Piccola curiosità su anelli a coefficienti nelle classi di resti

[jitter1]

Mi chiedevo una cosa. Siccome in $Z_2[x]$ o in altre classi di resto un'equazione come $x^2+1 = 0$ ha soluzioni, se fosse rappresentata geometricamente la curva $y = x^2+1$, questa curva intersecherebbe l'asse x e non sarebbe più la stessa parabola. La domanda è, in generale: di questi polinomi viene data una rappresentazione geometrica? Se sì, che succede...? (se si può dare un'idea e se la domanda ha senso)

[forse è solo una parabola in cui in corrispondenza di $x = +-1$ si ha una sorta di punto di discontinuità perché lì la funzione è zero... peccato, pensavo venisse fuori una figura più "artistica"]

[Epimenide93]

Se la interpreti come funzione \(\mathbb Z / (2) \to \mathbb Z / (2)\) il diagramma cartesiano ha solo quattro punti, quindi i grafici possibili constano di pallini neri in una matrice $2 \times 2$ (questa ne ha uno in $(0,1)$ ed uno in $(1,0)$; nota che è lo stesso grafico della funzione $x+1$, in questo caso un polinomio non identifica univocamente una funzione). Può sembrare poco artistico, ma la storia ovviamente non finisce qui. Salta fuori che anelli del tipo di \(\mathbb Z / (2)\) danno luogo a questioni geometriche molto interessanti, ma la geometria è in un certo senso "nascosta" dal fatto che hanno pochi elementi. Per vederla servono gli occhiali giusti, e questi occhiali sono la teoria degli schemi ed altri oggetti a questa strettamente legati. Di studiare queste cose di solito se ne occupano certi geometri algebrici e certi teorici dei numeri.

[jitter1]

Ciao Epimenide! Grazie, hai soddisfatto la mia curiosità.