Problema esercizi algebra
Salve, mi presento che sono nuovo del forum, sono uno studente di informatica e come tale studio algebra a un livello diciamo bassino...prettamente il programma consiste in aritmetica in generale, gruppi, permutazioni, isomorfismi e poi altra roba che ancora devo ripassare, però ho i miei primi problemi sui gruppi. Spero possiate darmi una mano
1) Ricordando le proprietà che caratterizzano i sottogruppi determinare tutti i sottogruppi del gruppo (U12,x)
In questo caso nn ho problemi perchè il gruppo è relativamente piccolo e quindi prendo ogni suo elemento e genero il gruppo a partire da questo, però un altro esercizio mi dice di fare la stessa cosa con il gruppo (Z143,+) e qui ci sono 143 elementi...come posso fare??
2) Verificare quali fra i seguenti gruppi sono ciclici: U36,x Z209,+ ecc....
so che un gruppo è ciclico se un suo elemento genera tutto il gruppo...ma non credo che per Z209 debba provare finche non trovo un generatore che ha questa caratteristica...cioè magari si trova subito ... ma è possibile secondo voi che non si trovi proprio e quindi si facciano 209 tentativi a vuoto...dico "209" a caso...in Z209 magari c'è appunto...pero se capita un caso del genere in cui non c'è come si fa a dirlo subito.
Spero possiate aiutarmi.
Siccome le convenzioni nn sono mai lo stesse...tengo a precisare che Zm è l'insieme delle classi di congruenza modulo m.
Mentre Um è l'insieme degli invertibili di Zm ovvero degli elementi classe a tale che il MCD fra a e m è = 1.
Grazie
1) Ricordando le proprietà che caratterizzano i sottogruppi determinare tutti i sottogruppi del gruppo (U12,x)
In questo caso nn ho problemi perchè il gruppo è relativamente piccolo e quindi prendo ogni suo elemento e genero il gruppo a partire da questo, però un altro esercizio mi dice di fare la stessa cosa con il gruppo (Z143,+) e qui ci sono 143 elementi...come posso fare??
2) Verificare quali fra i seguenti gruppi sono ciclici: U36,x Z209,+ ecc....
so che un gruppo è ciclico se un suo elemento genera tutto il gruppo...ma non credo che per Z209 debba provare finche non trovo un generatore che ha questa caratteristica...cioè magari si trova subito ... ma è possibile secondo voi che non si trovi proprio e quindi si facciano 209 tentativi a vuoto...dico "209" a caso...in Z209 magari c'è appunto...pero se capita un caso del genere in cui non c'è come si fa a dirlo subito.
Spero possiate aiutarmi.
Siccome le convenzioni nn sono mai lo stesse...tengo a precisare che Zm è l'insieme delle classi di congruenza modulo m.
Mentre Um è l'insieme degli invertibili di Zm ovvero degli elementi classe a tale che il MCD fra a e m è = 1.
Grazie
Risposte
*edit* Zm = insieme delle classi resto modulo m
dovevo forse postare nella sezione università?
dovevo forse postare nella sezione università?
Per il primo puoi sfruttare il th. di Lagrange.
Per quanto riguarda il secondo, il gruppo additivo $\langle \mathbb{Z}_m, + \rangle$ è ciclico per ogni $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, in quanto generato da $\{1\}$ o da $\{-1\}$.
Invece il gruppo moltiplicativo $\langle U_m, \cdot \rangle$ è cilico se e soltanto se
Per quanto riguarda il secondo, il gruppo additivo $\langle \mathbb{Z}_m, + \rangle$ è ciclico per ogni $m \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$, in quanto generato da $\{1\}$ o da $\{-1\}$.
Invece il gruppo moltiplicativo $\langle U_m, \cdot \rangle$ è cilico se e soltanto se
- * $m = 1, 2, 4$, oppure
* $m = p^n$, dove $p$ è un primo dispari e $n \in \mathbb{N}$, oppure
*$m = 2 p^n$, dove $p$ è un primo dispari e $n \in \mathbb{N}$
[/list:u:2bhshkfg]
La dimostrazione di quest'ultimo fatto è piuttosto complessa...
grazie innanzitutto per avermi risposto...per il secondo tutto apposto, al livello di come faccio algebra io la prof nn chiederà quelle dimostrazioni se sono complicate, quindi si accontenterà della regola.
Il primo il teorema di Lagrange io l'ho nel seguente enunciato: Se G è un gruppo contenente n elementi e S è un suo sottogruppo contenente m elementi, allora n=mi, dove i è l'indice di S in G.
Detto ciò...come dovrei usarlo?
Il primo il teorema di Lagrange io l'ho nel seguente enunciato: Se G è un gruppo contenente n elementi e S è un suo sottogruppo contenente m elementi, allora n=mi, dove i è l'indice di S in G.
Detto ciò...come dovrei usarlo?
Sfruttando il th. di Lagrange e il fatto che ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico, puoi concludere che ogni sottogruppo di $\langle \mathbb{Z}_n, + \rangle$ è ciclico e ha ordine divisore di $n$.
L'ordine di $\langle \mathbb{Z}_{143}, + \rangle$ è $143$, dato che $143 = 11 \cdot 13$, i sottogruppi di $\langle \mathbb{Z}_{143}, + \rangle$ possono avere ordine pari a $1, 11, 13$ o $143$. Quindi, se non erro, direi che gli unici sottogruppi sono (ometto il $+$)
$\{0\}$ (gruppo ciclico generato da $0$, che ha ordine $1$ in $\mathbb{Z}_{143}$)
$\{0, 11, 22, \ldots, 132\}$ (gruppo ciclico generato da $11$, che ha ordine $13$ in $\mathbb{Z}_{143}$)
$\{0, 13, 26, \ldots, 130\}$ (gruppo ciclico generato da $13$, che ha ordine $11$ in $\mathbb{Z}_{143}$)
$\mathbb{Z}_{143}$
L'ordine di $\langle \mathbb{Z}_{143}, + \rangle$ è $143$, dato che $143 = 11 \cdot 13$, i sottogruppi di $\langle \mathbb{Z}_{143}, + \rangle$ possono avere ordine pari a $1, 11, 13$ o $143$. Quindi, se non erro, direi che gli unici sottogruppi sono (ometto il $+$)
$\{0\}$ (gruppo ciclico generato da $0$, che ha ordine $1$ in $\mathbb{Z}_{143}$)
$\{0, 11, 22, \ldots, 132\}$ (gruppo ciclico generato da $11$, che ha ordine $13$ in $\mathbb{Z}_{143}$)
$\{0, 13, 26, \ldots, 130\}$ (gruppo ciclico generato da $13$, che ha ordine $11$ in $\mathbb{Z}_{143}$)
$\mathbb{Z}_{143}$
ok adesso è tutto chiarissimo...ti ringrazio per tt le info
un ultima cosa...questo ragionamento che hai fatto per Zm vale anche per Um??
ancora una domanda...per Z30...ho problemi nel senso che 30=15x2 ma anche a 5x6 e 3x10 quindi devo scegliere solo uno di questi prodotti? se si quale e perche? oppure devo fare il ragionamento per ogni prodotto?
grazie
grazie
ecco un altro dubbio....scusate se tempesto di domande il post ma facendo esercizi capitano quelli che non so fare...quando invece (Q,+) e (Q,x) sono ciclici...con Q insieme dei razionali?
"jdluk87":
un ultima cosa...questo ragionamento che hai fatto per Zm vale anche per Um??
Non proprio, perché non per tutti gli $m \in \mathbb{N}$ $U_m$ è ciclico. Vale sempre il discorso sugli ordini.
"jdluk87":
ancora una domanda...per Z30...ho problemi nel senso che 30=15x2 ma anche a 5x6 e 3x10 quindi devo scegliere solo uno di questi prodotti? se si quale e perche? oppure devo fare il ragionamento per ogni prodotto?
$\langle \mathbb{Z}_{30}, + \rangle$ è ciclico ed ha ordine $30$, i suoi sottogruppi sono quindi ciclici e hanno ordine divisore di $30$. I divisori positivi di $30$ sono $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$ (spero di non essermi scordato di nessuno), pertanto i sottogruppi che cerchi saranno i gruppi ciclici generati dagli elementi di $\mathbb{Z}_{30}$ che hanno ordine $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$. Non so se mi sono spiegato...
"jdluk87":
ecco un altro dubbio....scusate se tempesto di domande il post ma facendo esercizi capitano quelli che non so fare...quando invece (Q,+) e (Q,x) sono ciclici...con Q insieme dei razionali?
$\langle \mathbb{Q}, + \rangle$ e $\langle \mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot \rangle$ non sono gruppi ciclici. Ricorda che $\langle \mathbb{Q}, \cdot \rangle$ non è un gruppo.
Z30,+ è ciclico ed ha ordine 30, i suoi sottogruppi sono quindi ciclici e hanno ordine divisore di 30 . I divisori positivi di 30 sono 1,2,3,5,6,10,15,30 (spero di non essermi scordato di nessuno), pertanto i sottogruppi che cerchi saranno i gruppi ciclici generati dagli elementi di Z30 che hanno ordine 1,2,3,5,6,10,15,30. Non so se mi sono spiegato...
questo è chiaro...quindi in questo caso per ogni elemento di Z30 mi genero il gruppo a partire da questo elemento e poi verifico l'ordine di questo gruppo, se è uno di quelli che sono anche divisori di 30 allora è un sottogruppo...credo sia giusto...quindi in 143 invece il discorso era piu semplice in quanto gli unici divisori di 143, che vanno da 1 a 143 sono 1, 143 stesso, 11 e 13 quindi si usava il teorema di lagrange?
ho detto bene?
questo è chiaro...quindi in questo caso per ogni elemento di Z30 mi genero il gruppo a partire da questo elemento e poi verifico l'ordine di questo gruppo, se è uno di quelli che sono anche divisori di 30 allora è un sottogruppo...credo sia giusto...quindi in 143 invece il discorso era piu semplice in quanto gli unici divisori di 143, che vanno da 1 a 143 sono 1, 143 stesso, 11 e 13 quindi si usava il teorema di lagrange?
ho detto bene?
Tutti i gruppi generati dagli elementi di $\mathbb{Z}_{30]$ sono sottogruppi di $\mathbb{Z}_{30}$, ovvero tutti gli elementi di $\mathbb{Z}_{30}$ hanno ordine divisibile per $30$.
Solo che, se non erro, elementi di $\mathbb{Z}_{30}$ con ordine uguale generano lo stesso sottogruppo. Ad esempio il sottogruppo generato da $2$ è lo stesso di quello generato da $4$, ed è pertanto inutile andare a considerarlo due volte.
Solo che, se non erro, elementi di $\mathbb{Z}_{30}$ con ordine uguale generano lo stesso sottogruppo. Ad esempio il sottogruppo generato da $2$ è lo stesso di quello generato da $4$, ed è pertanto inutile andare a considerarlo due volte.
ahh...sei un grande...adesso non ho piu problemi di alcun genere
ho un nuovo problema questa volta si tratta dei gruppi di permutazioni Sn, guardando gli appunti presi nn riesco a capire come ha fatto la prof a risolvere questo:
S9, quali sono i possibili ordini degli elementi?
poi ho scrito cosi....basta fare 9 come somma di due elementi
2+7
4+5
5+4
7+2
6+3
3+6
1+8
8+1
e poi sotto ho scritto che i possibili ordini sono
1....9, 10 dato da (2,3), 12 dato da (3,4) , 14 dato da (2,7), 15 dato da(3,5) e 20 dato da (5,4)
qualcuno sa farmi capire qual'è il procedimento corretto?
grazie
S9, quali sono i possibili ordini degli elementi?
poi ho scrito cosi....basta fare 9 come somma di due elementi
2+7
4+5
5+4
7+2
6+3
3+6
1+8
8+1
e poi sotto ho scritto che i possibili ordini sono
1....9, 10 dato da (2,3), 12 dato da (3,4) , 14 dato da (2,7), 15 dato da(3,5) e 20 dato da (5,4)
qualcuno sa farmi capire qual'è il procedimento corretto?
grazie
"jdluk87":
ho un nuovo problema questa volta si tratta dei gruppi di permutazioni Sn, guardando gli appunti presi nn riesco a capire come ha fatto la prof a risolvere questo:
S9, quali sono i possibili ordini degli elementi?
poi ho scrito cosi....basta fare 9 come somma di due elementi
2+7
4+5
5+4
7+2
6+3
3+6
1+8
8+1
e poi sotto ho scritto che i possibili ordini sono
1....9, 10 dato da (2,3), 12 dato da (3,4) , 14 dato da (2,7), 15 dato da(3,5) e 20 dato da (5,4)
qualcuno sa farmi capire qual'è il procedimento corretto?
grazie
I possibili ordini sono dati dai minimi comuni multipli degli ordini dei cicli disgiunti che formano la permutazione.
Cominciamo quindi a mettere tutti gli elementi da 1 a 9.
I numeri primi inferiori a 9 sono 2,3,5,7.
Quindi dobbiamo aggiungere a 1...9 anche:
$10 = |(gamma_1 gamma_2)(gamma_3 gamma_4 gamma_5 gamma_6 gamma_7)|$ o $|(gamma_1 gamma_2)(gamma_3 gamma_4)(gamma_5 gamma_6 gamma_7 gamma_8 gamma_9)|$
$12 = |(gamma_1 gamma_2 gamma_3 gamma_4)(gamma_5 gamma_6 gamma_7)|$ o $|(gamma_1 gamma_2 gamma_3 gamma_4)(gamma_5 gamma_6 gamma_7)(gamma_8 gamma_9)|$
$14 = |(gamma_1 gamma_2)(gamma_3 gamma_4 gamma_5 gamma_6 gamma_7 gamma_8 gamma_9)|$
$15 = |(gamma_1 gamma_2 gamma_3)(gamma_4 gamma_5 gamma_6 gamma_7 gamma_8)|$
$20 = |(gamma_1 gamma_2 gamma_3 gamma_4)(gamma_5 gamma_6 gamma_7 gamma_8 gamma_9)|$
Ora spiego il metodo del tuo professore... Perché solo le coppie? Semplicemente perché 2+3+5 (cioè la più piccola somma di elementi formati da 3 primi) ha una somma maggiore di 9. Quindi qualsiasi somma di 3 elementi minori di 9 ha almeno 2 elementi con un primo in comune e quindi ha lo stesso minimo comune multiplo di 2 numeri coprimi tra loro (con somma minore di 9). Ad esempio 2+5+2 ha lo stesso minimo comune multiplo di 2+5.
Peraltro sarebbero bastate le somme 2+3 (questo è opzionale dato che il minimo comune multiplo è 6), 2+5, 2+7, 3+4, 3+5, 4+5 unite ai cicli disgiunti.
"Tipper":
Tutti i gruppi generati dagli elementi di $\mathbb{Z}_{30]$ sono sottogruppi di $\mathbb{Z}_{30}$, ovvero tutti gli elementi di $\mathbb{Z}_{30}$ hanno ordine divisibile per $30$.
Solo che, se non erro, elementi di $\mathbb{Z}_{30}$ con ordine uguale generano lo stesso sottogruppo. Ad esempio il sottogruppo generato da $2$ è lo stesso di quello generato da $4$, ed è pertanto inutile andare a considerarlo due volte.
Si esatto. Per ogni divisore di 30 $Z_{30}$ ha esattamente un sottogruppo (anch'esso ciclico).
Salve a tutti è la prima volta che scrivo su questo forum, ma più volte in passato ho usufruito di importanti nozioni.
Vengo al dunque ho problemi con un esercizio di matematica discreta riguardo gruppi e sottogruppi.
Allego il testo esercizio e le mie conclusioni.
Testo esercizio:
Si consideri, il gruppo $\mathbb{Z}_{15] = \mathbb{Z]$/$15\mathbb{Z]$ degli interi modulo 15.
(a) Determinare gli elementi di ordine 5 di $\mathbb{Z}_{15].
(b) Trovare i generatori di $\mathbb{Z}_{15].
(c) Trovare i sottogruppi di $\mathbb{Z}_{15].
Risoluzione mia:
(a) Gli elementi di ordine 5 di $\mathbb{Z}_{15]$ che ho trovato sono {3,6,9,12}
(b) I generatori di $\mathbb{Z}_{15]$ sono {1,2,4,7,8,11,13,14}
(c) I sottogruppi sono {0},{$\mathbb{Z}_{15]$}, {0,3,6,9,12},{0,3,5,6,9,10,12}
il prof però mi ha fatto notare che non è possibile avere un sottogruppo di 7 elementi per $\mathbb{Z}_{15]$ in quanto 7 non è un divisore di 15 facendo riferimento al teorema di Lagrange.
Sinceramente ho riletto più volte il testo del teorema di Lagrange ma non riesco a capire dove sia l'errore nella mia soluzione, purtroppo mi viene sempre molto difficile capire in profondità espressioni generiche, qualcuno potrebbe farmi un esempio pratico su questo o su un altro esempio per capire a fondo come applicare il Teorema di Lagrange, quanti sarebbero dovuti essere i sottogruppi del gruppo $\mathbb{Z}_{15]$?
Grazie per la disponibilità.
Edit:
ho editato cercando di usare i mathbb code spero di non aver sbagliato la sintassi
Vengo al dunque ho problemi con un esercizio di matematica discreta riguardo gruppi e sottogruppi.
Allego il testo esercizio e le mie conclusioni.
Testo esercizio:
Si consideri, il gruppo $\mathbb{Z}_{15] = \mathbb{Z]$/$15\mathbb{Z]$ degli interi modulo 15.
(a) Determinare gli elementi di ordine 5 di $\mathbb{Z}_{15].
(b) Trovare i generatori di $\mathbb{Z}_{15].
(c) Trovare i sottogruppi di $\mathbb{Z}_{15].
Risoluzione mia:
(a) Gli elementi di ordine 5 di $\mathbb{Z}_{15]$ che ho trovato sono {3,6,9,12}
(b) I generatori di $\mathbb{Z}_{15]$ sono {1,2,4,7,8,11,13,14}
(c) I sottogruppi sono {0},{$\mathbb{Z}_{15]$}, {0,3,6,9,12},{0,3,5,6,9,10,12}
il prof però mi ha fatto notare che non è possibile avere un sottogruppo di 7 elementi per $\mathbb{Z}_{15]$ in quanto 7 non è un divisore di 15 facendo riferimento al teorema di Lagrange.
Sinceramente ho riletto più volte il testo del teorema di Lagrange ma non riesco a capire dove sia l'errore nella mia soluzione, purtroppo mi viene sempre molto difficile capire in profondità espressioni generiche, qualcuno potrebbe farmi un esempio pratico su questo o su un altro esempio per capire a fondo come applicare il Teorema di Lagrange, quanti sarebbero dovuti essere i sottogruppi del gruppo $\mathbb{Z}_{15]$?
Grazie per la disponibilità.
Edit:
ho editato cercando di usare i mathbb code spero di non aver sbagliato la sintassi
allora ho rifatto l'esercizio, i punti 1) e 2) dovrebbero essere giusti...
non capisco allora perché non ti riesca il terzo, hai sicuramente sbagliato a far dei conti!
Il gruppo ciclico è generato da un elemento ed appare quindi nella forma (nel caso del nostro gruppo $(Z,+)$) $ = { ng | n in Z }$
visto che hai trovato già i generatori del tuo gruppo, prendi gli altri elementi e di ciascuno calcola il periodo ed il gruppo da essi generati; Per calcolare il periodo (come afferma il teorema di Lagrange), devi cercarlo nei divisori dell'ordine di $Z_15$ ovvero ${3,5,15 }$
ti faccio un esempio prendendo il primo elemento non generatore:
$<3> = { 3n | n in Z }$ = $ {0,3,6,9,12 }$
se qualcosa non ti è chiara chiedi
non capisco allora perché non ti riesca il terzo, hai sicuramente sbagliato a far dei conti!
Il gruppo ciclico è generato da un elemento ed appare quindi nella forma (nel caso del nostro gruppo $(Z,+)$) $
visto che hai trovato già i generatori del tuo gruppo, prendi gli altri elementi e di ciascuno calcola il periodo ed il gruppo da essi generati; Per calcolare il periodo (come afferma il teorema di Lagrange), devi cercarlo nei divisori dell'ordine di $Z_15$ ovvero ${3,5,15 }$
ti faccio un esempio prendendo il primo elemento non generatore:
$<3> = { 3n | n in Z }$ = $ {0,3,6,9,12 }$
se qualcosa non ti è chiara chiedi
Ciao grazie per la risposta rapidissima, le mie perplessità sono riguardo i sottogruppi la mia risposta all'esercizio è il risultato del seguente ragionamento:
- la classe di resto 0 è un sottogruppo di $\mathbb {Z}{15]$;
- il gruppo $\mathbb {Z}{15]$ è un "sottogruppo" di $\mathbb {Z}{15]$;
- i divisori di ordine 5 di $\mathbb {Z}{15]$ sono un sottogruppo di $\mathbb {Z}{15]$;
- il sottogruppo di divisori di ordine 5 e divisori di altro ordine di $\mathbb {Z}{15]$ sono un sottogruppo di $\mathbb {Z}{15]$;
e quindi sono giunto alla conclusione che i sottogruppi fossero quelli che ho indicato nel punto c.
Facendo riferimento al tuo esempio se prendo 5 tra i divisori di $\mathbb {Z}{15]$
avrò <5>={5n|n∈Z} = {0,5,10} per questo motivo l'ultimo sottrogruppo indicato da me nell'esercizio contiene 7 elementi;
Altra domanda in totale quanti dovrebbero essere i sottogruppi da elencare?
Grazie ancora per la disponibilità-
- la classe di resto 0 è un sottogruppo di $\mathbb {Z}{15]$;
- il gruppo $\mathbb {Z}{15]$ è un "sottogruppo" di $\mathbb {Z}{15]$;
- i divisori di ordine 5 di $\mathbb {Z}{15]$ sono un sottogruppo di $\mathbb {Z}{15]$;
- il sottogruppo di divisori di ordine 5 e divisori di altro ordine di $\mathbb {Z}{15]$ sono un sottogruppo di $\mathbb {Z}{15]$;
e quindi sono giunto alla conclusione che i sottogruppi fossero quelli che ho indicato nel punto c.
Facendo riferimento al tuo esempio se prendo 5 tra i divisori di $\mathbb {Z}{15]$
avrò <5>={5n|n∈Z} = {0,5,10} per questo motivo l'ultimo sottrogruppo indicato da me nell'esercizio contiene 7 elementi;
Altra domanda in totale quanti dovrebbero essere i sottogruppi da elencare?
Grazie ancora per la disponibilità-
vediamo se ho capito e riesco ad aiutarti:
partendo dalle definizioni: Un gruppo si dice ciclico se esiste un elemento $g in G$ tale che $G=$, poi sappiamo che ogni sottogruppo di un gruppo ciclico è ciclico; quindi dobbiamo trovare un generatore; in realtà tutti gli elementi di un gruppo ciclico sono generatori di sottogruppi ciclici; alcuni possono essere sottogruppi banali, altri totali... nel tuo esercizio dovresti prendere tutti gli elementi del tuo $Z_15$ e costruirti il gruppo relativo generato da quell'elemento; scopriresti che $1,2,4,7,8,11,13,14$ generano proprio $Z_15$ mentre ad esempio $<5>$ genera proprio il sottogruppo che hai identificato tu... quindi in definitiva (spero di essere stato abbastanza comprensibile) i sottogruppi di $Z_15$ (tralasciando quello banale e quello totale) sono quelli generati da $<3>$ che coincide con quello generato da $<6>$ da $<9>$ e da $<12>$ e quello generato da $<5>$ che coincide con $<10>$;
provaci e se hai dubbi posta pure...
partendo dalle definizioni: Un gruppo si dice ciclico se esiste un elemento $g in G$ tale che $G=
provaci e se hai dubbi posta pure...
[mod="Martino"]@EyesOfDarkness: per favore la prossima volta apri un nuovo topic, non usare i topic già aperti da altri. Grazie.[/mod]
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