Problemi teoria dei gruppi
Volevo chiedervi se un esercizio del genere possa essere svolto in questo modo oppure mi sto perdendo qualche passaggio.
Dimostrare che un gruppo $G$ di ordine $300$ non è semplice.
Per il teorema di sylow sappiamo che $G$ ammette $2$-sylow, $3$-sylow e $5$-sylow.
Verifico quanti $5$-sylow ci sono. il loro numero deve dividere $3*2^2$ ed essere congruo ad $1$, $mod5$. Quindi $s_5=1$ e pertanto l'unico $5$-sylow è normale. Allora $G$ ammette un sottogruppo normale non banale e pertanto non è semplice.
Basta questo?
Grazie
Dimostrare che un gruppo $G$ di ordine $300$ non è semplice.
Per il teorema di sylow sappiamo che $G$ ammette $2$-sylow, $3$-sylow e $5$-sylow.
Verifico quanti $5$-sylow ci sono. il loro numero deve dividere $3*2^2$ ed essere congruo ad $1$, $mod5$. Quindi $s_5=1$ e pertanto l'unico $5$-sylow è normale. Allora $G$ ammette un sottogruppo normale non banale e pertanto non è semplice.
Basta questo?
Grazie
Risposte
Certo.
Grazie vict!
Dovresti discutere anche il caso $s_5=6$.
Ne approfitto per scrivere qualche dubbio che mi è sorto facendo problemi analoghi. Magari edito il titolo così da non rendere tutto dispersivo.
Provare che ogni gruppo di ordine $30$ ha un sottogruppo normale di ordine $3$ o $5$.
Analogamente rispetto a prima arrivo a dire che i $3$-sylow sono o $1$ (ed in tal caso il gruppo è normale) oppure $10$, mentre i $5$-sylow sono $1$ oppure $6$.
Credo per arrivare alla mia tesi debba mostrare che non possono esserci contemporaneamente $10$ $3$-sylow e $6$ $5$-sylow, ma non saprei come mostrar ciò.
Provare che ogni gruppo di ordine $30$ ha un sottogruppo normale di ordine $3$ o $5$.
Analogamente rispetto a prima arrivo a dire che i $3$-sylow sono o $1$ (ed in tal caso il gruppo è normale) oppure $10$, mentre i $5$-sylow sono $1$ oppure $6$.
Credo per arrivare alla mia tesi debba mostrare che non possono esserci contemporaneamente $10$ $3$-sylow e $6$ $5$-sylow, ma non saprei come mostrar ciò.
"Martino":
Dovresti discutere anche il caso $s_5=6$.
Effettivamente ho sbagliato a fare una moltiplicazione
Allora ci provo: se $s_5=6$ allora io so che l'indice di $N$ in $G$ è $6$ e poichè $300$ non divide $6!$ allora $N$ deve contenere un sottogruppo normale proprio di $G$ e pertanto anche in questo caso $G$ non è semplice.
"mistake89":Giusto per accennare a quello che ci sta sotto: l'azione sui laterali, siamo sempre lì
Allora ci provo: se $s_5=6$ allora io so che l'indice di $N$ in $G$ è $6$ e poichè 300 non divide $6!$ allora $N$ deve contenere un sottogruppo normale proprio di $G$ e pertanto anche in questo caso $G$ non è semplice.
Quanto al gruppo di ordine 30, puoi ragionare sugli elementi di ordine 5 e quelli di ordine 3.
Grazie Martino come sempre 
Ricordavo una particolare applicazione del teorema di Cayley e così ci ho provato
Quanto al gruppo di ordine 30 vedrò di pensarci un po' e vediamo che ne salta fuori. Grazie ancora
Ricordavo una particolare applicazione del teorema di Cayley e così ci ho provato
Quanto al gruppo di ordine 30 vedrò di pensarci un po' e vediamo che ne salta fuori. Grazie ancora
Posso proporre una mia soluzione al problema del gruppo di ordine 30? Giusto per vedere se ho colto.
Non riesco a ripetere un ragionamento analogo per provare che un gruppo di ordine $36$ non può essere semplice però...
Non riesco a ripetere un ragionamento analogo per provare che un gruppo di ordine $36$ non può essere semplice però...
Non riesco a ripetere un ragionamento analogo per provare che un gruppo di ordine $36$ non può essere semplice però...Prova ad agire sui laterali di un 3-Sylow!
Ho un pò di dubbi circa questo esercizio.
Sia $G$ un gruppo di ordine $231$, provare che l'$11$-sylow è centrale.
Allora $231=3*7*11$ quindi, se chiamo $H$ l'$11$-sylow esso sarà unico, quindi normale, ma essendo di ordine $p=11$ esso sarà ciclico ed in particolare abeliano.
quindi $H=Z(H)$.
Basta questo per asserire che $H$ è centrale?
Cioè, in linea generale, se ho $H$ sottogruppo di $G$, $Z(H)subZ(G)$?
Grazie ancora!
Sia $G$ un gruppo di ordine $231$, provare che l'$11$-sylow è centrale.
Allora $231=3*7*11$ quindi, se chiamo $H$ l'$11$-sylow esso sarà unico, quindi normale, ma essendo di ordine $p=11$ esso sarà ciclico ed in particolare abeliano.
quindi $H=Z(H)$.
Basta questo per asserire che $H$ è centrale?
Cioè, in linea generale, se ho $H$ sottogruppo di $G$, $Z(H)subZ(G)$?
Grazie ancora!
"mistake89":No.
$H=Z(H)$. Basta questo per asserire che $H$ è centrale?
Cioè, in linea generale, se ho $H$ sottogruppo di $G$, $Z(H)subZ(G)$?No. Pensa al gruppo simmetrico $S_n$. Se $n ge 3$ allora $Z(S_n)={1}$. Ma $S_n$ ne ha di sottogruppi abeliani!
Quando ti poni una domanda generale sui gruppi prova a chiederti se è vera per i gruppi che conosci.
E' vero!
Grazie Martino, ci penso ancora un pò allora a quel problema!
Grazie Martino, ci penso ancora un pò allora a quel problema!
Ho trovato questa proposizione che forse mi ha fatto venire un'idea.
Il centro di $H × K$ è $Z(H) × Z(K)$.
Allora se io ho il mio gruppo $G$ di ordine $231$ posso pensarlo anche come $G=ZZ_3xZZ_7xZZ_11$ a meno di isomorfismi.
Sono tutti ciclici ed in particolare abeliani quindi per la proposizione precedente ho che $Z(G)=G$, quindi in particolare l'$11$-sylow sarà centrale.
Può andare?
Il centro di $H × K$ è $Z(H) × Z(K)$.
Allora se io ho il mio gruppo $G$ di ordine $231$ posso pensarlo anche come $G=ZZ_3xZZ_7xZZ_11$ a meno di isomorfismi.
Sono tutti ciclici ed in particolare abeliani quindi per la proposizione precedente ho che $Z(G)=G$, quindi in particolare l'$11$-sylow sarà centrale.
Può andare?
"mistake89":
Allora se io ho il mio gruppo $G$ di ordine $231$ posso pensarlo anche come $G=ZZ_3xZZ_7xZZ_11$ a meno di isomorfismi.
No, puoi scrivere quello se sai a priori che il tuo $G$ è abeliano...
E' vero. Se riuscissi però a dimostrare che i vari $p$-sylow sono normali allora la dimostrazione di sopra dovrebbe funzionare, con qualche accorgimento. Per $7$-sylow e $11$-sylow è vero. Per il $3$-sylow ci devo lavorare un pò!
"mistake89":Certo. Il problema è che esiste un gruppo di ordine 231 in cui i 3-Sylow non sono normali (il prodotto diretto [tex]C_{11} \times (C_7 \rtimes C_3)[/tex], dove [tex]C_3[/tex] agisce su [tex]C_7[/tex] nel solo modo non banale possibile), quindi questa strada non porta alla soluzione.
Se riuscissi però a dimostrare che i vari $p$-sylow sono normali allora la dimostrazione di sopra dovrebbe funzionare, con qualche accorgimento.
PS. Una curiosità: dopo aver dimostrato che il 7-Sylow è normale e l'11-Sylow è centrale, usando il teorema di Schur-Zassenhaus non è difficile mostrare che gli unici gruppi di ordine 231 sono [tex]C_{231}[/tex] e [tex]C_{11} \times (C_7 \rtimes C_3)[/tex] con azione non banale di [tex]C_3[/tex] su [tex]C_7[/tex].
Ah ecco. Allora dovrò cercare un'altra strada anche se al momento sono a corto di idee.
Ti ringrazio per il PS, leggerò sicuramente ed il teorema suggerito anche se suppongo che sia oltre le mie capacità
Grazie mille!
Ti ringrazio per il PS, leggerò sicuramente ed il teorema suggerito anche se suppongo che sia oltre le mie capacità
Grazie mille!
Un'idea è considerare il
Se considerò il normalizzando di un $3$-Sylow posso concludere che contiene un sottogruppo normale non banale, poichè $231$ non divide $7!$...
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