Problema su estensioni

[rikytoro1]

Ciao a tutti!
ho un problema su trovare il grado di $Q(sqrt(7+(sqrt3)))$...io ho osservato che $sqrt(7+sqrt(3))$ è algebrico e tale estnsione è formata da tutte le espressioni polinomiali di $sqrt(7+sqrt(3))$...che una base è ${1,sqrt(7+sqrt(3))}$...e che quindi il grado è due...ma è sbagliato...come posso fare?..grazie!

[vict85]

"rikytoro":Ciao a tutti!
ho un problema su trovare il grado di $Q(sqrt(7+(sqrt3)))$...io ho osservato che $sqrt(7+sqrt(3))$ è algebrico e tale estnsione è formata da tutte le espressioni polinomiali di $sqrt(7+sqrt(3))$...che una base è ${1,sqrt(7+sqrt(3))}$...e che quindi il grado è due...ma è sbagliato...come posso fare?..grazie!

$Q(sqrt(7+(sqrt3)))$ è una estensione quadratica di $Q(sqrt(3))$ che è quadratica in $Q$ e quindi ha grado $4$.

[rikytoro1]

ok...ma quindi gli elementi della base di $(sqrt(7+sqrt(3)))$ sono $1,sqrt(3)$ e poi?...

[Studente Anonimo]

Ciao!

"rikytoro":ok...ma quindi gli elementi della base di $(sqrt(7+sqrt(3)))$ sono $1,sqrt(3)$ e poi?...

Il campo $QQ(sqrt(7+sqrt(3)))$ contiene $a=sqrt(7+sqrt(3))$ e $b=sqrt(3)$, che evidentemente sono linearmente indipendenti su $QQ$, quindi io proverei a dimostrare che ${1,a,b,ab}$ è una base (nota bene: "una base", non "la base"; le basi della tua estensione sono ovviamente infinite).

[laura.211]

ciao! Per trovare il grado dell'estensione puoi calcolare il polinomio minimo di $sqrt(7+sqrt(3))$ su $Q$. Il grado dell'estensione è proprio il grado di questo polinomio...non dimenticare però di verificare che il polinomio che trovi sia irriducibile su $Q$!

[vict85]

Il principio secondo cui ho detto che è di grado 4 sono i seguenti:
1) contiene una estensione di grado 2 e non è coincidente ad essa
2) esiste la catena di estensioni sopra citata che ha grado al più 4, in realtà ha proprio grado 4.
3) non è una estensione di grado 3 perché non avrebbe una sottoestensione di grado 2...

[rikytoro1]

ok..ora ho capito..grazie mille a tutti!