Polinomio minimo

[Kroldar]

Sia $K$ un campo e $Z_p$ un sottocampo di $K$ (ovviamente $p$ è primo).
Sia $g$ un polinomio di grado $n$ a coefficienti in $Z_p$ che spezza completamente in $K$, cioè ha in $K$ esattamente $n$ radici distinte $alpha_1, ... , alpha_n$. Ad ogni $alpha_i$ si può associare un ideale dell'anello $Z_p[x]$, considerando l'insieme dei polinomi a coefficienti in $Z_p$ che si annullano in $alpha_i$. Ogni ideale, del resto, avrà un generatore, che chiamiamo $M_i$ (polinomio minimo). Tali ideali non sono necessariamente distinti, per cui i generatori non saranno tutti distinti. E' chiaro che $g$ appartiene a ciascuno dei suddetti ideali e dunque ogni $M_i$ divide $g$.

Sugli appunti presi a lezione, si dice che $g$ ha come fattori tutti e soli i polinomi minimi distinti. Quel "soli" non mi convince. Chi ci assicura che non ci possano mai essere anche altri fattori?
Inoltre, se per assurdo $g$ avesse una radice $alpha_i$ multipla, per esempio doppia, cosa accadrebbe? Il corrispondente polinomio minimo $M_i$ comparirebbe con molteplicità $2$ nella fattorizzazione di $g$? Se sì, come lo si può dimostrare? Altrimenti, cosa succede?

[j18eos]

Il teorema generale di Ruffini; i polinomi minimi sono [tex]m(x-\alpha_i)^{k_i}[/tex] con [tex]k_i[/tex] molteplicità della radice [tex]\alpha_i[/tex] e [tex]m\in\mathbb{Z}_p-\{0\}[/tex].

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Un fattore irriducibile di $g$ coincide col polinomio minimo dei suoi zeri. Inoltre l'argomento usuale dei polinomi minimi mostra che i polinomi minimi degli zeri di $g$ devono dividere $g$. E siccome $g$ ha radici distinte, i fattori irriducibili compaiono ognuno esattamente una volta.

[j18eos]

Eh già un polinomio irriducibile non può avere radici multiple -_- (perché gli esami di algebra non hanno lo scritto a Napoli uff...!)

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"j18eos":Eh già un polinomio irriducibile non può avere radici multiple -_- (perché gli esami di algebra non hanno lo scritto a Napoli uff...!)

Beh no, in realtà un polinomio irriducibile può avere radici multiple. Per esempio se $y$ è trascendente su $ZZ//pZZ=F_p$ il polinomio $X^p-y^p$ è irriducibile in $F_p(y^p)[X]$ ma si fattorizza in un campo di spezzamento come $(X-y)^p$.