Polinomi

[Principe2]

dare una dimostrazione algebrica del seguente fatto: un polinomio di grado dispari ha almeno uno zero reale.

VIETATO utilizzare metodi analitici: è troppo banale in tal caso!

ciao ubermensch

[Ramo82]

per il teorema fondamentale dell'algebra se a(x) è un polinomio di grado n, esistono s<=n numeri complessi p tali che
a(x)=an(x-p1)^t1 * ... * (x-ps)^ts
con t1+...+ts=n ti= molteplicità della soluzione pi

ora per un altro teorema un polinomio a coefficienti reali insieme ad ogni sua radice complessa ammette la sua complessa coniugata.

Pertanto un polinomio d grado n dispari avendo n soluzioni (contando ogni soluzione con la sua molteplicità) o nn avrà soluzioni complesse o se ne avrà ne avrà un numero pari pertanto c'è almeno una soluzione reale

[WonderP1]

Dimostrazione logica e per nulle rigorosa.
Presa una funzione f polinomiale (quindi continua) di grado dispari allora
f =-inf.
f=+inf.
(viceversa se il coefficiente di grado maggiore è negativo).
Quindi abbiamo una funzione continua con valori positivi e negativi, quindi per Weierstrass (mi pare) esiste un valore a tale che f(a)=0.

WonderP.

[Maverick2]

la dimostrazione di WonderP mi piace molto...

[Ramo82]

la tua è una dimostrazione che ricorre all'analisi... si chiedeva una dimostrazione algebrica e penso che la mia lo sia..

[WonderP1]

Forse hai ragione, ma togliendo il teorema di Weierstrass (messo solo per rigorosità) ed utilizzando il ragionamento ci si arriva comunque. ho valori negativi, ho valori positivi, quindi da qualche parte si annulla.

WonderP.

[Principe2]

scusa Wonder ma come si mettono in mezzo i limiti si passa all'analisi..! comunque la tua soluzione è bella

p.s. è il teorema di esistenza degli zeri, che ti garantisce che f(a)=0 per un opportuno a, e non il teorema di Weierstrass

p.p.s. va bene ramona, io ne conoscevo una che non mette in mezzo il th. fond. dell'algebra, però non me la ricordo!!

ciao, ubermensch

[WonderP1]

citazione:

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p.s. è il teorema di esistenza degli zeri, che ti garantisce che f(a)=0 per un opportuno a, e non il teorema di Weierstrass

---

Infatti avevo premesso che non ricordavo bene il nome, quelli li ho dimenticati da un pezzo...

WonderP.

[Principe2]

l'importante è non dimenticarsi come funzionano le cose... e quello non l'hai dimenticato! ad esempio l'osservazione che le funzioni polinomiali sono continue è fondamentale..

[Sk_Anonymous]

Poiche' siamo in tema di zeri, vi propongo questi due
esercizi di cui il primo relativamente facile ,il
secondo leggermente piu' impegnativo:
1)Sia dato il polinomio:
P(x)=(x-a)(x-b)(x-c)-A(x-a)-B(x-b)-C(x-c)
con a,b,c reali ed A,B,C reali e positivi.
Determinare il numero degli zeri reali di P(x).
2)Dimostrare che la funzione razionale
f(x)=A(i)/(x-a(i))+B [i--->1..n]
non ha zeri complessi se gli a(i)e B sono reali e
gli A(i) sono reali e positivi.
karl.

[Nidhogg]

. Quindi se z0 è uno zero del polinomio P, allora anche lo è.Ne deduciamo che un
polinomio a coecienti reali di grado dispari deve avere almeno uno zero reale.

[Nidhogg]

dare una dimostrazione algebrica del seguente fatto: un polinomio di grado dispari ha almeno uno zero reale.

Un polinomio a coefficienti in C di grado n è un'espressione della forma P(z) = a0 + a1z + ... + anz^n;
dove i coeffcienti aj sono in C per ogni j = 0,..., n e an <> 0.
Teorema fondamentale dell'algebra: Ogni polinomio di grado maggiore o
uguale a uno a coefficienti complessi ha almeno uno zero in C.
Quindi ogni polinomio di grado n ha esattamente n zeri complessi (contati con la loro molteplicità). Osserviamo inoltre che se P è un polinomio a coefficienti reali, allora P(Z)(tutto negato) =
P(z) (z negato-simmetrico). Quindi se z0 è uno zero del polinomio P, allora anche z0(z negato-simmetrico) lo è. Ne deduciamo che un
polinomio a coefficienti reali di grado dispari deve avere almeno uno zero reale.

Ciao Ermanno