Problemi teoria dei gruppi

[mistake89]

Volevo chiedervi se un esercizio del genere possa essere svolto in questo modo oppure mi sto perdendo qualche passaggio.
Dimostrare che un gruppo $G$ di ordine $300$ non è semplice.

Per il teorema di sylow sappiamo che $G$ ammette $2$-sylow, $3$-sylow e $5$-sylow.
Verifico quanti $5$-sylow ci sono. il loro numero deve dividere $3*2^2$ ed essere congruo ad $1$, $mod5$. Quindi $s_5=1$ e pertanto l'unico $5$-sylow è normale. Allora $G$ ammette un sottogruppo normale non banale e pertanto non è semplice.

Basta questo?

Grazie

[Studente Anonimo]

"mistake89":Il "metodo" che ho usato prima potrebbe essere utile per esempio per dimostrare che $S_5$ non ha sottogruppi di ordine $15$ vero?
Poichè una cosa simile vorrebbe dire che tale sottogruppo $H$ deve essere isomorfo a $ZZ_15$ cioè contenere un elemento di ordine $15$ e ciò non è vero.

Certo.

[mistake89]

Ti ringrazio Martino.

Mi è sorta una domanda oggi vedendo un esercizio: gli isomorfismi conservano le classi di coniugazione?
Mi verrebbe da dire di sì, però magari mi sbaglio.

[Studente Anonimo]

Se [tex]f:G \to H[/tex] è un isomorfismo di gruppi e [tex]C[/tex] è una classe di coniugio in [tex]G[/tex] allora [tex]f(C)[/tex] è una classe di coniugio in [tex]H[/tex] (precisamente, la classe di coniugio di [tex]g \in G[/tex] viene mandata nella classe di coniugio di [tex]f(g)[/tex]).

Era questo che volevi sapere?

[mistake89]

Sisi ti ringrazio Martino.

E' una cosa che magari potrebbe tornarmi utile in qualche esercizio!

[mistake89]

Oggi ci hanno lasciato un esercizio: studiare $G=Aut(D_5)$

Abbiamo visto a lezione che ha ordine $20=2^2*5$
Quindi ammette un $5$-sylow $K$ e ed un $2$-sylow $H$ di ordine 4. Dovendo essere $n_5-=1mod5$ e dovendo dividere $4$ esso è unico e quindi è normale.

La mia speranza è che anche $H$ sia normale, in questo modo posso vedere $G$ come prodotto diretto dei suoi sylow, che tra l'altro dato l'ordine sono sicuramente abeliani.
Ma ho che $n_2in{1,5}$ e non so effettivamente quanti siano.
Se fosse 1, si avrebbe quanto descritto sopra.

se invece è $5$, ho provato a fare questo ragionamento, ma non sono sicuro della correttezza e non riesco a concludere:
Dal th. Orbita-Stabilizzatore si ha che $|N_G(H)|=2^2=4$. Allora i $2$-sylow $H$ sono contenuti nel normalizzante! Basta questo per dire che sono normali? (il realtà pensando un po' al fatto che il normalizzante è il più grande gruppo che contiene $H$ come sottogruppo normale direi proprio di no!)
Se tale ragionamento fosse corretto (ho molti dubbi a riguardo, data anche l'ora), allora $G~=ZZ_4xZZ_5$ oppure a $ZZ_2xZZ_10$, che rimane da provare.

Se tutto ciò fosse sbagliato io proprio non saprei come fare. A maggior ragione se $G$ non dovesse essere abeliano (in realtà ciò che mi spinge a dire che è abeliano è che la presentazione del gruppo diedrale lavora sulle potenze che commutano, ma è solo una sensazione nulla più!).

Grazie e scusate per le eventuali cose inesatte che posso aver detto!

[Studente Anonimo]

[tex]G=\text{Aut}(D_5)[/tex] non può essere abeliano. Osserva infatti che il centro di $D_5$ è identico: [tex]Z(D_5)=\{1\}[/tex] (prova a dimostrarlo, non è difficile), quindi l'omomorfismo [tex]D_5 \to G[/tex] che manda [tex]x[/tex] nel coniugio tramite [tex]x[/tex] è iniettivo. Ne segue che $D_5$, che non è abeliano, è isomorfo a un sottogruppo di $G$, che di conseguenza non è abeliano. Quindi $G$ ha un 5-Sylow e cinque 2-Sylow.

[mistake89]

Cavolo avevo totalmente sbagliato allora!
Grazie infinite ancora (se mai ci incontreremo ti devo una cosa da bere come minimo )!

PS Sisi sapevo già che $Z(D_n)$ è banale se $n$ è dispari.

[mistake89]

Stavo provando a fare una traccia d'esame, ma volevo un consiglio.

L'esercizio dice:
Dato $G=<(12),(14)(25)>$
1)stabilire se $G$ è un sottogruppo di Sylow di $S_5$
2)calcolare le classi di coniugazione
3)Calcolare tutti i sottogruppi normali
4)Determinare il centro di $G$
5)Classificare a meno di isomorfismi $G$ e $G//Z$

Se non ho fatto male i calcoli $G={id,(12),(45),(14)(25),(12)(45),(15)(24),(1425),(1524)}$.Quindi $|G|=2^3$
Posso dire quindi che $G$ è un $2$-sylow di $S_5$.

Ora dovrei trovare le classi di coniugio, ma diciamo che non so come fare.
Potrei mettermi e coniugare tutto, ma non credo che sia la cosa migliore e mi piacerebbe sapere qualche metodo meno "contoso".
Io ho pensato anzitutto di trovarmi il centro, poichè essendo un sottogruppo di ordine $2^3$ il centro avrà ordine $2$, quindi tra gli elementi di ordine $2$ devo cercare uno che commuti con tutti gli elementi. Poichè moltiplicando gli altri elementi di periodo 2 per arbitrarie permutazioni ottengo sempre risultati diversi, provo facilmente che $Z(G)={id,(12)(45)}$
Perciò ho già le prime due classi di coniugio che sono ${id}$ e ${(12)(45)}$.
Osservo che gli altri elementi fanno parte tutti della stessa classe di coniugazione in $S_5$ avendo tutti la stessa struttura ciclica. Le classi non possono spezzarsi però in $G$, poichè avendo tutte cardinalità $2$, avrei delle classi ridotte ad un solo elemento, quindi gli elementi sarebbero centrali e questo non può essere perchè ho già mostrato che il centro è formato solo da quei due elementi. Quindi le rimanenti classi sono:
${(12),(45)}$, ${(14)(25),(15)(24)}$ e ${(1425),(1524)}$.
A questo punto determinare i sottogruppi normali non è difficile, basta considerare l'unione completa di classi di coniugio e verificare che effettivamente siano sottogruppi.

Per l'ultimo punto osservo che $G$, che non è abeliano, è isomorfo o al gruppo dei quaternioni oppure a $D_4$, ed effettivamente, visti i periodi, è isomorfo a $D_4$.
Il gruppo quoziente $G//Z$ ha ordine $4=2^2$ è pertanto abeliano.
Si tratta allora di stabilire se è isomorfo al gruppo di Klein oppure a $ZZ_4$. Sarà più semplice vedere se ha un elemento di ordine $4$.
ed effettivamente $(1425)Z(G)$ ha periodo $4$.

Però qualche tempo fa avevo dimostrato che $G//Z(G)$ciclico$->G$ abeliano. Qui ovviamente non è così!
Dove sta l'errore?

Grazie mille

[Studente Anonimo]

"mistake89":A questo punto determinare i sottogruppi normali non è difficile, basta considerare l'unione completa di classi di coniugio e verificare che effettivamente siano sottogruppi.

Questa frase è un po' "sibillina". Potresti specificare quanti e quali sono i sottogruppi normali?

Si tratta allora di stabilire se è isomorfo al gruppo di Klein oppure a $ZZ_4$. Sarà più semplice vedere se ha un elemento di ordine $4$.
ed effettivamente $(1425)Z(G)$ ha periodo $4$.

Non ha periodo 4, guarda meglio.

[mistake89]

Sisi, hai ragione solo che volevo prima essere convinto che fosse giusto quanto detto sopra:

Allora i divisori di $8$ sono $1,2,4,8$.
Allora i candidati ad essere sottogruppi normali sono:
$Z(G)$, che si verifica facilmente essere un sottogruppo
${id,(12)(45),(12),(45)}$, anche questo è un sottogruppo
${id,(12)(45),(14)(25),(15)(24)}$ Anche questo è chiuso rispetto ad inversi e moltiplicazione così come anche ${id,(12)(45),(1245),(1524)}$

Sono questi i sottogruppi normali di $G$.

Hai ragione Martino, mi sono fatto ingannare dal fatto di aver scritto nel quoziente $Z(G)$ e non aver pensato che esso è uguale anche a $(12)(45)Z(G)$
Effettivamente così tutto torna, poiché tutti gli elementi non identici hanno periodo $2$, quindi $G//Z$ è isomorfo al gruppo $ZZ_2xZZ_2$.

Quindi risolto così l'esercizio potrebbe andar bene giusto?

[Studente Anonimo]

Giusto.

Non scordarti di dire che anche $1$ e $G$ sono sottgruppi normali.

[mistake89]

Ti ringrazio Martino

[giaorl]

Vorrei continuare a studiare $Aut(D_5)$, descrivendolo esplicitamente. Ho un intoppo solo alla fine del ragionamento.
Abbiamo detto che $|Aut(D_5)|=20=2^2\cdot 5$, che non è abeliano e quindi ha un unico $5$-Sylow e cinque $2$-Sylow. Osservo che in $Aut(D_5)$ si può trovare un automorfismo di periodo 4, ad esempio $\varphi \in Aut(D_5)$ tale che $\varphi (\sigma) = \sigma^2,\ \varphi (tau)= \tau$, quindi i $2$-Sylow, essendo tutti coniguati e, a fortiori, isomorfi, sono ciclici. Siano $P_5$ l'unico $5$-Sylow e $P_2$ un $2$-Sylow. Avendo i due sottogruppi intersezione banale, essendo $|P_2 P_5|=20$, $P_5$ è normale in $Aut(D_5)$, risulta che il gruppo in questione è prodotto semidiretto interno dei due sottogruppi. Vorrei ora trovare a che prodotto semidiretto esterno $Aut(D_5)$ è isomorfo. So che $P_5 ~= ZZ_5$ e $P_2 ~=ZZ_4$, quindi si vuole trovare un omomorfismo $\Phi:ZZ_4 \rightarrow Aut(ZZ_5)$. Sapendo che $Aut(ZZ_5) ~= U(ZZ_5) ~= ZZ_4$, posso dire che esiste un isomorfismo $\Phi:ZZ_4 \rightarrow Aut(ZZ_5)$ e che tutti gli altri sono dati dalla composizione di questo con automorfismi di $ZZ_4$, quindi in tutto ho $2$ isomorfismi. Sono:
- $\Phi_1:ZZ_4 \rightarrow Aut(ZZ_5),\ \Phi_1([1]_4):ZZ_5 \rightarrow ZZ_5\ t.c.\ \forall a \in ZZ:\ \Phi_1([1]_4)([a]_5)=[2a]_5$
- $\Phi_2:ZZ_4 \rightarrow Aut(ZZ_5),\ \Phi_2([1]_4):ZZ_5 \rightarrow ZZ_5\ t.c.\ \forall a \in ZZ:\ \Phi_2([1]_4)([a]_5)=[3a]_5$
C'è poi l'omomorfismo con nucleo $<2>$:
- $\Phi_3:ZZ_4 \rightarrow Aut(ZZ_5),\ \Phi_3([1]_4):ZZ_5 \rightarrow ZZ_5\ t.c.\ \forall a \in ZZ:\ \Phi_3([1]_4)([a]_5)=[4a]_5$
e l'omomorfismo banale, che non considero perchè non sono interessato al prodotto diretto.
Quale omomorfismo è quello giusto da scegliere?
P.S.: Non riesco a trovare la sintassi per il simbolo di prodotto semidiretto, che in LaTeX è "\rtimes"

[vict85]

"giaorl":
P.S.: Non riesco a trovare la sintassi per il simbolo di prodotto semidiretto, che in LaTeX è "\rtimes"

Usa latex [tex]\rtimes[/tex] (il pulsante TeX nella modalità avanzata)

[giaorl]

"vict85":Usa latex [tex]\rtimes[/tex] (il pulsante TeX nella modalità avanzata)

Ok, grazie
(apro una piccola parentesi: se [tex]n\geq 2[/tex], allora $|Aut(D_n)|=n\varphi (n)$? ($\varphi$ funzionte totiente di Eulero))

[mistake89]

"mistake89":Forse ci sono:

Io ho per costruzione di $H ed inoltre so che $K$ è normale in $H$

Quindi si ha $gKg^(-1)subgHg^(-1)subH$ e poichè $K$ è normale in $H$ si ha $gKg^(-1)=K$

Da questa risoluzione, parlando con un mio collega, mi è sorto un dubbio:

Se io ho una catena di sottogruppi ${1} \subset H_1 \subset ... \subset H_(k-1) \subset H_k=G$, ove $H_i$ è normale in $H_(i+1)$, non posso asserire che $H_i$ è normale in $G$?

Per una catena composta da $3$ sottogruppi risulta provato, come nel quote riportato, ma, a patto di ripetere questo ragionamento per $k$ sottogruppi, mi sembra che si possa estendere.

E' errata?

[mistake89]

Ho trovato questa cosa:
considerata la catena $K allora $K$ è normale in $G$ se $H$ è carattestico in $K$.

Allora nella dimostrazione che io ho quotato, oltre alla normalità di $K$ in $H$ mi sarebbe servito il fatto che esso è caratteristico (lo è?!)

Grazie

[Studente Anonimo]

"mistake89":[quote="mistake89"]Forse ci sono:

Io ho per costruzione di $H ed inoltre so che $K$ è normale in $H$

Quindi si ha $gKg^(-1)subgHg^(-1)subH$ e poichè $K$ è normale in $H$ si ha $gKg^(-1)=K$

Da questa risoluzione, parlando con un mio collega, mi è sorto un dubbio:

Se io ho una catena di sottogruppi ${1} \subset H_1 \subset ... \subset H_(k-1) \subset H_k=G$, ove $H_i$ è normale in $H_(i+1)$, non posso asserire che $H_i$ è normale in $G$?

Per una catena composta da $3$ sottogruppi risulta provato, come nel quote riportato, ma, a patto di ripetere questo ragionamento per $k$ sottogruppi, mi sembra che si possa estendere.

E' errata?[/quote]Mio dio, attenzione!

In quella dimostrazione hai usato pesantemente il fatto che $K$ è un sottogruppo di Sylow, quindi essendo normale è l'unico del suo ordine.

Come giustamente hai osservato, se [tex]H \unlhd G[/tex] e K è caratteristico in H allora K è normale in G (dimostrarlo è immediato). Questo è il tuo caso (se un sottogruppo di Sylow è normale allora è caratteristico - più in generale un sottogruppo che è l'unico del suo ordine è sempre caratteristico).

In generale se [tex]H \unlhd K \unlhd G[/tex] non puoi assolutamente dire che [tex]H \unlhd G[/tex]. I sottogruppi H per cui esiste una catena [tex]H \unlhd N_1 \unlhd N_2 \unlhd ... \unlhd N_m = G[/tex] si chiamano subnormali.

[mistake89]

In realtà che non si potesse estendere così lo sapevo, ma la dimostrazione che avevamo fatto mi aveva mandato in crisi
Così un pò impulsivamente ho scritto il post, cercando un pò su internet ho trovato la risposta del sottogruppo caratteristico, avrei risparmiato un pò di figuracce


Grazie Martino!

[mistake89]

"Martino":

In quella dimostrazione hai usato pesantemente il fatto che $K$ è un sottogruppo di Sylow, quindi essendo normale è l'unico del suo ordine.

Martino, ci sto pensando da un pò, volevo chiederti delle delucidazioni su questa frase:
Allora noi abbiamo $K $K$ è l'unico $3$-Sylow di $H$, ed è per questo normale in $H$. Il fatto che $H$ è normale in $A_4$ ci permermette di "estendere" l'unicità di $K$? E' questo che ci fa dire che allora $K$ è l'unico $3$-sylow di $A_4$ e pertanto $K$ è normale in $A_4$?

Ho pensato ciò: poichè tutti i $p$-sylow sono coniugati, e poichè $H$ è normale, se ne contiene 1, deve contenerli tutti. Quindi se esso è unico in $H$ lo sarà anche in $A_4$.

Ho detto cose assurde pure questa volta?