo approfondire perché mi mancano le basi e proverò a farlo con calma.
Il mio ragionamento non usa l'analisi e la funzione zeta ma direttamente i numeri interi. Tutti i primi > 3 hanno le seguenti caratteristiche:
- sono primi tutti i $ 6n-1 $ se $ n=6ab-a+b $ non ha soluzioni intere con $ a,b in Z ne 0 $
- sono primi tutti i $ 6n+1 $ se $ n=6ab+a+b $ non ha soluzioni intere con $ a,b in Z ne 0 $
- consegue che sono gemelli tutti i $ 6n-1;6n+1 $ se $ n=6ab+-a+-b $ non ha soluzioni intere con $ a,b in Z ne 0 $
esempi (nel lavoro si dimostra che è sempre vero):
$n=4217 $ non ha soluzioni quindi $25301;25303$ sono gemelli
$n=4218 $ idem quindi $25307;25309$ sono gemelli
$n=4225 $ $4225=6ab+a+b$ ha soluzione con $a=-42; b=-17$ (e viceversa naturalmente)
se ne deduce da questo che:
- il $6n+1$ della coppia $25349;25351$ non è primo e di conseguenza non sono gemelli
- $25351$ è fattorizzabile infatti con $ (6a+1)(6b+1) $ per i valori dati oppure con $ (6a-1)(6b-1) $ per gli stessi valori con segno opposto. Infatti $(-42*6+1)(-17*6+1)=(42*6-1)(17*6-1)=|251|*|101|=25351$
la congettura dei gemelli equivale a dire che esistono infiniti valori $n$ non in forma $6ab+-a+-b$
mostro come sono organizzate tutte le combinazioni delle soluzioni di $6ab+-a+-b$ e di conseguenza affermo che il seguente prodotto conta quanti valori $n$ sono riferibili a $6n-1$ e/o $6n+1$ che non hanno fra i propri fattori nessun $6a-1$ e $6a+1$ con $a in N ne 0$ e $a<=n$
$ \prod_{a=1}^n((6a-1-x)/(6a-1))((6a+1-x)/(6a+1)) $
La variabile $ x $ assume i valori:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto,
- $ x=1 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo
Per estendere il risultato anche a tutti i multipli di 2 e 3 basta moltiplicare la produttoria per $(1-1/2)*(1-x/3)$
Semplificando per tutti i fattori composti rimangono i prodotti come li ho scritti ma nella formulazione originale si può leggere anche: "in $N$ esistono $(1-1/2)(1-x/3)\prod_{a=1}^n(6a-1-x)(6a+1-x) $ ogni $(1-1/2)(1-x/3)\prod_{a=1}^n(6a-1)(6a+1) $ valori di $n$ per valori $6n-1$ o $6n-1$ non divisibili per nessun primo $p <= 6a+1$. Quindi sono una quantità infinita di numeri interi e non una frazione che tende a valere 0. Di questa quantità quelli che sono inferiori a $(6n+1)^2$ sono con certezza primi e da questo ho formulato quelle che chiamo "stime" fornendo tabelle e grafici e mostrando come tanto i primi che i primi gemelli dipendono strettamente da queste quantità.
Se i gemelli fossero finiti i valori da cui dipendono la loro esistenza dovrebbero rispondere a logiche diverse invece se si vuole contare quanti di questi $n$ formano coppie $6n-1;6n+1$ in cui entrambi non siano multipli di $6a-1;6a+1$ si può usare la stessa formula sopra con $ x=2 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo.
forse impropriamente ho usato \[ \pi(p^2) \sim p^2 \prod_{\substack{q \text{ prime}\\ q \leq p}} 1 - \frac{1}{q} \] intendendola come una "stima". Posso però sicuramente affermare che
$pi((6n+1)^2) > (6n+1)^2 \prod_{a=1}^n((6a-3)/(6a-1))((6a-1)/(6a+1)) $
che è ciò che nel mio lavoro ho chiamato "stima in difetto" ammettendo di non conoscere quali sono i valori $6n-1$ e $6n+1$ primi e calcolando al minimo possibile i valori da cui dipende strettamente l'esistenza tanto dei primi che dei primi gemelli. Tanto $pi(n)$ quanto $pi_2(n)$ confermano di dipendere strettamente dalle quantità previste di valori $n$ che non risolvono $6ab+-a+-b$
Si tratta in ogni caso di conferme. Quei prodotti indicano che tanto i primi che i primi gemelli rispondono alla stessa logica. Se avessi una circonferenza di infiniti punti ognuno in corrispondenza con un un valore $n in N$ ed eliminassi via via tutte le coppie che non possono essere di primi gemelli perché un certo primo $p$ è divisore o di $6n-1$ o di $6n+1$ avrei che il numero di queste coppie non avrebbe mai fine e non potrei di conseguenza "cancellare" completamente la mia circonferenza continuando all'infinito ad affinare il risultato di questo crivello
"pdercoli":
[quote="hydro"][quote="pdercoli"]
dico che $ 1/2 \prod _"p primo >2" 1-2/p $ (nel msg introduttivo c'è un refuso e ho scritto erroneamente p primo >3) implica la congettura dei gemelli perché se il loro numero convergesse ad un valore finito il numeratore non potrebbe divergere.
Questa frase non ha alcun senso. Intanto sappi che in matematica quando si scrive una somma o un prodotto infinito, si sta implicitamente intendendo il limite della sommatoria o della produttoria. Quindi quando tu scrivi \(1/2\prod_p(1-2/p)\), a tutti gli effetti stai scrivendo $0$. Quindi la tua frase è: "dico che $0$ implica la congettura dei gemelli...". Ti renderai conto anche tu che è una sciocchezza, no? Ma anche se il limite di quel prodotto non fosse $0$ (nota anche che è irrilevante includere $2$ o no, il limite è sempre $0$), cosa vorrebbe dire la tua frase?[/quote]
Eulero per dimostrare $ zeta(s) = \prod _"p primo" 1-1/p^-s $ arriva al passaggio $ (\prod _"p primo" 1-1/p^s)zeta(s)=1 $ quindi in base alla tua risposta Eulero ha "a tutti gli effetti" dimostrato che 1=0
[/quote]
Non ci siamo, proprio sul piano logico. Eulero ha dimostrato una formula. Ha detto: ci sono queste due funzioni, una è $\zeta(s)$, l'altra è $\prod _"p primo" 1-1/p^-s $. Vi dimostro che coincidono (nel semipiano di convergenza giusto, tra l'altro). Tu hai scritto testualmente "$ 1/2 \prod _"p primo >2" 1-2/p $ (nel msg introduttivo c'è un refuso e ho scritto erroneamente p primo >3) implica la congettura dei gemelli". Ma $ 1/2 \prod _"p primo >2" 1-2/p $ è un numero, ovvero il numero $0$, non c'è niente da dimostrare.
"pdercoli":
Eulero per dimostrare $ zeta(s) = \prod _"p primo" 1-1/p^-s $ arriva al passaggio $ (\prod _"p primo" 1-1/p^s)zeta(s)=1 $ quindi in base alla tua risposta Eulero ha "a tutti gli effetti" dimostrato che 1=0
In primo luogo il prodotto di Eulero è questo
\[ \zeta(s) =\prod_{p \text{ primo}} \frac{1}{1-p^{-s}} \]
In secondo luogo questo prodotto converge. Non da ultimo la dimostrazione di Eulero è valevole solo con
\[ \Re s > 1 \]
e il prodotto
\[ \prod_{p \text{ primo}} 1- \frac{1}{p^s}\]
converge in questo caso e non va a zero.
ok ma come detto non ho lavorato su $Z(s)$ ma sui numeri naturali e con un ragionamento elementare e ho trovato che:
1) se $n$ non è nella forma $6ab-a+b$ $∀ a;b in Z$ con $a≠0$ e $b≠0$ allora si ha che $6n-1$ è primo
2) se $n$ non è nella forma $6ab-a-b$ $∀ a;b in Z$ con $a≠0$ e $b≠0$ allora si ha che $6n+1$ è primo
3) se $n$ non è nella forma $6ab-a+-b$ $∀ a;b in Z$ con $a≠0$ e $b≠0$ allora si ha che $6n-1;6n+1$ sono entrambi primi
4) il numero di valori $n in N$ che non sono nella forma $6ab-a+-b$ $∀ a;b$ sono quantificabili con il prodotto $ \prod_{a=1}^n(6a-1-x)(6a+1-x) $ con $x=2$ se il $6a+-1$ in parentesi è primo e $x=0$ se composto
se ci sono errori nei passaggi che mi hanno portato a queste conclusioni o se ci sono dimostrazioni che uno dei quattro punti è errato allora il mio lavoro è errato.
1) se $n$ non è nella forma $6ab-a+b$ $∀ a;b in Z$ con $a≠0$ e $b≠0$ allora si ha che $6n-1$ è primo
2) se $n$ non è nella forma $6ab-a-b$ $∀ a;b in Z$ con $a≠0$ e $b≠0$ allora si ha che $6n+1$ è primo
3) se $n$ non è nella forma $6ab-a+-b$ $∀ a;b in Z$ con $a≠0$ e $b≠0$ allora si ha che $6n-1;6n+1$ sono entrambi primi
4) il numero di valori $n in N$ che non sono nella forma $6ab-a+-b$ $∀ a;b$ sono quantificabili con il prodotto $ \prod_{a=1}^n(6a-1-x)(6a+1-x) $ con $x=2$ se il $6a+-1$ in parentesi è primo e $x=0$ se composto
se ci sono errori nei passaggi che mi hanno portato a queste conclusioni o se ci sono dimostrazioni che uno dei quattro punti è errato allora il mio lavoro è errato.
"pdercoli":
1) se $n$ non è nella forma $6ab-a+b$ $∀ a;b in Z$ con $a≠0$ e $b≠0$ allora si ha che $6n-1$ è primo
2) se $n$ non è nella forma $6ab-a-b$ $∀ a;b in Z$ con $a≠0$ e $b≠0$ allora si ha che $6n+1$ è primo
3) se $n$ non è nella forma $6ab-a+-b$ $∀ a;b in Z$ con $a≠0$ e $b≠0$ allora si ha che $6n-1;6n+1$ sono entrambi primi
Sì beh questo è abbastanza ovvio, sono congruenze elementari.
"pdercoli":
4) il numero di valori $n in N$ che non sono nella forma $6ab-a+-b$ $∀ a;b$ sono quantificabili con il prodotto $ \prod_{a=1}^n(6a-1-x)(6a+1-x) $ con $x=2$ se il $6a+-1$ in parentesi è primo e $x=0$ se composto
Questa cosa è incomprensibile, che vuol dire che gli $n$ non di quella forma sono "quantificabili" da un prodotto in cui compare $n$?
Poi un suggerimento spassionato, ma tanto so che cadrà nel vuoto: la matematica si è leggermente evoluta dal crivello di Eratostene in poi, se ti interessa questo genere di argomenti prova a leggerti qualcosa di serio (e moderno) in proposito.
ho fatto copia-incolla da $ pi_2((6n+1)^2) > (6n+1)^2 \prod_{a=1}^n((6a-3)/(6a-1))((6a-1)/(6a+1)) $
e ho modificato dimenticando di sostituire $n$ con $N$
Io vorrei solo comprendere, e lo faccio con molto rispetto di chi ne sa più di me in materia, la ragione per cui si parla ancora di "non conoscenza della logica dei numeri primi", di salti "irregolari" e del perché la congettura dei primi gemelli è ancora una congettura. Se i primi non fossero tutti ed unicamente il 2, il 3 e i 6n-1;6n+1 per quei valori di $n$ definiti da questa regola banale allora non potrei fare affermazioni di alcun tipo non avendo certezza che fra le quantità descritte da quella produttoria e i primi (isolati o a coppie di gemelli) ci sia una relazione stretta. Si dà risalto a studi sulle statistiche di numeri primi che terminano per 1,3, 7, 9 e da come sono seguiti ottenuto da università analizzando grandi quantità di numeri primi e non si può dire che lo schema è dato da quei moduli che ho descritto? Ovvio che se un numero termina per 1 può essere seguito più facilmente da primi che terminano con 3,7 o 9 piuttosto che da un altro 1. Basta guardare come si compongono i moduli che ho descritto per capirlo senza usare una macchina per analizzarlo:
un primo può terminare per 1 solo in due casi:
p mod 30 = 1
p mod 30 = 11
perché ci siano due primi di questo tipo consecutivi non devono essere primi nelle vicinanze quelli congrui 7 e poi 13, 17, 19, 23 e 29.
chiaro che sia più facile trovarne uno in quelle posizioni. Questo è un esempio fra i più elementari di cose che leggo e che francamente trovo incomprensibili. Come può ritenersi significativo un fatto di questo tipo?!
non metto link di articoli perché mi è stato detto di non farlo ma basta googlare "Kannan Soundararajan Robert Lemke Oliver università di Stanford (Usa)"
e ho modificato dimenticando di sostituire $n$ con $N$
"hydro":
Poi un suggerimento spassionato, ma tanto so che cadrà nel vuoto: la matematica si è leggermente evoluta dal crivello di Eratostene in poi, se ti interessa questo genere di argomenti prova a leggerti qualcosa di serio (e moderno) in proposito.
Io vorrei solo comprendere, e lo faccio con molto rispetto di chi ne sa più di me in materia, la ragione per cui si parla ancora di "non conoscenza della logica dei numeri primi", di salti "irregolari" e del perché la congettura dei primi gemelli è ancora una congettura. Se i primi non fossero tutti ed unicamente il 2, il 3 e i 6n-1;6n+1 per quei valori di $n$ definiti da questa regola banale allora non potrei fare affermazioni di alcun tipo non avendo certezza che fra le quantità descritte da quella produttoria e i primi (isolati o a coppie di gemelli) ci sia una relazione stretta. Si dà risalto a studi sulle statistiche di numeri primi che terminano per 1,3, 7, 9 e da come sono seguiti ottenuto da università analizzando grandi quantità di numeri primi e non si può dire che lo schema è dato da quei moduli che ho descritto? Ovvio che se un numero termina per 1 può essere seguito più facilmente da primi che terminano con 3,7 o 9 piuttosto che da un altro 1. Basta guardare come si compongono i moduli che ho descritto per capirlo senza usare una macchina per analizzarlo:
un primo può terminare per 1 solo in due casi:
p mod 30 = 1
p mod 30 = 11
perché ci siano due primi di questo tipo consecutivi non devono essere primi nelle vicinanze quelli congrui 7 e poi 13, 17, 19, 23 e 29.
chiaro che sia più facile trovarne uno in quelle posizioni. Questo è un esempio fra i più elementari di cose che leggo e che francamente trovo incomprensibili. Come può ritenersi significativo un fatto di questo tipo?!
non metto link di articoli perché mi è stato detto di non farlo ma basta googlare "Kannan Soundararajan Robert Lemke Oliver università di Stanford (Usa)"
"pdercoli":
Io vorrei solo comprendere, e lo faccio con molto rispetto di chi ne sa più di me in materia, la ragione per cui si parla ancora di "non conoscenza della logica dei numeri primi", di salti "irregolari" e del perché la congettura dei primi gemelli è ancora una congettura.
E' ancora una congettura perchè nessuno l'ha dimostrata. Però ci sono stati grandi passi avanti di recente; prima del 2013 non si sapeva neanche dimostrare che esistono infinite coppie di primi che distano meno di un intero fissato. Oggi si sa che è vero, quell'intero esiste ed è al più 300, o qualcosa di simile (vedi qui e lavori successivi). Tutte le cose che suonano come "non conoscenza della logica dei numeri primi" lasciale perdere, sono chiacchere e non hanno nulla a che vedere con la matematica.
"pdercoli":
Se i primi non fossero tutti ed unicamente il 2, il 3 e i 6n-1;6n+1 per quei valori di $n$ definiti da questa regola banale allora non potrei fare affermazioni di alcun tipo non avendo certezza che fra le quantità descritte da quella produttoria e i primi (isolati o a coppie di gemelli) ci sia una relazione stretta.
Il fatto che tutti i numeri primi siano della forma $6n\pm 1$ era noto anche ad Euclide. Inferire in modo elementare qualcosa di altamente interessante da questo concetto così banale è quantomeno estremamente improbabile, per non dire impossibile. La matematica non si fa a chiacchere, si fa con teoremi e dimostrazioni.
"pdercoli":
Si dà risalto a studi sulle statistiche di numeri primi che terminano per 1,3, 7, 9 e da come sono seguiti ottenuto da università analizzando grandi quantità di numeri primi e non si può dire che lo schema è dato da quei moduli che ho descritto?
Si può, inoltre lo sanno tutti, e non è molto interessante. Si può anche dire che tutti i primi dispari sono della forma $8n\pm 1$ oppure $8n\pm 3$, e allora?
"pdercoli":
Ovvio che se un numero termina per 1 può essere seguito più facilmente da primi che terminano con 3,7 o 9 piuttosto che da un altro 1. Basta guardare come si compongono i moduli che ho descritto per capirlo senza usare una macchina per analizzarlo:
No, non basta per niente. Questo è il tipico esempio di una cosa che sembra ragionevole, ma come ti dicevo la matematica non è una discussione sopra i massimi sistemi. Chi fa un'affermazione la deve a) formalizzare e b) dimostrare. Dire, come fai tu, che "perché ci siano due primi di questo tipo consecutivi non devono essere primi nelle vicinanze quelli congrui 7 e poi 13, 17, 19, 23 e 29." non è matematica. Devi formalizzare il concetto di "essere più probabile di" (e ti assicuro che non è così semplice) e poi dimostrare le tue affermazioni.
"pdercoli":
Questo è un esempio fra i più elementari di cose che leggo e che francamente trovo incomprensibili. Come può ritenersi significativo un fatto di questo tipo?!
non metto link di articoli perché mi è stato detto di non farlo ma basta googlare "Kannan Soundararajan Robert Lemke Oliver università di Stanford (Usa)"
Le trovi incomprensibili perchè non conosci il linguaggio della teoria analitica dei numeri. Prenditi un libro di base, tipo Apostol "Introduction to analytic number theory", studialo con calma e vedrai che capirai molto meglio!
"hydro":
Si può, inoltre lo sanno tutti, e non è molto interessante. Si può anche dire che tutti i primi dispari sono della forma $ 8n\pm 1 $ oppure $ 8n\pm 3 $, e allora?
le sequenze $6n+-1$ non sono interessanti per quello ma perché lo schema con cui si distribuiscono tutte le combinazioni che causano i composti in quella serie in $N$ forma moduli che si moltiplicano per tutti i valori di quella sequenza sia primi che composti.
"pdercoli":
No, non basta per niente. Questo è il tipico esempio di una cosa che sembra ragionevole, ma come ti dicevo la matematica non è una discussione sopra i massimi sistemi. Chi fa un'affermazione la deve a) formalizzare e b) dimostrare. Dire, come fai tu, che "perché ci siano due primi di questo tipo consecutivi non devono essere primi nelle vicinanze quelli congrui 7 e poi 13, 17, 19, 23 e 29." non è matematica. Devi formalizzare il concetto di "essere più probabile di" (e ti assicuro che non è così semplice) e poi dimostrare le tue affermazioni.
Non ho perso tempo a dettagliarlo solo perché mi sembrava abbastanza ovvio e non meritasse di essere approfondito ma se può essere utile mostrare tutte le combinazioni che causano quel fenomeno lo faccio:
Dimostrazione che in tutti gli infiniti primi è più probabile che un primo che termina per 1 sia seguito da un primo che termina con una cifra diversa da 1 usando il modulo $MP_5$
Prendo un primo $p_1$ che ha come ultima cifra 1. Lo confronto con gli infiniti primi successivi possibili che usando $MP_5$ posso chiamare:
$p_a = p_1+30n+1 $ $∀ n in N >0$
$p_b = p_1+30n+7 $ $∀ n in N >0$
$p_c = p_1+30n+11 $ $∀ n in N >0$
$p_d = p_1+30n+13 $ $∀ n in N >0$
$p_e = p_1+30n+17 $ $∀ n in N >0$
$p_f = p_1+30n+19 $ $∀ n in N >0$
$p_g = p_1+30n+23 $ $∀ n in N >0$
$p_h = p_1+30n+29 $ $∀ n in N >0$
tutti i $p_1$ possono avere congruenza 1 oppure 11 mod 30 quindi se $p_1$ è congruo 1 allora potrà essere seguito da un primo successivo che termina con la cifra "1" solo da $p_a$ o da $p_c$. Perché questo si verifichi è necessaria l'esistenza di in una certa quantità di composti $6n+-1=(6a+-1)(6b+-1)$ e di conseguenti soluzioni per l'equazione $n=6ab+-a+-b$ che andiamo a quantificare:
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_a$ richiede $7+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_c$ richiede $1+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_a$ richiede $5+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_c$ richiede $7+8n$ composti
le combinazioni perché $p_1$ sia seguito da un primo che termina con "3" ($p_d$ e $p_g$ ) sono
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_d$ richiede $2+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_g$ richiede $5+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_d$ richiede $0+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_g$ richiede $3+8n$ composti
le combinazioni perché $p_1$ sia seguito da un primo che termina con "7" ($p_b$ e $p_e$ ) sono
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_b$ richiede $0+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_e$ richiede $3+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_b$ richiede $6+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_e$ richiede $1+8n$ composti
le combinazioni perché $p_1$ sia seguito da un primo che termina con "9" ($p_f$ e $p_h$ ) sono
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_f$ richiede $4+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_h$ richiede $6+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_f$ richiede $2+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_h$ richiede $4+8n$ composti
complessivamente perché $p_1$ sia seguito da un primo successivo con ultima cifra "1" occorre l'esistenza di 4 composti in più rispetto la cifra "9" e 10 composti in più per le cifre "3" e "7".
I risultati riportati da questi matematici che hanno destato un certo interesse perché "ci sarebbe uno schema" dietro i primi sono:
cifra "1" un 18% circa
cifra "9" un 22% circa
cifra "3" e 7 un 30% circa
i miei risultati mostrano che questa distribuzione è destinata a riproporsi all'infinito.
Spiega anche perché il "9" non è mediano ma è più spostato verso il caso peggiore.
Lo schema dietro "questa distribuzione non casuale" è quello descritto coi "moduli dei primi" $MP_k$ e che permette a mio avviso di superare il problema della profondità e non usare l'analisi complessa per fare previsioni di tipo elementare sui numeri primi.
Io non sono un matematico e non ho mai parlato di risolvere problemi che richiedono l'analisi complessa tipo ipotesi di Riemann perché non ne ho competenza e non mi permetto di parlare di cose che non conosco. Però un problema come quello dei primi gemelli o questo qui sono elementari anche se relativamente difficili se non si può prevedere uno schema di funzionamento e se quello schema lo conoscessi e fosse elementare non vedo perché debba richiedersi necessariamente l'uso dell'analisi complessa per risolverli.
Le trovi incomprensibili perchè non conosci il linguaggio della teoria analitica dei numeri. Prenditi un libro di base, tipo Apostol "Introduction to analytic number theory", studialo con calma e vedrai che capirai molto meglio!
come detto sopra non mi convince il fatto che se trovo uno schema perfettamente coerente e destinato a riproporsi all'infinito con quella regolarità non possa usarlo. Non è inferire. Se ci sono delle regole che determinano un dato fenomeno e se uno le descrive e dimostra che un dato evento per verificarsi dovrebbe infrangere quelle regole immutabili. a tutti gli effetti "dimostra" a mio avviso.
Ti ringrazio molto per il consiglio, purtroppo ho poco tempo nella vita da dedicare a questa passione "tardiva" per la matematica ma leggo tutto quello che è abbastanza accessibile e introduttivo e sicuramente questa lettura proverò ad affrontarla.
Provo a spiegarmi meglio. Cose come:
non sono formulate in linguaggio matematico. Non è che non si possano dire, viviamo in un paese libero, è che non contengono nulla di scientifico. Il paper che hai citato tu invece da uno statement preciso: la loro congettura è che la funzione che conta le $n$-uple di primi consecutivi che abbiano una $n$-upla fissata di residui modulo $q$ ha asintoticamente quell'espressione. Questo è un concetto che chiunque abbia una preparazione da primo anno di matematica può capire, e non è equivocabile.
I tuoi "risultati" non "mostrano" nulla, perchè dimostrare è un concetto ben definito in matematica. Devi esprimere i tuoi argomenti nel linguaggio corretto, e dedurre ogni passaggio in maniera logica dal precedente. Al massimo quello che dici tu può essere un argomento euristico, che però è una cosa molto diversa da una dimostrazione.
Nessuno sostiene che sia necessaria l'analisi complessa. E' un dato di fatto che le considerazioni elementari (finora) non provino niente a parte l'infinitudine dei primi. Non credo che esista una dimostrazione non analitica neanche del teorema di Dirichlet, per non parlare del teorema dei numeri primi, e questi sono risultati considerati classici da 200 anni.
"pdercoli":
tutti i $p_1$ possono avere congruenza 1 oppure 11 mod 30 quindi se $p_1$ è congruo 1 allora potrà essere seguito da un primo successivo che termina con la cifra "1" solo da $p_a$ o da $p_c$. Perché questo si verifichi è necessaria l'esistenza di in una certa quantità di composti $6n+-1=(6a+-1)(6b+-1)$ e di conseguenti soluzioni per l'equazione $n=6ab+-a+-b$ che andiamo a quantificare:
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_a$ richiede $7+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_a$ seguito da $p_c$ richiede $1+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_a$ richiede $5+8n$ composti
$p_1$ di tipo $p_c$ seguito da $p_c$ richiede $7+8n$ composti
non sono formulate in linguaggio matematico. Non è che non si possano dire, viviamo in un paese libero, è che non contengono nulla di scientifico. Il paper che hai citato tu invece da uno statement preciso: la loro congettura è che la funzione che conta le $n$-uple di primi consecutivi che abbiano una $n$-upla fissata di residui modulo $q$ ha asintoticamente quell'espressione. Questo è un concetto che chiunque abbia una preparazione da primo anno di matematica può capire, e non è equivocabile.
"pdercoli":
i miei risultati mostrano che questa distribuzione è destinata a riproporsi all'infinito.
I tuoi "risultati" non "mostrano" nulla, perchè dimostrare è un concetto ben definito in matematica. Devi esprimere i tuoi argomenti nel linguaggio corretto, e dedurre ogni passaggio in maniera logica dal precedente. Al massimo quello che dici tu può essere un argomento euristico, che però è una cosa molto diversa da una dimostrazione.
"pdercoli":
Io non sono un matematico e non ho mai parlato di risolvere problemi che richiedono l'analisi complessa tipo ipotesi di Riemann perché non ne ho competenza e non mi permetto di parlare di cose che non conosco. Però un problema come quello dei primi gemelli o questo qui sono elementari anche se relativamente difficili se non si può prevedere uno schema di funzionamento e se quello schema lo conoscessi e fosse elementare non vedo perché debba richiedersi necessariamente l'uso dell'analisi complessa per risolverli.
Nessuno sostiene che sia necessaria l'analisi complessa. E' un dato di fatto che le considerazioni elementari (finora) non provino niente a parte l'infinitudine dei primi. Non credo che esista una dimostrazione non analitica neanche del teorema di Dirichlet, per non parlare del teorema dei numeri primi, e questi sono risultati considerati classici da 200 anni.
"hydro":
I tuoi "risultati" non "mostrano" nulla, perchè dimostrare è un concetto ben definito in matematica. Devi esprimere i tuoi argomenti nel linguaggio corretto, e dedurre ogni passaggio in maniera logica dal precedente. Al massimo quello che dici tu può essere un argomento euristico, che però è una cosa molto diversa da una dimostrazione.
Ho mostrato una serie di passaggi che possono essere compresi da chiunque e se errati anche facilmente smontati ma non siamo entrati mai nel merito ahimé. Non c'è nulla di euristico in quel che ho fatto e quando ho trovato qualcosa con intuito o osservazioni empiriche mi sono curato di dimostrarlo.
Una delle contestazioni più frequenti è che le forme $6n-1; 6n+1$ sono assolutamente banali e da questo non si può arrivare a nulla. Quindi il mio lavoro non poteva arrivare a nulla e non interessava.
Con il mio lavoro invece posso dire anche cose forse non banali e questo delle cifre finali lo avevo preso ad esempio. Aggiungo, sempre nel contesto di questi primi congrui $1 mod 10$ affermando che sono di gran lunga più frequenti quelli in forma $6n+1$ seguiti da $6(n+k)+-1$ che quelli $6n-1$ seguiti da $6(n+k)+-1$.
Se le forme $6n-1;6n+1$ non fossero "significative" per comprendere lo schema che regola i numeri primi allora non dovrebbe esserci particolare differenza fra tutti i primi $p mod 10=1$ e un $6n-1 mod 10 = 1$ dovrebbe avere le stesse opportunità di essere seguito da un primo che termina per "1" di quelle di un $6n+1 mod 10 = 1$ e la statistica prossima al 50%. Non è un'osservazione corretta?! Chi afferma che sia irrilevante occuparsi della sequenza $6n-1; 6n+1$ suppongo ci metta la mano sul fuoco...
Eppure per me è evidente l'opposto. Ho eseguito un veloce test su queste casistiche fino a $10^8$ per verificare questa mia "predizione":
$6n-1$ seguito da $6(n+k))-1$ = 32195 (12,63%)
$6n-1$ seguito da $6(n+k)+1$ = 53428 (20,96%)
$6n+1$ sequito da $6(n+k)-1$ = 138086 (54,17%)
$6n+1$ seguito da $6(n+k)+1$ = 31218 (12,25%)
Se ti interessa posso fornire un link con il dettaglio di questi risultati. Altrimenti puoi verificare tu stesso la loro correttezza.
In sostanza 2/3 dei primi $p mod 10 = 1$ seguiti da altri primi di pari congruenza sono in forma $6n+1$ e solo 1/3 in forma $6n-1$.
Potevo non scorrere nessuna lista di primi o fare test all'infinito la previsione si fonda su una regola che si applica all'intero insieme $N$ e che descrivo con chiarezza e semplicità.
Se io fossi un matematico direi "guarda qui interessante questo analfabeta... come fa a fare affermazioni di questo tipo?! E a sostenere che abbiano anche la profondità di applicarsi a tutto $N$". Proverei ad entrare nel merito della matematica ridicola che ha scritto per smontargliela e dimostrargli che è solo un "caso", che non è detto che sarà sempre così ecc. ecc.
Ma, sempre per coerenza logica, se è significativa di approfondimento la distribuzione dei primi p mod 10=1 lo dovrà essere ancor più la distribuzione dei primi $p mod 6=1$ e $p mod 6=5$... perché i matematici in quello studio non si sono accorti di questa "anomalia" ancora più marcata?! Avrebbero dovuto rilevarla ed estendere a questo aspetto il loro studio.
Tutto quello che ho scritto è verificabile (se vero o falso) quindi, se è vero, è "scientifico". Non è che se un alieno sufficientemente evoluto piombasse sulla terra è detto sia immediatamente comprensibile la sua dimostrazione del teorema di Pitagora. Presumo non lo chiami nemmeno così...
riepilogo:
tutti i multipli di $6a-1$
-in forma $6n-1$ lo sono per ogni $n=b(6a-1)+a$ con $a,b >0 \in N$
-in forma $6n+1$ lo sono per ogni $n=b(6a-1)-a$ con $a,b >0 \in N$
tutti i multipli di $6a+1$
- in forma $6n-1$ lo sono per ogni $n=b(6a+1)-a$ con $a,b >0 \in N$
- in forma $6n+1$ lo sono per ogni $∀ n=b(6a+1)+a$ con $a,b >0 \in N$
se serve mostro anche i passaggi. Nei lavori in cui l'ho fatto mi si diceva che erano banalità e li ho omessi
Ciò che conta è se sia vero o falso. Se è falso dovrebbe essere semplice dimostrarlo o trovare un controesempio.
Se è vero ne consegue che tutti i primi >3 sono
$6n-1$ SSE $n \notin b(6a-1)+a$ $∀ a,b > 0 ∈ N$ AND $n \notin b(6a+1)-a$ $∀ a,b > 0 ∈ N$
oppure
$6n+1$ SSE $n \notin b(6a-1)-a$ $∀ a,b > 0 ∈ N$ AND $n \notin b(6a+1)+a$ $∀ a,b > 0 ∈ N$
quindi SE $n \notin b(6a+-1)+-a$ $∀ a,b > 0 ∈ N$ ALLORA $6n-1;6n+1$ sono primi gemelli
Come detto questi valori si ripetono seguendo uno schema modulare che può ricomprendere non solo i singoli $6a+-1$ ma PER OGNI $6a+-1$
Si possono quantificare quanti valori $n$ non appartengono a nessuna di queste soluzioni rilevando che sono in numero infinito sia per i primi che per i primi gemelli
Se si vuole entrare nel merito sono assolutamente felice di correggere e rendere comprensibile e non equivocabile la forma del mio lavoro ma sono tre anni che sento tutto e il contrario di tutto e mai sia stato possibile entrare nel merito di quel che ho fatto solo perché giudicato (con sufficienza a mio avviso) ridicolo sul piano formale.
Se sei interessato a discutere del merito di quel che dico facendo questo sforzo di abbassarti alla forma che gli ho dato ben felice di darti tutti i chiarimenti del caso altrimenti ti ringrazio ma non voglio farti perdere ulteriore tempo
"pdercoli":
Ho mostrato una serie di passaggi che possono essere compresi da chiunque e se errati anche facilmente smontati ma non siamo entrati mai nel merito ahimé. Non c'è nulla di euristico in quel che ho fatto e quando ho trovato qualcosa con intuito o osservazioni empiriche mi sono curato di dimostrarlo.
Il nocciolo del problema sta tutto qua: tu usi la parola "dimostrare" in un senso estraneo alla matematica. Il che è comprensibile non avendo una formazione professionale, sia ben chiaro che non te ne sto facendo una colpa. Il fatto è che non è proprio possibile entrare nel merito delle tue affermazioni/dimostrazioni a meno che queste non siano scritte secondo i dettami della matematica professionale. Se prendi degli articoli qualsiasi pubblicati su una rivista seria, noterai che anche se l'argomento è molto variabile, la forma di questi articoli è simile: c'è un'introduzione dove vengono raccontati quali sono i risultati, quali tecniche si usano per dimostrarli e qual è lo stato dell'arte del problema. Poi si entra nel vivo, ci sono una serie di teoremi, lemmi e proposizioni e relative dimostrazioni. Ora, chiaramente è difficile capire le dimostrazioni se non si è esperti di quel settore specifico. Ma se si conosce la notazione, e questo avviene molto più spesso, capire gli enunciati dei teoremi è semplice, ed avviene in maniera inequivocabile. Come per esempio nel paper a cui ti riferivi tu. E' perfettamente chiaro quale sia la funzione oggetto di studio e quale sia il claim in proposito. Le cose che scrivi tu sono, al contrario, estremamente ambigue. Ad esempio:
"pdercoli":
Aggiungo, sempre nel contesto di questi primi congrui 1mod10 affermando che sono di gran lunga più frequenti quelli in forma $6n+1$ seguiti da $6(n+k)±1$ che quelli $6n−1$ seguiti da $6(n+k)±1$.
è una frase incommentabile, perchè non si capisce cosa voglia dire. Innanzitutto "essere più frequente di" è un concetto delicato in matematica, va formalizzato altrimenti è una frase vuota di contenuto. Ammettiamo che tu stia parlando della densità naturale. Stai confrontando le densità naturali di due insiemi di primi? Se sì, quali? Nota che la densità naturale è un concetto ben definito, se $A$ è un insieme di primi allora la sua densità naturale, se esiste, è \(\lim_{n\to +\infty}\frac{|\{p\in A\mbox{ primo, }p\leq n\}|}{|\{p \mbox{ primo }\leq n\}|}\). Stai confrontando due di questi limiti? Se sì, c'è bisogno di una dimostrazione rigorosa del fatto che uno sia strettamente maggiore dell'altro.
"pdercoli":
Una delle contestazioni più frequenti è che le forme $6n-1; 6n+1$ sono assolutamente banali e da questo non si può arrivare a nulla. Quindi il mio lavoro non poteva arrivare a nulla e non interessava.
Ovviamente questo non è un argomento scientifico, ma pensa ad un suo parallelo letterario: supponi di avere un tal dei tali che conosce esattamente 100 parole della lingua italiana, le prime 100 imparate da bambino. Supponi che questo venga un giorno da te e ti dica di aver scritto un poema di livello paragonabile alla divina commedia. E' impossibile? Boh, chi può dirlo, probabilmente no. Perderesti del tempo a leggerlo? io no, ma de gustibus...
"pdercoli":
Se io fossi un matematico direi "guarda qui interessante questo analfabeta... come fa a fare affermazioni di questo tipo?! E a sostenere che abbiano anche la profondità di applicarsi a tutto $N$". Proverei ad entrare nel merito della matematica ridicola che ha scritto per smontargliela e dimostrargli che è solo un "caso", che non è detto che sarà sempre così ecc. ecc.
No, non lo faresti. Lo dici solo perchè non sai cosa vuol dire essere un matematico (di nuovo, non te ne sto facendo una colpa, è normale che sia così). Ma bada bene ad una cosa: il motivo per cui non lo faresti è quello che ti ho detto sopra, ovvero che sono affermazioni incommentabili perchè non sono strutturate. Vi sono stati casi notevoli (ovviamente pochissimi nella storia) di persone prive di educazione formale matematica che hanno prodotto lavori di livello assoluto; per citare 3 esempi notevoli (in ordine cronologico) nella teoria dei numeri: Heegner, Ramanujan e Zhang. Il secondo è famosissimo ovviamente, il primo ed il terzo erano insegnanti di liceo. Il primo ha risolto un problema posto da Gauss, quello sui campi quadratici immaginari di class number 1, il terzo ha addirittura dimostrato un fatto profondissimo riguardante la distribuzione dei primi, ovvero il fatto che ne esistano infinite coppie a distanza assolutamente limitata. E fammi dire due parole in più su questo caso, dato che è avvenuto di recente (2013). Questo lavoro di Zhang è apparso dal nulla e 2 settimane più tardi è stato pubblicato su Annals of Mathematics, di gran lunga la più prestigiosa rivista di matematica del mondo, un giornale dove il 99,9% dei matematici professionisti non può neanche sognare di pubblicare. Sai perchè le sue parole sono state prese in considerazione da subito, nonostante nessuno lo conoscesse? Perchè erano scritte in modo rigoroso. Ha scritto un articolo chiaro, formale e dove dimostrava in maniera del tutto rigorosa le sue affermazioni.
Tutta questa manfrina è per dirti: fai lo stesso, e vedrai che dei matematici si prenderanno la briga di leggere, e magari constestarti, quello che hai scritto.
(Voglio fare un paragone in tema attuale anche su questo punto. Io, che sono un pessimo calciatore, quando guardo le partite in tv mi dico: ma se io fossi un giocatore professionista, appena arrivato a 20/25 metri dalla porta calcerei sempre! In fondo perchè no? avrei la forza nelle gambe per farlo, la porta è gigantesca, un tiro entrerà prima o poi! Ma la realtà è che se fossi davvero un calciatore, avrei anche l'esperienza di capire che questa non è la cosa giusta da fare...)
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