Polinomi ciclotomici

[sifusi]

Ho notato che i polinomi ciclotomici possono essere di indice n>=1 nel senso che si ha P1(x),P2(x),...,Pn(x) con Pn(x) ennesimo polinomio ciclotomico Non sarebbe possibile trovare tramite le proprietà dei polinomi ciclotomici stessi una condizione per la quale l'indice è un numero primo? Io mi stò dando da fare....

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Sì, se $p$ è un numero primo allora il polinomio ciclotomico $p$-esimo è

$P(x) = x^(p-1)+x^(p-2)+...+x^2+x+1$

ed è irriducibile in $QQ[X]$. Quindi? Era questo che volevi sapere?

[sifusi]

vale anche il viceversa nel senso che se il polinomio ciclotomico Pn(X) contiene tutte le potenze n-1 esime fino al grado primo allora n è uguale a p primo Dunque il problema è capire quando il polinomio ciclotomico di grado n
contiene tutte le potenze n-1 esime fino a uno Ho provato con la definizione a esplicitare il polinomio sopraddetto per trovare una condizione su n ma i conti sono molto complicati Come posso fare?

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Il polinomio ciclotomico $n$-esimo si calcola a partire dalla fattorizzazione di $n$. Tu mi sembra che lo vuoi calcolare senza conoscere la fattorizzazione di $n$. Non sono capace di farlo, non ti so aiutare.