Presentazione prodotto semidiretto di due gruppi ciclici?
Ho due gruppi ciclici \(C_m\) e \(C_n\) di ordine \(m\) e \(n\) rispertivamente, di cui si danno i generatori \(a\) e \(b\) rispettivamente. Voglio cercare di avere un'idea sui prodotti semidiretti \(C_n \rtimes_\theta C_m\) con \(\theta : C_m \to \operatorname{Aut}(C_n)\) omomorfismo. La presentazione che inizia con le informazioni sugli ordini degli elementi, \(a^m = 1\) e \(b^n = 1\).
Gli elementi di \(\operatorname{Aut}(C_n)\) sono esattamente della forma \(\lambda g . g^k\) per \(k < n\) e \(k\) coprimo con \(n\). Poi se devo cercare gli omomorfismi \(C_m \to \operatorname{Aut}(C_n)\) devo anche rispettare dei vincoli sugli ordini: quindi ad esempio \(\left(\lambda g. g^k\right)^m = \lambda g . g^{k^m}\) deve essere l'identità (cioè \(k^m \equiv 1 \mod n\)). Solo questo? Se sì, adesso penso che basti dire quale \(a^k\) è \(\theta_b(a)\). Quindi la presentazione per ora sarebbe: \[\left\langle a, b \mid a^m = b^n = 1, \theta_b(a) = a^k, \dots\right\rangle\] Mi aiutate a migliorare la cosa?
Gli elementi di \(\operatorname{Aut}(C_n)\) sono esattamente della forma \(\lambda g . g^k\) per \(k < n\) e \(k\) coprimo con \(n\). Poi se devo cercare gli omomorfismi \(C_m \to \operatorname{Aut}(C_n)\) devo anche rispettare dei vincoli sugli ordini: quindi ad esempio \(\left(\lambda g. g^k\right)^m = \lambda g . g^{k^m}\) deve essere l'identità (cioè \(k^m \equiv 1 \mod n\)). Solo questo? Se sì, adesso penso che basti dire quale \(a^k\) è \(\theta_b(a)\). Quindi la presentazione per ora sarebbe: \[\left\langle a, b \mid a^m = b^n = 1, \theta_b(a) = a^k, \dots\right\rangle\] Mi aiutate a migliorare la cosa?
Risposte
Gli automorfismi di \(C_n\) corrispondono all'elevare a una potenza coprima con $n$ il generatore \(g_n\) di $C_n$; ma poi per costruire il prodotto semidiretto stai coequalizzando l'azione di uno di questi automorfismi, con l'azione "di coniugio", cioè (piu formalmente) stai considerando il pushout di gruppi
\[\begin{CD}
C_n\cdot C_m @>\gamma>> C_n\ast C_m\\
@V\theta'VV @VVV \\
C_m @>>> C_n\ltimes_\theta C_m
\end{CD}\] dove \(C_n\cdot C_m\) è il coprodotto di $n$ copie di $C_m$, dove \(\theta'\) è indotta dall'azione \(\theta\) nel modo ovvio, e dove \(\gamma : C_n\cdot C_m \to C_n\ast C_m\) manda un elemento \((h,k)\in C_n\cdot C_m\) nella [classe di equivalenza della] parola \(h^{-1}kh\) nel gruppo libero.
Stai cioè presentando \(C_n\ltimes_\theta C_m\) come \(\langle h,k\mid h^n,k^m,\theta(h,k)^{-1}\gamma(h,k)\rangle\).
\[\begin{CD}
C_n\cdot C_m @>\gamma>> C_n\ast C_m\\
@V\theta'VV @VVV \\
C_m @>>> C_n\ltimes_\theta C_m
\end{CD}\] dove \(C_n\cdot C_m\) è il coprodotto di $n$ copie di $C_m$, dove \(\theta'\) è indotta dall'azione \(\theta\) nel modo ovvio, e dove \(\gamma : C_n\cdot C_m \to C_n\ast C_m\) manda un elemento \((h,k)\in C_n\cdot C_m\) nella [classe di equivalenza della] parola \(h^{-1}kh\) nel gruppo libero.
Stai cioè presentando \(C_n\ltimes_\theta C_m\) come \(\langle h,k\mid h^n,k^m,\theta(h,k)^{-1}\gamma(h,k)\rangle\).
Mi viene in mente il prodotto libero con amalgamazione, ma devo controllare comunque.
Sì, nell'alto medioevo i pushout erano a volte chiamati "somme amalgamate" https://ncatlab.org/nlab/show/free+product+of+groups
La nomenclatura viene da Gabriel e Zisman, e dalla dimostrazione del teorema di Van Kampen per gruppoidi fondamentali (a loro volta, penso loro la prendano da Bourbaki, e in particolare da JP Serre).
La nomenclatura viene da Gabriel e Zisman, e dalla dimostrazione del teorema di Van Kampen per gruppoidi fondamentali (a loro volta, penso loro la prendano da Bourbaki, e in particolare da JP Serre).
Non lo sapevo. Una vita fa oramai ho visto questa cosa come pushout nel contesto di SVK. Adesso ci sono dentro per un altro motivo.
Comunque. Non ho capito cosa sarebbe "il coprodotto di \(n\) copie di \(C_m\)"? Il coprodotto di gruppi non è il prodotto libero? O è una roba tipo “dependent pair types” (mi sembra questo il caso)? Che operazione avrebbe?
Ma in generale \(N \rtimes_\phi H\) è il pushout di cosa? (Vedo poi che è la costruzione di Grothendieck di un certo funtore. Magari, se capisco sta cosa, la proprietà universale sbuca fuori...)
Comunque. Non ho capito cosa sarebbe "il coprodotto di \(n\) copie di \(C_m\)"? Il coprodotto di gruppi non è il prodotto libero? O è una roba tipo “dependent pair types” (mi sembra questo il caso)? Che operazione avrebbe?
Ma in generale \(N \rtimes_\phi H\) è il pushout di cosa? (Vedo poi che è la costruzione di Grothendieck di un certo funtore. Magari, se capisco sta cosa, la proprietà universale sbuca fuori...)
"Indrjo Dedej":Non ti sarai messo a fare teoria dei gruppi?! Che spreco del tuo e dell'altrui tempo...
Non lo sapevo. Una vita fa oramai ho visto questa cosa come pushout nel contesto di SVK. Adesso ci sono dentro per un altro motivo.
Comunque. Non ho capito cosa sarebbe "il coprodotto di \(n\) copie di \(C_m\)"? Il coprodotto di gruppi non è il prodotto libero? O è una roba tipo “dependent pair types” (mi sembra questo il caso)? Che operazione avrebbe?E' una eccelsa banalità (o meglio, una tecnica standard in algebra categoriale per introdurre la nozione di categoria protomodulare e di prodotto semidiretto, vedi la Def. 32 qui): una azione di gruppo di $G$ su $H$, mediante omomorfismi di $H$, consiste di una famiglia di omomorfismi di gruppo \(\theta_g : H\to H\), una per ogni elemento di $H$; solitamente denoti questo con \(g\cdot\_ : H\to H\), che manda \(h\in H\) in \(g\cdot h\in H\), o con qualche simbolo di simile, no? Beh, la proprietà universale di un coprodotto dice che dare \(\{\theta_g : H\to H\mid g\in G\}\) è esattamente uguale a dare un unico omomorfismo di gruppi \(\hat\theta : \sum_{g\in G} H \to H\), che agisce come \(\theta_g\) quando ristretto (=precomposto) con la $g$-esima mappa del cocono iniziale del coprodotto \(\sum_{g\in G} H\); del resto, ora, il coprodotto nella categoria dei gruppi è il "prodotto libero" (cioè la riduzione modulo le solite relazioni delle parole generate dall'alfabeto \(G\sqcup H\)), cosicché un'azione di $G$ su $H$ mediante automorfismi altro non è che un unico omomorfismo di gruppi dall'oggetto \({\huge\ast}_{g\in G} H\) verso $H$.
Questo è vantaggioso perché stai operando sempre internamente alla tua categoria, in contrasto alla solita presentazione deficiente [nel senso di "mancante"] di un'azione di gruppo come \(\theta : G\times H\to H\), dove \(\theta\) non è un omomorfismo. Ti rimando al paper di Bourn-Janelidze per maggiori informazioni, o anche al libro https://link.springer.com/book/10.1007/ ... 19-57219-2
Incidentalmente, in una categoria qualsiasi \(\mathcal C\), dato un insieme $A$ di indici e un oggetto $X$, la somma \(A\cdot X = \sum_{a\in A} X\) ha un nome, si chiama la copotenza di $X$ per $A$, e \(-\cdot X\) realizza la proprietà universale di essere un aggiunto sinistro a \(\mathcal C(X,-)\). La definizione su nLab è data più in generale per categorie arricchite su una base, ma per categorie "classiche", cioè arricchite su \(\sf Set\), "avere copotenze" è una (estremamente blanda) condizione di cocompletezza, dato che uno dimostra per unicità degli aggiunti che la copotenza \(A\cdot X\) esiste se e solo se esiste il coprodotto \(\sum_{a\in A} X\), di $X$ tenuto sempre uguale, e iterato $|A|$ volte. Borceux, tomo II, nel capitolo sulle categorie arricchite, contiene esattamente questo statement, ti rimando lì.
Ma in generale \(N \rtimes_\phi H\) è il pushout di cosa?Nelle notazioni di sopra, dovrebbe essere chiaro che cos'è il pushout di gruppi
\[ \begin{CD} C_n\cdot C_m @>\gamma>> C_n\ast C_m\\ @V\theta'VV @VVV \\ C_m @>>> C_n\ltimes_\theta C_m \end{CD} \] La freccia verticale a sinistra è proprio l'omomorfismo definito dalla copotenza \(C_n\cdot C_m ={\huge\ast}_{x\in C_n}C_m \), mentre per dare la mappa \(\gamma\) è sufficiente specificare dove la copia \(x\)-esima di $C_m$ viene mappata, per ogni $x$ in $C_n$; del resto, questo è facile, perché la definizione di prodotto semidiretto consiste proprio nel coequalizzare l'azione specificata da \(\theta\) identificandola a quella di coniugio, vedi la pagina di esempi di Wiki: \(\gamma(x,y) = x^{-1}yx\), elemento che ha perfettamente senso, come (classe di equivalenza di una) parola di \(C_n\ast C_m\).
(Vedo poi che è la costruzione di Grothendieck di un certo funtore. Magari, se capisco sta cosa, la proprietà universale sbuca fuori...)Anche questa è una eminente banalità: indica con \(\sf G\) la categoria con un solo oggetto \(\bullet\) a cui $G$ corrisponde; allora l'azione \(\theta\) corrisponde a un funtore \(\theta : {\sf G}\to {\sf Cat}\), che fattorizza come \(\bar\theta : {\sf G}\to {\sf Grp}\) lungo il funtore \({\sf Grp}\to {\sf Cat}\) che guarda ogni gruppo come una categoria. Allora, la categoria degli elementi di \(\bar\theta\) (ossia, quella di \(\theta\)) è a sua volta una categoria con un solo oggetto, ed è precisamente il prodotto semidiretto \(G\ltimes_\theta H\), di modo che \(G\ltimes_\theta H\) appare come il pullback
\[\begin{CD}
G\ltimes_\theta H @>>> {\sf Cat}_{*,\ell} \\
@VVV @VVUV \\
{\sf G} @>>\theta> {\sf Cat}
\end{CD}\] di \(\theta\) lungo la fibrazione classificante.
Non ti sarai messo a fare teoria dei gruppi?! Che spreco del tuo e dell'altrui tempo...
Non è che esattamente mi diverta classificare i gruppi finiti, ma prima o poi bisogna dare gli esami.
Ok, sì, è una domanda scema, non avevo voglia di pensare troppo quel giorno.
E' una eccelsa banalità (o meglio, una tecnica standard in algebra categoriale per introdurre la nozione di categoria protomodulare e di prodotto semidiretto, vedi la Def. 32 qui): una azione di gruppo di $G$ su $H$, mediante omomorfismi di $H$, consiste di una famiglia di omomorfismi di gruppo \(\theta_g : H\to H\), una per ogni elemento di $H$; solitamente denoti questo con \(g\cdot\_ : H\to H\), che manda \(h\in H\) in \(g\cdot h\in H\), o con qualche simbolo di simile, no? Beh, la proprietà universale di un coprodotto dice che dare \(\{\theta_g : H\to H\mid g\in G\}\) è esattamente uguale a dare un unico omomorfismo di gruppi \(\hat\theta : \sum_{g\in G} H \to H\), che agisce come \(\theta_g\) quando ristretto (=precomposto) con la $g$-esima mappa del cocono iniziale del coprodotto \(\sum_{g\in G} H\); del resto, ora, il coprodotto nella categoria dei gruppi è il "prodotto libero" (cioè la riduzione modulo le solite relazioni delle parole generate dall'alfabeto \(G\sqcup H\)), cosicché un'azione di $G$ su $H$ mediante automorfismi altro non è che un unico omomorfismo di gruppi dall'oggetto \({\huge\ast}_{g\in G} H\) verso $H$.
Questo è vantaggioso perché stai operando sempre internamente alla tua categoria, in contrasto alla solita presentazione deficiente [nel senso di "mancante"] di un'azione di gruppo come \(\theta : G\times H\to H\), dove \(\theta\) non è un omomorfismo. Ti rimando al paper di Bourn-Janelidze per maggiori informazioni, o anche al libro https://link.springer.com/book/10.1007/ ... 19-57219-2
Incidentalmente, in una categoria qualsiasi \(\mathcal C\), dato un insieme $A$ di indici e un oggetto $X$, la somma \(A\cdot X = \sum_{a\in A} X\) ha un nome, si chiama la copotenza di $X$ per $A$, e \(-\cdot X\) realizza la proprietà universale di essere un aggiunto sinistro a \(\mathcal C(X,-)\). La definizione su nLab è data più in generale per categorie arricchite su una base, ma per categorie "classiche", cioè arricchite su \(\sf Set\), "avere copotenze" è una (estremamente blanda) condizione di cocompletezza, dato che uno dimostra per unicità degli aggiunti che la copotenza \(A\cdot X\) esiste se e solo se esiste il coprodotto \(\sum_{a\in A} X\), di $X$ tenuto sempre uguale, e iterato $|A|$ volte. Borceux, tomo II, nel capitolo sulle categorie arricchite, contiene esattamente questo statement, ti rimando lì.
Grazie.
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