Potenze e radici di elementi di un gruppo

[haru1]

Salve,

ho il seguente esercizio. Ho fatto alcuni tentativi ma inconcludenti e speravo per cortesia in un qualche consiglio per procedere correttamente.

Se \(\displaystyle a^3 = e \) allora \(\displaystyle a \) ha una radice quadrata. (Suggerim.: prova con \(\displaystyle a^2 \))

Ho impostato l'esercizio in questo modo:
\(\displaystyle a^3 = e \Rightarrow a = (a^2)^2 \)
procedendo così:
\(\displaystyle aaa= e \Rightarrow \)
\(\displaystyle aa(a^{-1}a) = a^{-1} \Rightarrow \)
\(\displaystyle aa = a^{-1} \Rightarrow \)
\(\displaystyle a(a^{-1}a) = a^{-1}a^{-1} \Rightarrow \)
\(\displaystyle a = a^{-2} \Rightarrow \)
\(\displaystyle a = (a^2)^{-1} \)

però a questo punto non so più come proseguire, non so se ho impostato il tutto correttamente.

mille grazie.

[Gi81]

quando arrivi a $a = a^-1 a^-1$ hai finito: $a= (a^-1)^2$