Prodotto di Eulero e numeri primi
Apro un nuovo argomento per sottoporre agli utenti del forum questo mio lavoro che avevo già mostrato nel post "Numeri primi: regolarità e possibile dimostrazione della congettura dei gemelli".
Lì la formulazione era incerta e poco comprensibile anche perché, non avendone ancora preso coscienza, non evidenziavo come, pur con un approccio elementare, la mia teoria trovi riscontro con il prodotto di Eulero e quindi la funzione zeta di Riemann e non fosse strampalata come poteva apparire.
Manipolando la serie armonica Eulero arrivò a dimostrare che $ \zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s = \prod _"p primo" 1/(1-p^-s) $
Osservando la disposizione dei primi in $ N $ ho realizzato che i primi sono, secondo una organizzazione assolutamente coerente e deterministica, una porzione di $ N $ che tende ad essere $ \prod _"p primo" 1-1/p $
Questa conclusione è coerente con il teorema dei numeri primi o almeno a me sembra oltre ogni ragionevole dubbio. Grazie a questo modello mi è stato inoltre possibile determinare che, con il medesimo principio, i primi gemelli tendano ad essere $ 1/2 \prod _"p primo >3" 1-2/p $ di tutti i naturali e questo implicherebbe la congettura dei gemelli.
Trovando difficoltà a far valutare un lavoro di questo tipo dagli specialisti del settore cerco in forum come questo chi possa confutare o confermare la mia teoria e ringrazio chiunque sia interessato a contribuire, anche confutando se trova dei punti deboli, il mio lavoro.
In ogni caso credo possa risultare interessante perché sicuramente mostra, a livello elementare (e questo a mio avviso dovrebbe esser considerato un pregio), qual è l'organizzazione dei numeri naturali che ha "consentito" ad Eulero di legare $ \zeta (s) $ ai numeri primi con il suo prodotto e, forse, cosa ha reso così ostico, almeno a chi lo ha preceduto, ottenere il medesimo risultato usando i semplici numeri naturali: vale a dire il fatto che lo schema che "obbliga" i primi a succedersi così come fanno tende ad essere infinitamente più grande e difficile da osservare e manipolare rispetto ai primi stessi. Per ottenere il suo prodotto Eulero non aveva bisogno di conoscere come i primi sono organizzati. Conoscendo come sono organizzati anche io, che non sono Eulero e non dispongo di conoscenze adeguate, ho potuto trovare un prodotto che semplificato riconduce a quel risultato.
Piergiorgio D'Ercoli
Lì la formulazione era incerta e poco comprensibile anche perché, non avendone ancora preso coscienza, non evidenziavo come, pur con un approccio elementare, la mia teoria trovi riscontro con il prodotto di Eulero e quindi la funzione zeta di Riemann e non fosse strampalata come poteva apparire.
Manipolando la serie armonica Eulero arrivò a dimostrare che $ \zeta (s)=\sum_{n=1}^\infty 1/n^s = \prod _"p primo" 1/(1-p^-s) $
Osservando la disposizione dei primi in $ N $ ho realizzato che i primi sono, secondo una organizzazione assolutamente coerente e deterministica, una porzione di $ N $ che tende ad essere $ \prod _"p primo" 1-1/p $
Questa conclusione è coerente con il teorema dei numeri primi o almeno a me sembra oltre ogni ragionevole dubbio. Grazie a questo modello mi è stato inoltre possibile determinare che, con il medesimo principio, i primi gemelli tendano ad essere $ 1/2 \prod _"p primo >3" 1-2/p $ di tutti i naturali e questo implicherebbe la congettura dei gemelli.
Trovando difficoltà a far valutare un lavoro di questo tipo dagli specialisti del settore cerco in forum come questo chi possa confutare o confermare la mia teoria e ringrazio chiunque sia interessato a contribuire, anche confutando se trova dei punti deboli, il mio lavoro.
In ogni caso credo possa risultare interessante perché sicuramente mostra, a livello elementare (e questo a mio avviso dovrebbe esser considerato un pregio), qual è l'organizzazione dei numeri naturali che ha "consentito" ad Eulero di legare $ \zeta (s) $ ai numeri primi con il suo prodotto e, forse, cosa ha reso così ostico, almeno a chi lo ha preceduto, ottenere il medesimo risultato usando i semplici numeri naturali: vale a dire il fatto che lo schema che "obbliga" i primi a succedersi così come fanno tende ad essere infinitamente più grande e difficile da osservare e manipolare rispetto ai primi stessi. Per ottenere il suo prodotto Eulero non aveva bisogno di conoscere come i primi sono organizzati. Conoscendo come sono organizzati anche io, che non sono Eulero e non dispongo di conoscenze adeguate, ho potuto trovare un prodotto che semplificato riconduce a quel risultato.
Piergiorgio D'Ercoli
Risposte
"hydro":
è una frase incommentabile, perchè non si capisce cosa voglia dire. Innanzitutto "essere più frequente di" è un concetto delicato in matematica, va formalizzato altrimenti è una frase vuota di contenuto. Ammettiamo che tu stia parlando della densità naturale. Stai confrontando le densità naturali di due insiemi di primi? Se sì, quali? Nota che la densità naturale è un concetto ben definito, se A è un insieme di primi allora la sua densità naturale, se esiste, è limn→+∞|{p∈A primo, p≤n}||{p primo ≤n}|. Stai confrontando due di questi limiti? Se sì, c'è bisogno di una dimostrazione rigorosa del fatto che uno sia strettamente maggiore dell'altro.
l'insieme è uno ed è quello delle coppie di primi consecutivi $p_1; p_2$ con $p_1 < p_2$ tali che $p_1 mod 10 = 1$ e $p_2 mod 10 = 1$
quindi le coppie $(p_1;p_2)$
$181;191$
$241;251$
$421;431$
$631;641$
$691;701$
...
affermo che in questo insieme sono più numerosi i $p_1$ in forma $6n+1$ che in forma $6n-1$ e ho mostrato le statistiche su tutte queste coppie per i primi fino a $10^8$ che confermano la mia previsione.
In un caso devono essere soddisfatte molte più condizioni che nel secondo e ho già provato a evidenziarlo ma dato che la mia matematica è incomprensibile ti evito la tortura.
Facciamo un gioco. Bisogna tirare un dado e non far uscire 1. Il primo che lo fa perde la mano e l'altro segna un punto. Ad ogni turno Paperino inizia a tirare per primo e deve farlo per 5 volte. Gastone invece deve tirare una sola volta. Chi ha più possibilità di vincere fra i due dopo un qualsiasi numero di turni di gioco?! Evidentemente il cugino "fortunato"...
Conoscendo lo schema seguito dai primi il livello del problema è quello. Una cosa ovvia.
Sarebbe molto più equo (e bello) se iniziasse uno e l'altro dovesse tirare un certo numero di volte determinato dal caso, per esempio proprio il numero uscito dall'ultimo tiro dell'avversario. Allora, anche se chi inizia per primo partirebbe con un piccolo svantaggio, poi l'aleatorietà prenderebbe il sopravvento. Invece per i primi l'aleatorietà non esiste. Le posizioni $6k+1$ conservano per sempre quel vantaggio impari...
Quando trovarono il corpus letterario dei manoscritti di Qumran a farli ritrovare fu un pastore beduino. Un pastore beduino a cui qualcuno di competente ha dato ascolto evidentemente
"pdercoli":
l'insieme è uno ed è quello delle coppie di primi consecutivi $p_1; p_2$ con $p_1 < p_2$ tali che $p_1 mod 10 = 1$ e $p_2 mod 10 = 1$
quindi le coppie $(p_1;p_2)$
$181;191$
$241;251$
$421;431$
$631;641$
$691;701$
...
affermo che in questo insieme sono più numerosi i $p_1$ in forma $6n+1$ che in forma $6n-1$ e ho mostrato le statistiche su tutte queste coppie per i primi fino a $10^8$ che confermano la mia previsione.
Questa invece è una frase che è più o meno formalizzabile, anche se non si capisce se pensi che sia vero asintoticamente o a livello finito. Da come lo dici sembra che tu intenda il seguente statement:
Sia $P$ l'insieme dei primi e per ogni $N$ sia $A_N\subseteq P\times P$ l'insieme delle coppie di primi consecutivi $(p_1,p_2)$ tali che $p_1\leq p_2\leq N$ e $p_1\equiv p_2\equiv 1\mod 10$. Sia $\pi:A_N \to P$ la proiezione sulla prima coordinata. Allora $|\{p\in \pi(A_N): p\equiv 1\mod 6\}|\geq |\{p\in \pi(A_N): p\equiv 5\mod 6\}|$.
Capisci che questa è una frase formulata nel linguaggio giusto. Può essere vera o falsa, ma almeno è chiaro cosa dica!
Tra parentesi ti faccio notare che lavorare modulo 6 non ha tanto senso, tanto vale farlo modulo 3 visto che tutti i primi tranne 2 sono congrui a 1 modulo 2... In altre parole quello che ho scritto sopra è vero se e solo se è vero scrivendo 3 al posto di 6.
Ciao pdercoli,
Guarda, oggi ho provato a leggere alcuni dettagli di quello che hai scritto. E' difficile da capire, non perché sia difficile tecnicamente, ma perché, come ha già osservato hydro, non è scritto in linguaggio matematico. Questa non è un'offesa, è la realtà dei fatti, confrontalo con quanto scrivo qui sotto.
Credo di aver capito che tu procedi in questo modo.
Per ogni primo $k$, definiamo $MP_k$ nel seguente modo: detto $m$ il prodotto dei primi minori o uguali a $k$, $MP_k$ è l'insieme degli interi tra $1$ e $m$ coprimi con $m$. Il loro numero è [tex]\varphi(m)[/tex], dove [tex]\varphi[/tex] è la famosa funzione totiente di Eulero. Per esempio in corrispondenza di $k=5$ abbiamo [tex]\varphi(30)=8[/tex] (confronta con la frazione $8//30$ che compare quando parli di $MP_5$). Hai giustamente osservato che il modulo è palindromo (rispetto a $1$,...,$m$). Il motivo è che se $x$ è coprimo con $m$ allora anche $m-x$ è coprimo con $m$ (questo è un esercizio elementare).
Ora, fissiamo un primo $k$ e sia $m$ il prodotto dei primi fino a $k$ (esempio: se $k=5$ allora $m=2*3*5=30$). Tu dici (in un altro linguaggio) che nel modulo $MP_k$ ci sono [tex]\varphi(m)[/tex] "candidati primi", cioè numeri coprimi con $m$. Poi aggiungi che in ogni $MP_k$ il numero di elementi $x$ tali che $x+2$ appartiene a $MP_k$ (considerato modulo $m$) è uguale a
[tex]\prod_{p \leq k} (p-2)[/tex]
dove $p$ varia tra i primi dispari minori o uguali di $k$. Quindi per esempio in $MP_7$ ci saranno $(5-2)(7-2)=15$ numeri $x$ tali che $x+2$ mod $m$ appartiene a $MP_7$. Si tratta di un'affermazione interessante, che se non mi sono confuso è vera ma richiede una piccola dimostrazione (l'idea è che per ogni primo $p le k$ bisogna escludere $p-2$ e $p$ dal computo - poi se riesco lo formalizzo meglio).
Poi dici che però bisogna stare attenti: ci sono in $MP_k$ elementi che non sono primi (quando considerati come numeri interi). Per esempio $13^2$ appartiene a $MP_{11}$ e non è primo (quando dico che $13^2$ appartiene a $MP_{11}$ intendo dire che $13^2$ è minore di $2*3*5*7*11$, cioè coincide con la sua rappresentazione canonica nella classe di congruenza). Quindi affermi che se un elemento appartiene a $MP_k$ ed è compreso tra $k$ e $k^2$ (con $k$ e $k^2$ esclusi) allora è primo. Questo è vero, perché se non fosse primo ammetterebbe un fattore primo minore o uguale a $k$ e quindi non sarebbe coprimo con $m$. Va bene.
Quindi non guardiamo a tutto il modulo $MP_k$, solo ai numeri in $MP_k$ compresi tra $k$ e $k^2$ (con $k$ e $k^2$ esclusi). Questi sono tutti primi. Benissimo. Se non mi sbaglio, è qui che usi l'espressione "gli elementi di $MP_k$ maggiori di $k^2$ non sono definiti". Uno potrebbe chiedersi cosa intendi con numeri definiti, ma non importa.
Ma ora fai un salto euristico, una capriola fantascientifica, che è la seguente:
Lasciamo stare per un attimo il fatto che si tratta di pensieri in libertà soggetti a mille interpretazioni diverse, e concentriamoci sulla parte che ho sottolineato.
A quanto capisco, tu stai dicendo che hai controllato dei valori piccoli e hai notato una "sostanziale uniformità" (???), quindi nel modulo $MP_k$ ci saranno numeri $x$ tali che $x+2$ è coprimo con $m$, e compresi tra $k$ e $k^2$ (perché se sono distribuiti equamente qualcuno di loro cadrà in quell'intervallo). Ma il punto è questo: nessuno ti garantisce che tra $k$ e $k^2$ cadano sempre elementi $x$ di $MP_k$ e che oltretutto siano tali che $x+2$ è anch'esso in $MP_k$. Lo hai dimostrato? (Dimostrato veramente, intendo). Cosa vuol dire "distribuite con sostanziale uniformità"? Qual è la tua definizione di sostanziale uniformità?
Quello che scrivi nella seconda parte, con tutti i grafici e le evidenze numeriche, è sostanzialmente ignorabile, perché irrilevante (quando si parla di infinito e di stime asintotiche, quello che succede per un numero finito di valori è sempre del tutto irrilevante).
Inoltre il rapporto tra i numeri $x$ del modulo $MP_k$ tali che $x+2$ sta nel modulo e il prodotto dei primi fino a $k$, come hai osservato, è
[tex]\frac{\prod_{p \leq k} (p-2)}{\prod_{p \leq k} p} = \prod_{p \leq k} (1-\frac{2}{p})[/tex]
Tuttavia questa quantità (come ti hanno già fatto osservare) tende a zero quando $k$ tende a infinito, quindi anche qui non si va molto lontano.
Guarda, oggi ho provato a leggere alcuni dettagli di quello che hai scritto. E' difficile da capire, non perché sia difficile tecnicamente, ma perché, come ha già osservato hydro, non è scritto in linguaggio matematico. Questa non è un'offesa, è la realtà dei fatti, confrontalo con quanto scrivo qui sotto.
Credo di aver capito che tu procedi in questo modo.
Per ogni primo $k$, definiamo $MP_k$ nel seguente modo: detto $m$ il prodotto dei primi minori o uguali a $k$, $MP_k$ è l'insieme degli interi tra $1$ e $m$ coprimi con $m$. Il loro numero è [tex]\varphi(m)[/tex], dove [tex]\varphi[/tex] è la famosa funzione totiente di Eulero. Per esempio in corrispondenza di $k=5$ abbiamo [tex]\varphi(30)=8[/tex] (confronta con la frazione $8//30$ che compare quando parli di $MP_5$). Hai giustamente osservato che il modulo è palindromo (rispetto a $1$,...,$m$). Il motivo è che se $x$ è coprimo con $m$ allora anche $m-x$ è coprimo con $m$ (questo è un esercizio elementare).
Ora, fissiamo un primo $k$ e sia $m$ il prodotto dei primi fino a $k$ (esempio: se $k=5$ allora $m=2*3*5=30$). Tu dici (in un altro linguaggio) che nel modulo $MP_k$ ci sono [tex]\varphi(m)[/tex] "candidati primi", cioè numeri coprimi con $m$. Poi aggiungi che in ogni $MP_k$ il numero di elementi $x$ tali che $x+2$ appartiene a $MP_k$ (considerato modulo $m$) è uguale a
[tex]\prod_{p \leq k} (p-2)[/tex]
dove $p$ varia tra i primi dispari minori o uguali di $k$. Quindi per esempio in $MP_7$ ci saranno $(5-2)(7-2)=15$ numeri $x$ tali che $x+2$ mod $m$ appartiene a $MP_7$. Si tratta di un'affermazione interessante, che se non mi sono confuso è vera ma richiede una piccola dimostrazione (l'idea è che per ogni primo $p le k$ bisogna escludere $p-2$ e $p$ dal computo - poi se riesco lo formalizzo meglio).
Poi dici che però bisogna stare attenti: ci sono in $MP_k$ elementi che non sono primi (quando considerati come numeri interi). Per esempio $13^2$ appartiene a $MP_{11}$ e non è primo (quando dico che $13^2$ appartiene a $MP_{11}$ intendo dire che $13^2$ è minore di $2*3*5*7*11$, cioè coincide con la sua rappresentazione canonica nella classe di congruenza). Quindi affermi che se un elemento appartiene a $MP_k$ ed è compreso tra $k$ e $k^2$ (con $k$ e $k^2$ esclusi) allora è primo. Questo è vero, perché se non fosse primo ammetterebbe un fattore primo minore o uguale a $k$ e quindi non sarebbe coprimo con $m$. Va bene.
Quindi non guardiamo a tutto il modulo $MP_k$, solo ai numeri in $MP_k$ compresi tra $k$ e $k^2$ (con $k$ e $k^2$ esclusi). Questi sono tutti primi. Benissimo. Se non mi sbaglio, è qui che usi l'espressione "gli elementi di $MP_k$ maggiori di $k^2$ non sono definiti". Uno potrebbe chiedersi cosa intendi con numeri definiti, ma non importa.
Ma ora fai un salto euristico, una capriola fantascientifica, che è la seguente:
"pdercoli":
I multipli di $ k $ contenuti in ogni $ MP_k $ sono l’equivalente della lunghezza del modulo precedente. Di questi quelli che vanno ad annullare posizioni ancora attive per i singoli primi sono pari agli attivi del modulo precedente. Per i primi gemelli invece sono il doppio delle coppie attive. Quindi se in $ MP_5 $ i multipli che, annullando i primi, annullano anche coppie utili per i gemelli sono 2 su 2; in $ MP_7 $ saranno 6 su 8 e così via. I multipli dei primi che occupano posizioni aperte ad ospitare coppie di primi gemelli tendono quindi ad essere una parte infinitesima del totale. Inoltre le posizioni annullate non possono concentrarsi mai nella parte iniziale del modulo perché distribuite con sostanziale uniformità. Se ne conclude che “esistenza” e “quantità” dei primi gemelli, al pari di tutti i primi, sono determinate direttamente ed esclusivamente dalle quantità di candidati presenti nei moduli $ MP_k $ che sono esprimibili con prodotti di termini infiniti e questo implica vera la congettura dei numeri primi gemelli.
Lasciamo stare per un attimo il fatto che si tratta di pensieri in libertà soggetti a mille interpretazioni diverse, e concentriamoci sulla parte che ho sottolineato.
A quanto capisco, tu stai dicendo che hai controllato dei valori piccoli e hai notato una "sostanziale uniformità" (???), quindi nel modulo $MP_k$ ci saranno numeri $x$ tali che $x+2$ è coprimo con $m$, e compresi tra $k$ e $k^2$ (perché se sono distribuiti equamente qualcuno di loro cadrà in quell'intervallo). Ma il punto è questo: nessuno ti garantisce che tra $k$ e $k^2$ cadano sempre elementi $x$ di $MP_k$ e che oltretutto siano tali che $x+2$ è anch'esso in $MP_k$. Lo hai dimostrato? (Dimostrato veramente, intendo). Cosa vuol dire "distribuite con sostanziale uniformità"? Qual è la tua definizione di sostanziale uniformità?
Quello che scrivi nella seconda parte, con tutti i grafici e le evidenze numeriche, è sostanzialmente ignorabile, perché irrilevante (quando si parla di infinito e di stime asintotiche, quello che succede per un numero finito di valori è sempre del tutto irrilevante).
Inoltre il rapporto tra i numeri $x$ del modulo $MP_k$ tali che $x+2$ sta nel modulo e il prodotto dei primi fino a $k$, come hai osservato, è
[tex]\frac{\prod_{p \leq k} (p-2)}{\prod_{p \leq k} p} = \prod_{p \leq k} (1-\frac{2}{p})[/tex]
Tuttavia questa quantità (come ti hanno già fatto osservare) tende a zero quando $k$ tende a infinito, quindi anche qui non si va molto lontano.
Ciao Martino,
ti ringrazio per le tue osservazioni e il tempo che hai dedicato a comprendere il mio elaborato. Non mi offendo assolutamente perché pienamente conscio di non avere le basi per esprimermi in linguaggio corretto. Sono anzi felice di poter correggere e migliorare.
$k$ non è necessariamente primo ma un valore appartenente all'insieme composto da $2; 3; 6n-1; 6n+1$ $\forall n>0 \in N$ quindi i $k$ primi sono una minoranza. Anche $MP_25; MP_35; ...$ ecc. sono moduli dei primi ma la tua osservazione mi dà la certezza che sia possibile formare moduli dei primi coerenti usando solo i $k$ primi. Mi ero posto il problema ma avendo una dimostrazione che fosse vero l'enunciato ricavato empiricamente sono andato avanti con quello senza approfondire.
Nello specifico io ho osservato che due quantità notevoli per questi moduli (lunghezza e quantità di coprimi) possono essere trovate per tutti i moduli $MP_k$ con la produttoria
$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{n=1}^N((6n-1-x)/(6n-1))((6n+1-x)/(6n+1)) $
La variabile $ x $ assume i valori:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto
- $ x=1 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo
se invece che i singoli coprimi voglio conoscere quante sono le coppie di coprimi fra loro distanziate di 2 vale la stessa produttoria ma la variabile $x$ vale
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto
- $ x=2 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo
i risultati nei due casi si equivalgono chiaramente con le produttorie in cui compaiono solo primi e ciò che mi è sembrato rilevante è appunto poter estendere la cosa ai coprimi gemelli.
Di questo do una dimostrazione che mi sembra corretta:
dimostro innanzitutto che
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n-1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n+1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 2/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ sono tali che nella coppia $ [6n-1;6n+1] $ ci sia un multiplo di $ 6a±1 $
poi proseguo
Non conoscevo il toziente di Eulero. Le lunghezze $m$ di $MP_k$ percorrono tutti i valori $n$ fattorizzabili con un certo numero di primi $p<=k$. La mia produttoria equivale a quella del toziente e nel mio prodotto il denominatore equivale ad $m$ di conseguenza i coprimi che trovo nei moduli con il prodotto $ \prod_{p \leq k} (p-1)$ saranno quelli restituiti da $varphi(m)$.
Esiste una funzione equivalente del tipo $varphi_2(n)$ che definisca l'esatto numero di coppie di coprimi "gemelli"? Se esiste deve essere coerente con $varphi_2(m)= 1/2m \prod_{2
intendo dire che i valori coprimi $x=k^2$ sono formati da primi e composti. Questo se prendessi solo quei valori in quanto interi e non come classe di congruenza.
Ma l'aspetto più notevole è che sono in un modulo dei primi quindi ogni valore coprimo $x$ è tale che $(mn+x)$ è coprimo rispetto $m$. Questo credo sia banale ma consente di estendere quel risultato non solo ai valori con $n=0$ ma a qualsiasi $n in N$. Quindi so che esistono infiniti coprimi di $m$ che hanno un coprimo gemello e che questi tendono a $ 1/2m \prod_{2
Qui non comprendo questa rilevanza del fatto che la produttoria tenda a $0$ al crescere di $k$. Lo fa anche $\prod_{p<=k} 1-1/p $ e nonostante ciò $varphi(n)$ tende a $infty$ (la qual cosa è banale essendo noto che i primi sono infiniti). L'unica osservazione che penso si possa fare è che queste conclusioni confermino che tanto i primi che i primi gemelli sono una parte infinitesima di $N$ e i gemelli a loro volta una parte infinitesima di tutti i primi.
vero. Occorre precisare che questo documento l'ho scritto per tentare di far comprendere la consistenza dei moduli $MP_k$ perché, senza leggerlo come hai fatto tu, tutti liquidavano quello che mostravo come privo di senso, errato oppure irrilevante. Tieni presente che come ignoravo il toziente non conoscevo nemmeno il prodotto di Eulero. Quando ho fatto quel collegamento ho rielaborato tutto in quella prospettiva nella speranza che fosse più comprensibile.
In sostanza avevo individuato i moduli e trovato che tutti i primi >3 sono tutti e solo:
- i valori $6n-1$ se $n$ non è soluzione di $n=6ab-a+b$ $\forall a,b \ne 0 in Z >$
- i valori $6n-1$ se $n$ non è soluzione di $n=6ab-a-b$ $\forall a,b \ne 0 in Z >$
e questo è dimostrabile anche con passaggi banali
quindi se $n$ non è soluzione di $n=6ab-a+-b$ $\forall a,b \ne 0 in Z >$ allora $6n-1;6n+1$ sono primi gemelli. Contando con i moduli questi valori $n$ ho trovato quelle produttorie ma, contando quantità di interi, la forma era questa in cui non compaiono frazioni:
$ \prod_{n=1}^N((6n-1-x)((6n+1-x)) $
Il mio ragionamento è sempre stato: posso usarle come un crivello modulare che agisce istantaneamente non su un set finito di valori ma sull'intero insieme $N$. Posso farlo grazie ai moduli e non, come se usassi la serie armonica, affidandomi al dato probabilistico che sia vero perché un primo $p$ occupa $1/p$ di $N$. Ho descritto "come" lo fa e uso quantità di interi per arrivare alle conclusioni che si accordano con quei risultati classici ottenuti usando $zeta(1)$.
Ho trovato diverse formulazioni che esplicitassero l'ultimo passo per la dimostrazione. Se ad esempio prendessi una circonferenza di raggio $r$ e associassi univocamente i suoi infiniti punti agli infiniti $n in N$ so che eliminando all'infinito tutti i primi con i loro composti avrei sempre infiniti punti con cui poter formare una nuova circonferenza che tenderà ad essere infinitamente più piccola di quella con raggio $r$. Se fossero finiti dovrei arrivare ad un punto in cui un certo numero di primi $p<=k$ sono sufficienti a cancellare completamente la circonferenza $pir$. Con $0$ punti si può costruire solo una circonferenza di raggio $r=0$ coincidente con il centro e questa è la condizione necessaria perché i primi gemelli siano finiti come tutte le altre sequenze finite che posso incontrare.
Con altre usavo la produttoria che tende a $0$. Posso rielaborarla usando $varphi(n)$:
se prendessi non un numero $n$ discreto ma l'intero insieme $N$ contenente in se tutti i primi $p$ e lo mettessi in $varphi(infty)$ avrei che il numero di tutti i coprimi di un valore infinito che è fattorizzabile con tutti gli infiniti primi (quindi tendenzialmente tutti i primi) è
$varphi(N)=infty \prod_{p} 1-1/p $.
dato che il denominatore di quella produttoria che tende a $0$ è anche lui $infty$ semplifico e mi resta che
$varphi(N)=\prod_{p} p-1$
facendo lo stesso con la produttoria dei gemelli avrei
$varphi_2(N)=1/2\prod_{p} p-2$
Se questi passaggi sono confutabili perché violano qualche legge (tipo che è vietato moltiplicare e dividere per infinito) oppure nonostante l'apparenza $varphi_2(n)$ non è valido per i coprimi allora non posso andare oltre ma mi piacerebbe saperlo e non è un responso che può darmi chiunque. Credo comunque che qualche pregio e qualche spunto interessante il mio lavoro lo dia.
per la verità questo a me sembra lo garantisca il Teorema dei numeri primi. Fra l'altro al crescere di $k$ vengono cancellati dai moduli gli stessi primi $p<=k$ (e le conseguenti coppie di gemelli) quindi, se non fosse garantita, i primi sarebbero finiti e questo è assurdo. Per le coppie di gemelli ammetto che non c'è la stessa garanzia. Però un indizio forte è dato dal fatto che se fosse così i coprimi li dovrei trovare non con quella formula (non $1/2\prod_{p} p-2$ ma con qualcosa tipo $1/2\prod_{p} p-x$ dove $x$ cresce tendenzialmente fino a $p$) perché appunto c'è una "predilezione" dei primi ad annullare maggiormente i coprimi gemelli. Allora arriverò che quando $x=p$ tutto viene moltiplicato per $0$ e la produttoria da quel momento in poi sarà effettivamente $0$. Osservazioni che lasciano il tempo che trovano se posso usare il toziente dei gemelli.
è implicato dal fatto che il modulo sia palindromo per le ragioni che hai dato tu stesso. Quando da un $MP_k$ si ricava il successivo $MP_q$ vengono concatenati $q$ volte moduli della stessa forma $MP_k$. I valori $x$ quindi saranno replicati insieme al modulo e non possono concentrarsi da qualche parte più di altre ma essere posizionati con sostanziale uniformità. Quelli che andranno ad essere eliminati nell'intervallo che va da $q$ a $q^2$ saranno solo gli stessi $q$ e $q^2$ quindi 2 in tutto. Tutti gli altri sono i valori $qx$ con $x$ ogni coprimo del modulo precedente che so disporsi man mano con i classici intervalli a scaletta dei primi. Quindi anche quelli che elimino non li trovo polarizzati in una zona in particolare e rapidamente si trovano ben distanti da $k^2$ e non potendo annullare più di poche coppie di coprimi.
Mi scuso per la lunga risposta ma le tue osservazioni mi hanno dato molti spunti
ti ringrazio per le tue osservazioni e il tempo che hai dedicato a comprendere il mio elaborato. Non mi offendo assolutamente perché pienamente conscio di non avere le basi per esprimermi in linguaggio corretto. Sono anzi felice di poter correggere e migliorare.
"Martino":
Per ogni primo k, definiamo MPk
$k$ non è necessariamente primo ma un valore appartenente all'insieme composto da $2; 3; 6n-1; 6n+1$ $\forall n>0 \in N$ quindi i $k$ primi sono una minoranza. Anche $MP_25; MP_35; ...$ ecc. sono moduli dei primi ma la tua osservazione mi dà la certezza che sia possibile formare moduli dei primi coerenti usando solo i $k$ primi. Mi ero posto il problema ma avendo una dimostrazione che fosse vero l'enunciato ricavato empiricamente sono andato avanti con quello senza approfondire.
Nello specifico io ho osservato che due quantità notevoli per questi moduli (lunghezza e quantità di coprimi) possono essere trovate per tutti i moduli $MP_k$ con la produttoria
$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{n=1}^N((6n-1-x)/(6n-1))((6n+1-x)/(6n+1)) $
La variabile $ x $ assume i valori:
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto
- $ x=1 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo
se invece che i singoli coprimi voglio conoscere quante sono le coppie di coprimi fra loro distanziate di 2 vale la stessa produttoria ma la variabile $x$ vale
- $ x=0 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è composto
- $ x=2 $ se il $ 6n±1 $ in parentesi è primo
i risultati nei due casi si equivalgono chiaramente con le produttorie in cui compaiono solo primi e ciò che mi è sembrato rilevante è appunto poter estendere la cosa ai coprimi gemelli.
Di questo do una dimostrazione che mi sembra corretta:
dimostro innanzitutto che
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n-1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 1/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ è tale che $ 6n+1 $ è un multiplo di $ 6a±1 $
- $ 2/( 6a±1) $ dei valori di $ n $ sono tali che nella coppia $ [6n-1;6n+1] $ ci sia un multiplo di $ 6a±1 $
poi proseguo
"pdercoli":
Si dimostra quindi per induzione che $ \prod_{a=1}^N((6a-1-x)/(6a-1))((6a+1-x)/(6a+1)) $ è vera anche per le coppie candidate ad essere primi gemelli (fuori dalla produttoria, per $ MP_2 $ ed $ MP_3 $ , è evidente).
Al primo passo si ha
$ (5-2)/5 $
Al passo successivo il valore precedente sarà replicato 7 volte sopra e sotto quindi
$ ((5-2)*7)/(5*7) $
Sottraendo i valori relativi ai multipli del 7 eccetto quelli comuni anche al 5 si ha
$ ((5-2)*7)/(5*7)-2/7*((5-2)*7)/(5*7) $
Che può essere semplificato
$ ((5-2)*7)/(5*7)-(2*(5-2))/(5*7)⇒((5-2)*(7-2))/(5*7) $
equivalente a
$ (1-2/5)(1-2/7) $
Continuando a moltiplicare numeratore e denominatore per i successivi $ 6a±1 $, a sottrarre $ 2/( 6a±1) $ della parte precedente, e introducendo la variabile $ x $ per discriminare il comportamento fra primi e composti, la produttoria e la formula generale sono rispettate ad ogni passo, sia per i primi che per i primi gemelli:
$ (1-1/2)(1-x/3) \prod_{a=1}^N(1-x/(6a-1))(1-x/(6a+1)) $
Per i primi gemelli si può riscrivere
$ 1/2 \prod_{"p primo>2"} 1-2/p $
Non conoscevo il toziente di Eulero. Le lunghezze $m$ di $MP_k$ percorrono tutti i valori $n$ fattorizzabili con un certo numero di primi $p<=k$. La mia produttoria equivale a quella del toziente e nel mio prodotto il denominatore equivale ad $m$ di conseguenza i coprimi che trovo nei moduli con il prodotto $ \prod_{p \leq k} (p-1)$ saranno quelli restituiti da $varphi(m)$.
Esiste una funzione equivalente del tipo $varphi_2(n)$ che definisca l'esatto numero di coppie di coprimi "gemelli"? Se esiste deve essere coerente con $varphi_2(m)= 1/2m \prod_{2
"Martino":
Uno potrebbe chiedersi cosa intendi con numeri definiti
intendo dire che i valori coprimi $x
Ma l'aspetto più notevole è che sono in un modulo dei primi quindi ogni valore coprimo $x$ è tale che $(mn+x)$ è coprimo rispetto $m$. Questo credo sia banale ma consente di estendere quel risultato non solo ai valori con $n=0$ ma a qualsiasi $n in N$. Quindi so che esistono infiniti coprimi di $m$ che hanno un coprimo gemello e che questi tendono a $ 1/2m \prod_{2
Qui non comprendo questa rilevanza del fatto che la produttoria tenda a $0$ al crescere di $k$. Lo fa anche $\prod_{p<=k} 1-1/p $ e nonostante ciò $varphi(n)$ tende a $infty$ (la qual cosa è banale essendo noto che i primi sono infiniti). L'unica osservazione che penso si possa fare è che queste conclusioni confermino che tanto i primi che i primi gemelli sono una parte infinitesima di $N$ e i gemelli a loro volta una parte infinitesima di tutti i primi.
"Martino":
ora fai un salto euristico, una capriola fantascientifica
vero. Occorre precisare che questo documento l'ho scritto per tentare di far comprendere la consistenza dei moduli $MP_k$ perché, senza leggerlo come hai fatto tu, tutti liquidavano quello che mostravo come privo di senso, errato oppure irrilevante. Tieni presente che come ignoravo il toziente non conoscevo nemmeno il prodotto di Eulero. Quando ho fatto quel collegamento ho rielaborato tutto in quella prospettiva nella speranza che fosse più comprensibile.
In sostanza avevo individuato i moduli e trovato che tutti i primi >3 sono tutti e solo:
- i valori $6n-1$ se $n$ non è soluzione di $n=6ab-a+b$ $\forall a,b \ne 0 in Z >$
- i valori $6n-1$ se $n$ non è soluzione di $n=6ab-a-b$ $\forall a,b \ne 0 in Z >$
e questo è dimostrabile anche con passaggi banali
quindi se $n$ non è soluzione di $n=6ab-a+-b$ $\forall a,b \ne 0 in Z >$ allora $6n-1;6n+1$ sono primi gemelli. Contando con i moduli questi valori $n$ ho trovato quelle produttorie ma, contando quantità di interi, la forma era questa in cui non compaiono frazioni:
$ \prod_{n=1}^N((6n-1-x)((6n+1-x)) $
Il mio ragionamento è sempre stato: posso usarle come un crivello modulare che agisce istantaneamente non su un set finito di valori ma sull'intero insieme $N$. Posso farlo grazie ai moduli e non, come se usassi la serie armonica, affidandomi al dato probabilistico che sia vero perché un primo $p$ occupa $1/p$ di $N$. Ho descritto "come" lo fa e uso quantità di interi per arrivare alle conclusioni che si accordano con quei risultati classici ottenuti usando $zeta(1)$.
Ho trovato diverse formulazioni che esplicitassero l'ultimo passo per la dimostrazione. Se ad esempio prendessi una circonferenza di raggio $r$ e associassi univocamente i suoi infiniti punti agli infiniti $n in N$ so che eliminando all'infinito tutti i primi con i loro composti avrei sempre infiniti punti con cui poter formare una nuova circonferenza che tenderà ad essere infinitamente più piccola di quella con raggio $r$. Se fossero finiti dovrei arrivare ad un punto in cui un certo numero di primi $p<=k$ sono sufficienti a cancellare completamente la circonferenza $pir$. Con $0$ punti si può costruire solo una circonferenza di raggio $r=0$ coincidente con il centro e questa è la condizione necessaria perché i primi gemelli siano finiti come tutte le altre sequenze finite che posso incontrare.
Con altre usavo la produttoria che tende a $0$. Posso rielaborarla usando $varphi(n)$:
se prendessi non un numero $n$ discreto ma l'intero insieme $N$ contenente in se tutti i primi $p$ e lo mettessi in $varphi(infty)$ avrei che il numero di tutti i coprimi di un valore infinito che è fattorizzabile con tutti gli infiniti primi (quindi tendenzialmente tutti i primi) è
$varphi(N)=infty \prod_{p} 1-1/p $.
dato che il denominatore di quella produttoria che tende a $0$ è anche lui $infty$ semplifico e mi resta che
$varphi(N)=\prod_{p} p-1$
facendo lo stesso con la produttoria dei gemelli avrei
$varphi_2(N)=1/2\prod_{p} p-2$
Se questi passaggi sono confutabili perché violano qualche legge (tipo che è vietato moltiplicare e dividere per infinito) oppure nonostante l'apparenza $varphi_2(n)$ non è valido per i coprimi allora non posso andare oltre ma mi piacerebbe saperlo e non è un responso che può darmi chiunque. Credo comunque che qualche pregio e qualche spunto interessante il mio lavoro lo dia.
"Martino":
nessuno ti garantisce che tra k e k2 cadano sempre elementi x di MPk
per la verità questo a me sembra lo garantisca il Teorema dei numeri primi. Fra l'altro al crescere di $k$ vengono cancellati dai moduli gli stessi primi $p<=k$ (e le conseguenti coppie di gemelli) quindi, se non fosse garantita, i primi sarebbero finiti e questo è assurdo. Per le coppie di gemelli ammetto che non c'è la stessa garanzia. Però un indizio forte è dato dal fatto che se fosse così i coprimi li dovrei trovare non con quella formula (non $1/2\prod_{p} p-2$ ma con qualcosa tipo $1/2\prod_{p} p-x$ dove $x$ cresce tendenzialmente fino a $p$) perché appunto c'è una "predilezione" dei primi ad annullare maggiormente i coprimi gemelli. Allora arriverò che quando $x=p$ tutto viene moltiplicato per $0$ e la produttoria da quel momento in poi sarà effettivamente $0$. Osservazioni che lasciano il tempo che trovano se posso usare il toziente dei gemelli.
"Martino":
Cosa vuol dire "distribuite con sostanziale uniformità"? Qual è la tua definizione di sostanziale uniformità?
è implicato dal fatto che il modulo sia palindromo per le ragioni che hai dato tu stesso. Quando da un $MP_k$ si ricava il successivo $MP_q$ vengono concatenati $q$ volte moduli della stessa forma $MP_k$. I valori $x$ quindi saranno replicati insieme al modulo e non possono concentrarsi da qualche parte più di altre ma essere posizionati con sostanziale uniformità. Quelli che andranno ad essere eliminati nell'intervallo che va da $q$ a $q^2$ saranno solo gli stessi $q$ e $q^2$ quindi 2 in tutto. Tutti gli altri sono i valori $qx$ con $x$ ogni coprimo del modulo precedente che so disporsi man mano con i classici intervalli a scaletta dei primi. Quindi anche quelli che elimino non li trovo polarizzati in una zona in particolare e rapidamente si trovano ben distanti da $k^2$ e non potendo annullare più di poche coppie di coprimi.
Mi scuso per la lunga risposta ma le tue osservazioni mi hanno dato molti spunti
Giusto per chiarire le definizioni, quando dico che $a$ è coprimo con $m$, o che $a$ e $m$ sono coprimi, voglio dire che $a$ e $m$ non hanno nessun fattore primo in comune. Ti suggerisco di andarti a vedere l'identità di Bezout (1783) e l'algoritmo di Euclide (300 avanti Cristo), che sono argomenti molto rilevanti quando si parla di coprimalità. Inoltre sarebbe utile conoscere teoremi classici come il piccolo teorema di Fermat (1636) e il teorema di Eulero-Fermat (1736).
Dato un primo $k$ definiamo $m$ come il prodotto dei primi minori o uguali di $k$.
Questo è vero ed è una conseguenza praticamente immediata del teorema cinese del resto (chinese remainder theorem, anno 1247), che dice, in questo caso particolare, che $MP_k$ (l'insieme degli interi modulo $m$ coprimi con $m$) è un gruppo moltiplicativo isomorfo a un prodotto diretto di $t$ gruppi ciclici di ordine $p_i-1$, $i=1,...,t$, dove $p_1,...,p_t$ sono esattamente i primi minori o uguali di $k$.
In pratica tu puoi vedere ogni intero $a$ coprimo con $m$, modulo $m$, anziché come un intero modulo $m$, come una sequenza di classi resto $(a mod p_1, ..., a mod p_t)$, che sono ovviamente tutte classi non nulle (per la coprimalità), e questo lo puoi fare in modo biunivoco modulo $m$, in altre parole ad ogni sequenza di classi resto tutte non nulle $(a_1 mod p_1, ..., a_t mod p_t)$ corrisponde un unico intero $a$ modulo $m$ la cui riduzione modulo $p_i$ è proprio uguale ad $a_i$, per ogni $i=1,...,t$ (questo è per il teorema cinese del resto). Ora, se tu vuoi che anche $a+2$ sia coprimo con $m$, in pratica stai chiedendo che $a_i+2$ sia coprimo con $p_i$ per ogni $i=1,...,t$ (questo non è calato dal cielo, si può dimostrare, se vuoi te lo formalizzo con tutti i dettagli ma ti avviso che non è del tutto elementare). Siccome ci sono esattamente $p-2$ classi resto $x$ modulo $p$ tali che $x+2$ è coprimo con $p$, per ogni primo dispari $p$ (si tratta di $1,2,...,p-3,p-1$, cioè tutte tranne $0$ e $p-2$, che sono distinti se $p$ è dispari), abbiamo $p_i-2$ classi modulo $p_i$ che possiamo scegliere, quindi in totale troveremo [tex]\prod_{i=2}^t (p_i-2)[/tex] elementi $a$ (classi modulo $m$) tali che $a$ e $a+2$ sono coprimi con $m$. La produttoria parte da $2$ perché il primo $p_1=2$ non influisce in questo computo.
Un altro paio di commenti.
1. Il numero $6$ non c'entra niente. Tu puoi vedere i primi gemelli come numeri della forma $6n-1$, $6n+1$, ma questa è un'osservazione banale e forse ti può aiutare nella visualizzazione ma nulla di più. Tu continui a cercare di risolvere equazioni del tipo $(6n pm 1) = (6a pm 1) (6b pm 1)$ ma questo ti porta inevitabilmente a un loop tautologico in cui dici che un numero è primo se non ammette fattorizzazioni e non ammette fattorizzazioni se è primo.
2. Il fatto che la produttoria [tex]\prod_{p \leq k} (1-\frac{2}{p})[/tex] tende a zero quando $k$ tende a infinito è la cosa più rilevante dell'intero discorso e la stai ignorando. In pratica, ti dice che (usando parole tue) la porzione di elementi $a$ nel modulo $MP_k$ con la proprietà che $a+2$ sta nel modulo (cioè generatori di coppie di "coprimi gemelli") si assottiglia sempre di più al crescere di $k$, rapportata alla totalità dei numeri da $1$ fino a $m$, in altre parole è una porzione infinitesima. Quindi con questo argomento non si riesce a dire che tra $k$ e $k^2$ ne cadranno sempre. Puoi immaginare che quella porzione infinitesima si distribuisca uniformemente ma questa è un'idea molto fumosa che non hai formalizzato, sembri metterla lì alla fine del tuo argomento come se fosse un argomento minuscolo che spiega un dettaglio insignificante, in realtà è una colonna cruciale senza la quale purtroppo in ultima analisi non stai dicendo niente.
3. Come hai notato, il fatto che parli in termini troppo elementari non aiuta la discussione. Ci sono teoremi classicissimi che (se capisco bene) non conosci e che faresti molto bene a conoscere per poter trattare questi argomenti. L'identità di Bezout, l'algoritmo di Euclide, il piccolo teorema di Fermat, il teorema di Eulero-Fermat, la funzione toziente di Eulero, il teorema cinese del resto. Per non parlare delle basi della teoria dei gruppi. Come ti ha detto anche hydro, la matematica si è evoluta molto al di là di osservazioni elementari e il crivello di Eratostene, in altre parole se continui a non volerti leggere i classici avrai l'impressione di aver fatto chissà quale scoperta quando in realtà stai faticosamente ripercorrendo cose già conosciute e già formulate da un pezzo in linguaggio matematico ineccepibile.
Dato un primo $k$ definiamo $m$ come il prodotto dei primi minori o uguali di $k$.
"pdercoli":In tutta questa parte l'unica cosa che stai dicendo è che in $MP_k$ il numero di elementi $a$ (coprimi con $m$) tali che $a+2$ sta in $MP_k$ (cioè è coprimo con $m$) è [tex]\prod_{p \leq k} (p-2)[/tex].
$k$ non è necessariamente primo [...] qualche spunto interessante il mio lavoro lo dia.
Questo è vero ed è una conseguenza praticamente immediata del teorema cinese del resto (chinese remainder theorem, anno 1247), che dice, in questo caso particolare, che $MP_k$ (l'insieme degli interi modulo $m$ coprimi con $m$) è un gruppo moltiplicativo isomorfo a un prodotto diretto di $t$ gruppi ciclici di ordine $p_i-1$, $i=1,...,t$, dove $p_1,...,p_t$ sono esattamente i primi minori o uguali di $k$.
In pratica tu puoi vedere ogni intero $a$ coprimo con $m$, modulo $m$, anziché come un intero modulo $m$, come una sequenza di classi resto $(a mod p_1, ..., a mod p_t)$, che sono ovviamente tutte classi non nulle (per la coprimalità), e questo lo puoi fare in modo biunivoco modulo $m$, in altre parole ad ogni sequenza di classi resto tutte non nulle $(a_1 mod p_1, ..., a_t mod p_t)$ corrisponde un unico intero $a$ modulo $m$ la cui riduzione modulo $p_i$ è proprio uguale ad $a_i$, per ogni $i=1,...,t$ (questo è per il teorema cinese del resto). Ora, se tu vuoi che anche $a+2$ sia coprimo con $m$, in pratica stai chiedendo che $a_i+2$ sia coprimo con $p_i$ per ogni $i=1,...,t$ (questo non è calato dal cielo, si può dimostrare, se vuoi te lo formalizzo con tutti i dettagli ma ti avviso che non è del tutto elementare). Siccome ci sono esattamente $p-2$ classi resto $x$ modulo $p$ tali che $x+2$ è coprimo con $p$, per ogni primo dispari $p$ (si tratta di $1,2,...,p-3,p-1$, cioè tutte tranne $0$ e $p-2$, che sono distinti se $p$ è dispari), abbiamo $p_i-2$ classi modulo $p_i$ che possiamo scegliere, quindi in totale troveremo [tex]\prod_{i=2}^t (p_i-2)[/tex] elementi $a$ (classi modulo $m$) tali che $a$ e $a+2$ sono coprimi con $m$. La produttoria parte da $2$ perché il primo $p_1=2$ non influisce in questo computo.
Sì, tra $k$ e $k^2$ ci sono sempre primi, questo è una conseguenza del teorema dei numeri primi. Ma ovviamente qui stiamo cercando primi gemelli. Puoi avere impressioni, sensazioni o sospetti, ma una dimostrazione è un'altra cosa."Martino":
nessuno ti garantisce che tra k e k2 cadano sempre elementi x di MPk
per la verità questo a me sembra lo garantisca il Teorema dei numeri primi. [...] Per le coppie di gemelli ammetto che non c'è la stessa garanzia.
Questi sono pensieri in libertà e, ammetto, per me totalmente incomprensibili."Martino":
Cosa vuol dire "distribuite con sostanziale uniformità"? Qual è la tua definizione di sostanziale uniformità?
è implicato dal fatto che il modulo sia palindromo per le ragioni che hai dato tu stesso. Quando da un $MP_k$ si ricava il successivo $MP_q$ vengono concatenati $q$ volte moduli della stessa forma $MP_k$. I valori $x$ quindi saranno replicati insieme al modulo e non possono concentrarsi da qualche parte più di altre ma essere posizionati con sostanziale uniformità. Quelli che andranno ad essere eliminati nell'intervallo che va da $q$ a $q^2$ saranno solo gli stessi $q$ e $q^2$ quindi 2 in tutto. Tutti gli altri sono i valori $qx$ con $x$ ogni coprimo del modulo precedente che so disporsi man mano con i classici intervalli a scaletta dei primi. Quindi anche quelli che elimino non li trovo polarizzati in una zona in particolare e rapidamente si trovano ben distanti da $k^2$ e non potendo annullare più di poche coppie di coprimi.
Un altro paio di commenti.
1. Il numero $6$ non c'entra niente. Tu puoi vedere i primi gemelli come numeri della forma $6n-1$, $6n+1$, ma questa è un'osservazione banale e forse ti può aiutare nella visualizzazione ma nulla di più. Tu continui a cercare di risolvere equazioni del tipo $(6n pm 1) = (6a pm 1) (6b pm 1)$ ma questo ti porta inevitabilmente a un loop tautologico in cui dici che un numero è primo se non ammette fattorizzazioni e non ammette fattorizzazioni se è primo.
2. Il fatto che la produttoria [tex]\prod_{p \leq k} (1-\frac{2}{p})[/tex] tende a zero quando $k$ tende a infinito è la cosa più rilevante dell'intero discorso e la stai ignorando. In pratica, ti dice che (usando parole tue) la porzione di elementi $a$ nel modulo $MP_k$ con la proprietà che $a+2$ sta nel modulo (cioè generatori di coppie di "coprimi gemelli") si assottiglia sempre di più al crescere di $k$, rapportata alla totalità dei numeri da $1$ fino a $m$, in altre parole è una porzione infinitesima. Quindi con questo argomento non si riesce a dire che tra $k$ e $k^2$ ne cadranno sempre. Puoi immaginare che quella porzione infinitesima si distribuisca uniformemente ma questa è un'idea molto fumosa che non hai formalizzato, sembri metterla lì alla fine del tuo argomento come se fosse un argomento minuscolo che spiega un dettaglio insignificante, in realtà è una colonna cruciale senza la quale purtroppo in ultima analisi non stai dicendo niente.
3. Come hai notato, il fatto che parli in termini troppo elementari non aiuta la discussione. Ci sono teoremi classicissimi che (se capisco bene) non conosci e che faresti molto bene a conoscere per poter trattare questi argomenti. L'identità di Bezout, l'algoritmo di Euclide, il piccolo teorema di Fermat, il teorema di Eulero-Fermat, la funzione toziente di Eulero, il teorema cinese del resto. Per non parlare delle basi della teoria dei gruppi. Come ti ha detto anche hydro, la matematica si è evoluta molto al di là di osservazioni elementari e il crivello di Eratostene, in altre parole se continui a non volerti leggere i classici avrai l'impressione di aver fatto chissà quale scoperta quando in realtà stai faticosamente ripercorrendo cose già conosciute e già formulate da un pezzo in linguaggio matematico ineccepibile.
"Martino":
questo ti porta inevitabilmente a un loop tautologico in cui dici che un numero è primo se non ammette fattorizzazioni e non ammette fattorizzazioni se è primo
non mi sembra un loop. Dico che se $n=6ab-a+-b forall a,b ne 0 in Z$ non ha soluzioni allora $6n-1$ e $6n+1$ sono primi gemelli. Si tratta di una condizione necessaria e sufficiente che uso per spostare il problema dell'esistenza di infiniti primi gemelli all'esistenza di infiniti valori $n$ di quel tipo.
\( \displaystyle \prod_{p \leq k} (p-2) \) confermi che è vero (io l'ho dimostrato usando le sequenze $6n+1$ e definendo gli oggetti $MP_k$ all'oscuro delle conoscenze pregresse. Non ho infranto la logica)
Con i moduli $MP_k$ affermo di poter estendere un risultato parziale relativo ad un valore finito $m$ all'intero insieme $N$. dicendo che se $varphi(30)=8$ allora in $30n$ esisteranno esattamente $8n$ coprimi di $30$. Quindi saranno $3n$ i coprimi di $30$ tali che $x+2$ sia a sua volta coprimo di $30$.
"Martino":
Il fatto che la produttoria ∏p≤k(1−2p) tende a zero quando k tende a infinito è la cosa più rilevante dell'intero discorso e la stai ignorando
a me sembra che la cosa più rilevante sia un modello elementare che spiega perché la successione dei primi è così com'è e che si possa applicare un crivello deterministico non ad un set di valori finito ma a tutto l'insieme $N$. Posso farlo? Se questo viola qualche legge non lo so. A me sembra non ci sia nulla che lo impedisca.
Non ignoro il fatto che quella produttoria tenda a $0$. Dico che è irrilevante perché essendo i primi gemelli un sottoinsieme dei primi che invece si regolano su $\prod_{p} 1-1/p$ che tende a 0 non potrebbe essere altrimenti. Ciò che invece è importante a me sembra è che quella produttoria abbia lo stesso identico indice escluso ovviamente p=2. Non è definita per $p$ primi gemelli e allora sì che ci sarebbe tautologia.
Ha senso dire che usando il toziente di Eulero per valori $n$ tendente ad $N$ (che in sé contiene tutti gli infiniti primi) avrò come risultato il numero di coprimi rispetto a tutti i primi e che questo può essere un valore divergente solo se i primi sono infiniti?
$ varphi(N)=\prod_{p} p-1 $
Se fossero finiti infatti dovrei arrivare ad un certo valore sufficientemente grande che è la fattorizzazione di tutti e la funzione dovrebbe restituire coerentemente 0.
Ha senso definire un toziente per i coprimi gemelli in questo modo?
$ varphi_2(m)= 1/2m \prod_{2
e fare lo stesso ragionamento?
Grazie per gli spunti per approfondire l'argomento
Scusa ma non ti seguo. Dati $k$ primo e $m$ il prodotto dei primi fino a $k$, abbiamo $phi(m)$ coprimi con $m$ e $phi_2(m)$ coprimi con $m$ che generano coppie di coprimi gemelli, quindi la porzione è $f(m)=phi_2(m)//phi(m)$. Si può dimostrare che $f(m)$ tende a zero quando $k$ tende a infinito (asintoticamente va come $C/log(k)$ per una opportuna costante $C$). Quindi questo argomento da solo non è sufficiente per dedurre l'infinità dei (co)primi gemelli.
Scusa ma al momento non ho molto altro da dire sull'argomento. Buona fortuna!
Scusa ma al momento non ho molto altro da dire sull'argomento. Buona fortuna!
"da solo" non direi...
$varphi_2(n)$ con $n→infty$ tende a $\prod_{p} p-x$
con $x$ che si è visto essere fisso a $2$
$\prod_{p} p-x$ potrebbe convergere unicamente nei seguenti casi:
1) i fattori $p$ sono finiti
2) $x$ non è fisso ma tende a $p$
sono entrambi un assurdo.
Che $ f(m)=phi_2(m)//phi(m) $ tenda a $0$ è del tutto evidente ma significa solo che uno è una porzione infinitesima dell'altro come lo è del resto $phi(m)//m$
Ti ringrazio per l'attenzione che mi hai dedicato. I tuoi spunti sono stati molto molto preziosi anche se la tua conclusione continua a non convincermi. Colpa mia
Grazie a te e a Hydro per la pazienza!
$varphi_2(n)$ con $n→infty$ tende a $\prod_{p} p-x$
con $x$ che si è visto essere fisso a $2$
$\prod_{p} p-x$ potrebbe convergere unicamente nei seguenti casi:
1) i fattori $p$ sono finiti
2) $x$ non è fisso ma tende a $p$
sono entrambi un assurdo.
Che $ f(m)=phi_2(m)//phi(m) $ tenda a $0$ è del tutto evidente ma significa solo che uno è una porzione infinitesima dell'altro come lo è del resto $phi(m)//m$
Ti ringrazio per l'attenzione che mi hai dedicato. I tuoi spunti sono stati molto molto preziosi anche se la tua conclusione continua a non convincermi. Colpa mia
Grazie a te e a Hydro per la pazienza!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo