Primi esercizi sulle funzioni
Buongiorna a tutti, tra gli argomenti per il mio prossimo esame ci sono anche le funzioni.
Utilizzerò quindi questo topic per tutti i dubbi sull'argomento.
Devo determinare quali delle seguenti relazioni sono funzioni:
$R={(a,b) in QQ X QQ - {0} : a/b in ZZ} $ ---> no funzione $(6,3) ^^ (6,2)$
$S={(a,b) in QQ X QQ - {0} : a/b in {1}} $ --->Si, funzione
$T={(a,b) in QQ-{0} X QQ - {0} : a/b in {1}} $ ----> Si, funzione
$U={(a,b) in NN X NN} : a=b^2} $ --->No funzione $(1,1) ^^ (1,-1)$
$V={(a,b) in NN X NN} : a^2=b} $ --->Si funzione.
corrette?
Utilizzerò quindi questo topic per tutti i dubbi sull'argomento.
Devo determinare quali delle seguenti relazioni sono funzioni:
$R={(a,b) in QQ X QQ - {0} : a/b in ZZ} $ ---> no funzione $(6,3) ^^ (6,2)$
$S={(a,b) in QQ X QQ - {0} : a/b in {1}} $ --->Si, funzione
$T={(a,b) in QQ-{0} X QQ - {0} : a/b in {1}} $ ----> Si, funzione
$U={(a,b) in NN X NN} : a=b^2} $ --->No funzione $(1,1) ^^ (1,-1)$
$V={(a,b) in NN X NN} : a^2=b} $ --->Si funzione.
corrette?
Risposte
Ciao Pozzetto,
provo a ragionare con te con la consapevolezza che probabilmente ne so meno di te...
cerco di tradurre la prima relazione
l'emento $a$, appartenente ai numeri razionali, è in relazione con l'elemento $b$, anch'esso appartenente ai numeri razionali, ma non nullo, se il loro rapporto è un numero intero. Trovi subito un controesempio in cui $a$ (6) è in relazione con molti $b$: 3; 2 ma anche 1, 6 per rimanere tra i naturali, ma potremmo aggiungere $1/2$, $1/5$, $-1/10$ e così via...
Qui invece non basta che il loro rapporto sia un intero, ma che sia 1;
quindi $2$ sarà in relazione solo con $2$, $-1/5$ con $-1/5$ e così via, ciascun $a$ avrà un corrispondente $b$, il problema nasce quando $a=0$
Qui ci togliamo il problema precedente: diciamo che $a$ non può essere 0, l'insieme in cui lo andiamo a prendere ($QQ-{0}$) esclude lo 0 e siamo a posto
Spero di aver interpretato bene, in caso contrario perdonami er il tempo che ti ho fatto perdere.
provo a ragionare con te con la consapevolezza che probabilmente ne so meno di te...
cerco di tradurre la prima relazione
"Pozzetto":
$R={(a,b) in QQ X QQ - {0} : a/b in ZZ} $ ---> no funzione $(6,3) ^^ (6,2)$
l'emento $a$, appartenente ai numeri razionali, è in relazione con l'elemento $b$, anch'esso appartenente ai numeri razionali, ma non nullo, se il loro rapporto è un numero intero. Trovi subito un controesempio in cui $a$ (6) è in relazione con molti $b$: 3; 2 ma anche 1, 6 per rimanere tra i naturali, ma potremmo aggiungere $1/2$, $1/5$, $-1/10$ e così via...
"Pozzetto":
$S={(a,b) in QQ X QQ - {0} : a/b in {1}} $ --->Si, funzione
Qui invece non basta che il loro rapporto sia un intero, ma che sia 1;
quindi $2$ sarà in relazione solo con $2$, $-1/5$ con $-1/5$ e così via, ciascun $a$ avrà un corrispondente $b$, il problema nasce quando $a=0$
"Pozzetto":[/quote]
$T={(a,b) in QQ-{0} X QQ - {0} : a/b in {1}} $ ----> Si, funzione
Qui ci togliamo il problema precedente: diciamo che $a$ non può essere 0, l'insieme in cui lo andiamo a prendere ($QQ-{0}$) esclude lo 0 e siamo a posto
Spero di aver interpretato bene, in caso contrario perdonami er il tempo che ti ho fatto perdere.
Per la seconda e la terza hai fatto un errore di distrazione (spero): non è come chiedere se c'è l'inverso, è come chiedere se è possibile, dividendo per un numero, ottenere uno. Ma allora $ a $ è in relazione coi soli $ b=a $, perché diviso per qualsiasi altro numero non farebbe uno, men che meno per l'inverso!
EDIT: RIleggendo mi rendo conto di non essere stato molto chiaro: devi dividere e non moltiplicare. Se moltiplicassi, allora sarebbe l'inverso, se dividi invece cerchi l'inverso dell'inverso, ovvero il numero stesso.
EDIT2: Mi sono accorto che nella relazione $ U $ hai scritto che non è una funzione perché ad esempio $ (1,1) ^^ (1,-1) $, ma stai attento: gli elementi devono essere scelti in $ NN $!
EDIT: RIleggendo mi rendo conto di non essere stato molto chiaro: devi dividere e non moltiplicare. Se moltiplicassi, allora sarebbe l'inverso, se dividi invece cerchi l'inverso dell'inverso, ovvero il numero stesso.
EDIT2: Mi sono accorto che nella relazione $ U $ hai scritto che non è una funzione perché ad esempio $ (1,1) ^^ (1,-1) $, ma stai attento: gli elementi devono essere scelti in $ NN $!
Certo Frink!
Ho letto quel che volevo leggere, avevo in mente una relazione e ho visto quella.
Ho letto quel che volevo leggere, avevo in mente una relazione e ho visto quella.
Approfitto della lucidità di Frink, per controllare anche U e V
Allora U dice che $a$ è in relazione con $b$ se è uguale al suo quadrato, ma non tutti i naturali sono quadrati perfetti di altri naturali, in altre parole se $a=3$ non ha un corrispondente $b$, $sqrt3!inNN$
Riguardo V, essa dice che $a$ è in relazione con $b$ se $b$ è il quadrato di $a$, di conseguenza
$0 ->0$
$1 ->1$
$2 ->4$
$3 ->9$
e così via
in altri termini tutti gli $a$ hanno un corrispondente $b$, ma non tutti gli elementi dell'insieme di arrivo sono "colpiti".
"Pozzetto":
$U={(a,b) in NN X NN} : a=b^2} $ --->No funzione $(1,1) ^^ (1,-1)$
$V={(a,b) in NN X NN} : a^2=b} $ --->Si funzione.
Allora U dice che $a$ è in relazione con $b$ se è uguale al suo quadrato, ma non tutti i naturali sono quadrati perfetti di altri naturali, in altre parole se $a=3$ non ha un corrispondente $b$, $sqrt3!inNN$
Riguardo V, essa dice che $a$ è in relazione con $b$ se $b$ è il quadrato di $a$, di conseguenza
$0 ->0$
$1 ->1$
$2 ->4$
$3 ->9$
e così via
in altri termini tutti gli $a$ hanno un corrispondente $b$, ma non tutti gli elementi dell'insieme di arrivo sono "colpiti".
"gio73":
in altri termini tutti gli $a$ hanno un corrispondente $b$, ma non tutti gli elementi dell'insieme di arrivo sono "colpiti".
Che tecnicamente sarebbe a dire che è funzionale, ovunque definita e iniettiva ma non suriettiva, giusto?
Mi sembrano le parole giuste, per renderla anche suriettiva dovremmo "ritagliare" l'insieme di arrivo lasciandoci solo i quadrati perfetti.
Dalla tua risposta deduco che non ho preso svarioni, isn't it?
Dalla tua risposta deduco che non ho preso svarioni, isn't it?
Direi proprio di no! Chiedevo solo un chiarimento, ogni tanto mi perdo sulla condizione della "funzionalità" 
Guarda che mi sa che fra noi quello preparato sei tu, senza scherzi.
ad ogni modo cercando su wiki si trova
Un funzionale è una legge o corrispondenza fra funzioni e numeri. Una funzione è una legge o corrispondenza fra numeri e numeri. In pratica la differenza fra funzione e funzionale consiste nel fatto che le funzioni associano a dei numeri altri numeri, mentre i funzionali associano a funzioni dei numeri.
ad ogni modo cercando su wiki si trova
Un funzionale è una legge o corrispondenza fra funzioni e numeri. Una funzione è una legge o corrispondenza fra numeri e numeri. In pratica la differenza fra funzione e funzionale consiste nel fatto che le funzioni associano a dei numeri altri numeri, mentre i funzionali associano a funzioni dei numeri.
Mmmh, non conoscevo i funzionali, io parlavo di Condizione di Funzionalità, ossia le condizioni secondo cui una funzione lo è per davvero:
-ovunque definita
-ad ogni elemento ne associa uno solo
Tutto qui! Se sono preparato è merito dell'esame di Algebra che ho dato questo appello, vedremo tra qualche anno
-ovunque definita
-ad ogni elemento ne associa uno solo
Tutto qui! Se sono preparato è merito dell'esame di Algebra che ho dato questo appello, vedremo tra qualche anno
Confermo tutto quanto detto prima.
In effetti sulla $U$ avevo fatto confusione io sul dominio della funzione, quindi hai ragione, risulta non essere una funzione...
In effetti sulla $U$ avevo fatto confusione io sul dominio della funzione, quindi hai ragione, risulta non essere una funzione...
Approfitto del topic per chiedere una dimostrazione di iniettività
$f:NN X NN rarr QQ^(>=0)$ data da $f(n,m)=n/(n+m+1)$ dimostrare se $f$ è iniettiva, suriettiva e biettiva.
Per HP:
$f(n,m)=f(\bar n, \bar m) rArr (n,m)=(\bar n, \bar m)$
Sviluppando ho:
$n(\bar m +1)=\bar n(m+1)$, ora però non saprei come continuare per arrivare alla mia tesi....
Posso comunque dire che non è iniettiva perchè ad esempio $f(0,1)=f(0,-1)=0$ , ma vorrei capire come dimostrarlo formalmente...
$f:NN X NN rarr QQ^(>=0)$ data da $f(n,m)=n/(n+m+1)$ dimostrare se $f$ è iniettiva, suriettiva e biettiva.
Per HP:
$f(n,m)=f(\bar n, \bar m) rArr (n,m)=(\bar n, \bar m)$
Sviluppando ho:
$n(\bar m +1)=\bar n(m+1)$, ora però non saprei come continuare per arrivare alla mia tesi....
Posso comunque dire che non è iniettiva perchè ad esempio $f(0,1)=f(0,-1)=0$ , ma vorrei capire come dimostrarlo formalmente...
Su $ U $ avevi sbagliato il dominio ma non è comunque funzione, perché come ha detto prima @gio73 non tutti gli elementi hanno corrispondenza, es. $ 3 $ non è quadrato di nessun naturale. Dovresti considerarne una restrizione per renderla funzione!
Un controesempio basta per dimostrare che non è iniettiva.
Comunque puoi notare che due frazioni sono uguali a meno di multipli, perciò ad esempio $ bar(n)=2n $, $ bar(m)=2m+1 $ allora
$ (2n)/(2n+2m+1+1)=(2n)/(2n+2m+2)=(2n)/(2(n+m+1))=n/(n+m+1) $
Un controesempio basta per dimostrare che non è iniettiva.
Comunque puoi notare che due frazioni sono uguali a meno di multipli, perciò ad esempio $ bar(n)=2n $, $ bar(m)=2m+1 $ allora
$ (2n)/(2n+2m+1+1)=(2n)/(2n+2m+2)=(2n)/(2(n+m+1))=n/(n+m+1) $
EDIT: ho corretto, errore di scrittura...La $U$ non è comunque una funzione....
Per la suriettività ho provato come segue:
Prendo un $QQ^(>=0)$ come $3/2$ allora $n=3$ ed $m=-2$ affinchè $f(n,m)=3/2$. Ma $n in NN$ però $m notin NN$, quindi $f$ non è suriettiva. Va bene come dimostrazione?
Prendo un $QQ^(>=0)$ come $3/2$ allora $n=3$ ed $m=-2$ affinchè $f(n,m)=3/2$. Ma $n in NN$ però $m notin NN$, quindi $f$ non è suriettiva. Va bene come dimostrazione?
Va bene, se vuoi il caso più generale è quello di $ n/m $ con $ n=m vv n>m $. Puoi dimostrare da te che nessuna di queste frazioni ha corrispondenza in $ NNxxNN $
Ora ho un problema di questo tipo: ho due insiemi, $A$ che è il dominio e $B$ il codominio.
Ad esempio $A={0,1}$ , $B={3}$ e devo determinare tutte le possibili funzioni $f:A rarr B$.
Sinceramente non me ne vengono in mente o non ho abbastanza fantasia...
Ad esempio $A={0,1}$ , $B={3}$ e devo determinare tutte le possibili funzioni $f:A rarr B$.
Sinceramente non me ne vengono in mente o non ho abbastanza fantasia...
A volte è conveniente fare la rappresentazione cartesiana del prodotto $AxxB$ e vedere quali relazioni sono anche funzioni, nel nostro caso, magari sbaglio io... , vedo una sola possibilità.
Da $A X B ={(0,3),(1,3)}$ cosa ottieni? che non è iniettiva ed è suriettiva ma non ottieni altro...
Direi che si tratta dell'unica funzione possibile: tutti gli elementi del dominio sono coinvolti e a ciascuno corrisponde un solo elemento del codominio.
In effetti hai ragione...
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