Problemi teoria dei gruppi

[mistake89]

Volevo chiedervi se un esercizio del genere possa essere svolto in questo modo oppure mi sto perdendo qualche passaggio.
Dimostrare che un gruppo $G$ di ordine $300$ non è semplice.

Per il teorema di sylow sappiamo che $G$ ammette $2$-sylow, $3$-sylow e $5$-sylow.
Verifico quanti $5$-sylow ci sono. il loro numero deve dividere $3*2^2$ ed essere congruo ad $1$, $mod5$. Quindi $s_5=1$ e pertanto l'unico $5$-sylow è normale. Allora $G$ ammette un sottogruppo normale non banale e pertanto non è semplice.

Basta questo?

Grazie

[Studente Anonimo]

Sì, quello che dici ora è giusto, ma quello che dicevi prima è più semplice: $K$ è normale in $H$, quindi i coniugati di $K$ sono dentro $H$. I coniugati di $K$ hanno lo stesso ordine di $K$ e $K$ è l'unico sottogruppo di $H$ del suo ordine, quindi $K$ coincide coi suoi coniugati, cioè è normale.

[mistake89]

Credo di aver capito!

Grazie Martino