Polinomi

[faby99s]

mi aiutate a risolvere questo esercizio?
Decomporre f = x4 − ̄4 ∈ Z5[x] come prodotto di polinomi monici irriducibili in Z5[x].
(i) In Z5[x], f ha fattori irriducibili di grado 3?
(ii) In generale, se un polinomio di grado 4 a coefficienti in un campo e privo di radici, questo
polinomio pu`o avere un fattore di grado 3?
(iii) Quanti sono i polinomi di grado 5 in Z5[x] che hanno sia ̄1 che ̄2 come radici?

[thawra69]

Evidentemente no.
Comunque ti lascio il podio,

[faby99s]

"gugo82":Volevi dire una cosa ancora non corretta.

Che libro usi?
Mi pare strano che non ci sia una definizione di polinomio, o di combinare lineare... Guarda bene.

Facchini algebra e matematica discreta...parte a spiegare il polinomio monico..

[gugo82]

Quindi spiega i polinomi monici senza dare una definizione di polinomio... Bene.

La definizione te la do io, così può darsi che ne trai giovamento.
Soprattutto, cerca di dimostrare le varie proprietà che ho scritto qui sotto senza dimostrazione.

Siano $mathbb(K)$ un dominio di integrità unitario (in particolare un campo) e $0,1$ i suoi elementi neutri rispetto alla somma ed al prodotto.
Consiederiamo l'insieme $c_{00}(mathbb(K))$ formato dalle successioni $mathbf(p):=(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ di elementi di $mathbb(K)$ che sono definitivamente nulle, cioè che soddisfano la seguente proprietà:
\[
\exists \nu \in \mathbb{N}:\ \forall n\geq \nu,\quad a_n=0\; .
\]
Su tale insieme si possono definire una somma ed un prodotto ponendo per ogni $mathbf(p)=(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ e $mathbf(q)=(b_n)_{n \in \mathbb{N}}$:
\[
\begin{split}
\mathbf{p} + \mathbf{q} &:= (a_n+b_n)_{n \in \mathbb{N}}\\
\mathbf{p}\cdot \mathbf{q} &:= \left( \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k}\right)_{n \in \mathbb{N}}\; ;
\end{split}
\]
tali operazioni godono delle proprietà seguenti:

[*:2fv74p94] sono entrambe associative e commutative,

[/*:m:2fv74p94]
[*:2fv74p94] $*$ è distributiva rispetto a $+$,

[/*:m:2fv74p94]
[*:2fv74p94] $+$ ha come elemento neutro la successione nulla $mathbf(o)=(0,0,0,0,...)$ e $*$ ha come elemento neutro la successione $mathbf(u)=(1,0,0,0,...)$,

[/*:m:2fv74p94]
[*:2fv74p94] ogni elemento $mathbf(p)=(a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ ha opposto $-mathbf(p):=(-a_n)_{n \in \mathbb{N}}$ rispetto a $+$,[/*:m:2fv74p94][/list:u:2fv74p94]

pertanto l'insieme $c_(00)(mathbb(K))$ con la struttura indotta da tali operazioni forma un anello commutativo unitario che si denota con $mathbb(K)[x]$ e si chiama anello dei polinomi a coefficienti in $mathbb(K)$ ed ogni suo elemento $mathbf(p)$ si chiama polinomio a coefficienti in $mathbb(K)$.

Fissato un polinomio $mathbf(p) = (a_n)_(n in NN) in mathbb(K)[x]$ con $mathbf(p) != mathbf(o)$, è facile dimostrare che esiste un unico $N in NN$ tale che $AA n >= N$ risulta $a_n=0$ ed $a_N != 0$: il numero $N$ si chiama grado di $mathbf(p)$ e si denota con $"grad"(mathbf(p))$ o con $v(mathbf(p))$.
Il polinomio nullo $mathbf(o)$ è l'unico a non avere grado e, per convenzione, talvolta si pone $"grad"(mathbf(o))=-oo$.

Con questa definizione di grado è semplice dimostrare che vale la regola di addizione dei gradi:
\[
\forall \mathbf{p}, \mathbf{q} \in \mathbb{K}[x],\quad \text{grad}(\mathbf{p}\cdot \mathbf{q}) = \text{grad}(\mathbf{p}) + \text{grad}(\mathbf{q})
\]
(in cui, se si usa la convenzione $"grad" (mathbf(o)) = -oo$ conviene definire $N+(-oo)=-oo=(-oo)+N$ per ogni $N in NN$). Da ciò segue che $mathbb(K)[x]$ soddisfa la legge di annullamento del prodotto:
\[
\mathbf{p}\cdot \mathbf{q} = \mathbf{o} \quad \Leftrightarrow \quad \mathbf{p} = \mathbf{o} \lor \mathbf{q} = \mathbf{o}\; ,
\]
ossia che $mathbb(K)[x]$ è un dominio di integrità.

Su $mathbb(K)[x]$ si può inoltre definire un'operazione di prodotto per lo scalare ponendo:
\[
\alpha \bullet \mathbf{p} := (\alpha a_n)_{n\in \mathbb{N}}
\]
per ogni $mathbf(p)=(a_n)_(n in NN) in mathbb(K)[x]$ ed ogni $alpha in mathbb(K)$; l'operazione così definita gode delle proprietà usuali di un prodotto per lo scalare (e perciò il simbolo \(\bullet\) può essere omesso nelle scritture), sicché $mathbb(K)[x]$ si può riguardare anche come modulo su $mathbb(K)$ (o spazio vettoriale, se $mathbb(K)$ è un campo).

Risulta molto semplice dimostrare che l'insieme \(K =\{ \alpha \bullet \mathbf{u}, \text{ con } \alpha \in \mathbb{K}\} \subset \mathbb{K}[x]\) (che coincide con l'insieme dei polinomi di grado $<= 0$) è un sottoanello di $mathbb(K)[x]$ isomorfo a $mathbb(K)$; pertanto ogni elemento $alpha in mathbb(K)$ può essere identificato con il corrispondente elemento \(\alpha \bullet \mathbf{u} \in \mathbb{K}[x]\).

Abbiamo visto che un polinomio a coefficienti in $mathbb(K)$ altro non è che una successione definitivamente nulla di elementi di $mathbb(K)$.
Per ottenere un polinomio nella forma cui siamo più abituati dalle scuole, ragioniamo come segue.
Scegliamo la famiglia $B=\{ mathbf(p)_k, " con " k in NN\}$, coi polinomi $mathbf(p)_k$ aventi coefficienti $a_(k,n):=\{ (1, ", se " n=k), (0, ", se " n!= k):}$, e scegliamo di denotare ognuno di tali polinomi semplicemente col simbolo $x^k$: dunque, ad esempio:
\[
\begin{split}
x^0 &= \mathbf{p}_0 = (1,0,0,0,0,\dots) = 1\bullet \mathbf{u} = 1 \\
x^1 &= \mathbf{p}_1 = (0,1,0,0,0,\dots ) =: x\\
x^2 &= \mathbf{p}_2 = (0,0,1,0,0,\dots )\\
x^3 &= \mathbf{p}_3 = (0,0,0,1,0,\dots) \\
\text{etc} &\dots
\end{split}
\]
Fatta tale scelta, si vede facilmente che ogni $mathbf(p) in mathbb(K)[x]$ si può esprimere in unico modo come combinazione lineare (finita!) dei vettori della famiglia \(B=\{1,x,x^2,x^3, \dots \}\); in particolare, se $mathbf(p)=(a_n) != mathbf(o)$ con $"grad"(mathbf(p)) = N$, allora risulta:
\[
\mathbf{p} = \sum_{n=0}^N a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_N x^N\; ,
\]
mentre evidentemente $mathbf(o) = 0 mathbf(u) = 0$. Questa notazione serve a fare più velocemente le operazioni tra polinomi, poiché si possono sfruttare tutte le usuali regole di calcolo letterale (che sono valide per come si sono definite le operazioni di somma e prodotto tra polinomi: ad esempio, prova a dimostrare che $x^n*x^m = x^(n+m)$).

Ritroviamo in questo modo la definizione "scolastica" di polinomio e di grado:


"Un polinomio $mathbf(p)$ nell'indeterminata $x$ è la somma di un numero finito di monomi, cioè di prodotti di coefficienti per potenze (ad esponente naturale) di $x$; ed il grado del polinomio $mathbf(p)$ è il più grande degli esponenti di $x$ che compare nella espressione di $mathbf(p)$".

Ciò detto, i polinomi $x +- sqrt(2)$ non sono elementi di $ZZ_5[x]$ per il semplice fatto che $ZZ_5=\{0,1,2,3,4\}$ e che $sqrt(2)$ non appartiene a $ZZ_5$.[nota]Nemmeno usando un po' di fantasia... Infatti, dando per buono il fatto che il simbolo $sqrt(2)$ denoti un elemento $a in ZZ_5$ tale che $a^2 = 2$, si vede che un tale $a$ non esiste: infatti risulta:
\[
0^2 = 0,\ 1^2 = 1,\ 2^2 =4,\ 3^2 = 4,\ 4^2 = 1
\]
in $ZZ_5$, sicché $2$ non è il quadrato di nessun elemento $a in ZZ_5$.[/nota]

[faby99s]

ah grazie mille....un'ultima cosa come faccio a trovare il polinomio che divide f per applicare il teorema di ruffini?

[vict85]

Quali sono le ipotesi del teorema di Ruffini? Insomma, un teorema può essere applicato solo se le sue ipotesi sono soddisfatte. Mi sembra che tu stia cercando di risolvere questo esercizio con le conoscenze del liceo, e senza usare le nozioni che dovresti aver studiato per l'esame in questione.

Detto questo, quel polinomio ha radici in \(\mathbb{Z}_5\)? Calcolando si ricava che \(\displaystyle [0]^4 = [0] \), \(\displaystyle [1]^4 = [1] \), \(\displaystyle [2]^4 = [16] = [1] \), \(\displaystyle [3]^4 = [81] = [1] \) e \(\displaystyle [4]^4 = [256] = [1] \). Cosa ne deduci? Da questo dovresti anche poter rispondere alla domanda (i).

Per comodità ti riporto la tabella delle moltiplicazioni in \(\mathbb{Z}_5\) (sperando di non aver fatto errori di calcolo).

	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	1
1	2	3	4	2	0
4	1	3	3	0	3
4	2	4	0	4	3

[thawra69]

@Gugo
[ot]Non avevi detto che aveva capito?
Queste primedonne...[/ot]

[xdom="vict85"]Evitiamo gli OT per favore.[/xdom]

[gugo82]

"Antonio Mantovani":@Gugo
[ot]Non avevi detto che aveva capito?
Queste primedonne...[/ot]

[ot]No.

Ho scritto che i miei post "non hanno bisogno di esegesi" e che le mie domande "sono sufficientemente chiare".
Su ciò che compete agli altri non uso di solito fare ipotesi. Quando ho bisogno di certezze su ciò che compete all'altro, domando per sapere.[/ot]

[faby99s]

"vict85":Quali sono le ipotesi del teorema di Ruffini? Insomma, un teorema può essere applicato solo se le sue ipotesi sono soddisfatte. Mi sembra che tu stia cercando di risolvere questo esercizio con le conoscenze del liceo, e senza usare le nozioni che dovresti aver studiato per l'esame in questione.

Detto questo, quel polinomio ha radici in \(\mathbb{Z}_5\)? Calcolando si ricava che \(\displaystyle [0]^4 = [0] \), \(\displaystyle [1]^4 = [1] \), \(\displaystyle [2]^4 = [16] = [1] \), \(\displaystyle [3]^4 = [81] = [1] \) e \(\displaystyle [4]^4 = [256] = [1] \). Cosa ne deduci? Da questo dovresti anche poter rispondere alla domanda (i).

Per comodità ti riporto la tabella delle moltiplicazioni in \(\mathbb{Z}_5\) (sperando di non aver fatto errori di calcolo).

	0	1	2	3	4
0	0	0	0	0	1
1	2	3	4	2	0
4	1	3	3	0	3
4	2	4	0	4	3

Posso dire che non ha fattori irriducibili di grado tre
Il teorema di ruffini dice che se A è un anello commutativo unitario e f appartiene a A[x]e c appartiene ad A allora c è radice di f se è solo se x-c|f

[vict85]

Ok, se \(p:x^4-4\) non ha fattori di grado \(1\) e \(3\), che opzioni ti rimangono? Tieni conto che quel polinomio può anche essere scritto come \(x^4+1\).

[faby99s]

"vict85":Ok, se \(p:x^4-4\) non ha fattori di grado \(1\) e \(3\), che opzioni ti rimangono? Tieni conto che quel polinomio può anche essere scritto come \(x^4+1\).

Che non può avere un fattore di grado tre....quindi si può fare anche senza ruffini? Mentre invece il punto tre come lo faccio c’è non ho capito se considero due equazioni generiche di grado 5 a cosa devo sostituire 1 e 2?

[vict85]

Quello che intendevo dire è che sai già come scomporre quel polinomio in componenti irriducibili. Ovvero \(x^4 + 1 = (x^2+2)(x^2+3)\) (nota che \(-2 = 3\) e che \(1 = -4\) ). Puoi verificare che sono irriducibili.

Se è di grado \(5\) e ha \(1\) e \(2\) come radici allora sai che \(\displaystyle p = a(x-1)(x-2)f = a(x+4)(x+3)f \) dove \(a\in\mathbb{Z}_5-\{0\}\) e \(f\) è monico. Il resto lo lascio immaginare a te.

[faby99s]

"vict85":Quello che intendevo dire è che sai già come scomporre quel polinomio in componenti irriducibili. Ovvero \(x^4 + 1 = (x^2+2)(x^2+3)\) (nota che \(-2 = 3\) e che \(1 = -4\) ). Puoi verificare che sono irriducibili.

Se è di grado \(5\) e ha \(1\) e \(2\) come radici allora sai che \(\displaystyle p = a(x-1)(x-2)f = a(x+4)(x+3)f \) dove \(a\in\mathbb{Z}_5-\{0\}\) e \(f\) è monico. Il resto lo lascio immaginare a te.

Non ho capito potresti spiegarmi meglio

[vict85]

Cosa non hai capito?

[faby99s]

"vict85":Cosa non hai capito?

Perché 2 e 3 c’è se io vado a svolgere (x+2)(x+3) non ottengo x^4-1

[vict85]

Hai scritto sbagliato tutti e tra i polinomi. Si tratta di \((x^2+2)(x^2+3) = x^4+1\). Tu cosa hai ricavato? E ricorda che non siamo in \(\mathbb{Z}\).

[faby99s]

"vict85":Hai scritto sbagliato tutti e tra i polinomi. Si tratta di \((x^2+2)(x^2+3) = x^4+1\). Tu cosa hai ricavato? E ricorda che non siamo in \(\mathbb{Z}\).

Sisi io sinceramente ho scomposto (x^4-4) come (x^4-1)(x^4+1) poi per il punto uno ho calcolato f(0),f(1),f(3),f(4) e non ottengo mai zero quindi non ha radici ed è irriducibile ora gli altri due punti non so come andare avanti

[Bladerunner2019]

Ciao, continuando l'esercizio, ti trovi che :
Decomposto il polinomio (x^2-2)(x^2+2) ed è un prodotto di polinomi irriducibili non avendo radici.

(i) Qua , non ha fattori irriducibili di grado 3

(ii) In generale , seguendo ruffini, se ho un polinomio di grado 4 a coefficenti in un campo , se è privo di radici , questo polinomio posso scomporlo in due polinomi di grado 2 , quindi non può avere un fattore di grado 3. Impossibile.

(iii) Questo è l'unico punto che non mi trovo perchè , ho fatto le due equazioni

sost(-1) -a-b-c+d-e+f=0
sost(-2) -32a+16b-8c+4d-2e+f=0

solo che mi vengono infinite soluzioni , ho controllato online tramite calcolo e mi da sempre infinite , come lo risolvo questo punto? Grazie infinitamente della risposta nel caso

[gugo82]

[xdom="gugo82"]"Continuando l'esercizio" dopo un anno?
La prossima volta, butta uno sguardo alla data dell'ultimo post.

Chiudo.[/xdom]