Permutazioni

[Liyus]

Qualcuno può aiutarmi con questo esercizio?
nel mio libro la spiegazione sui gruppi simmetrici, gruppi ciclici e gruppi di permutazioni sono poco chiare...introduce gli argomenti ma non spiega niente...

Sia $\sigma$ $in$ $S_15$ la permutazione definita da
$\sigma$ = $((1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15),(6,14,1,10,11,15,5,3,12,9,13,4,7,2,8))$
(1) Scrivere $\sigma$ in prodotto di cicli disgiunti. Determinare ordine e parità.
(2) Determinare l'ordine di ogni sottogruppo di $<\sigma>$, specificando quanti sottogruppi esistono di un dato ordine. Per ciascun sottogruppo, determinare esplicitamente un generatore.

(1) mi esce:
\(\sigma = (1,6,15,8,3)(2,14)(4,10,9,12)(5,11,13,7)\)
\({\text{ord}} = {\text{m.c.m}}(5,2,4) = {\text{20}}\)
\({\text{sgn = dispari}}\)

(2) è la parte che non so come svolgere...
l'ordine di ogni sottogruppo di $<\sigma>$ intende i valori che dividono \({\text{ord}} = {\text{m.c.m}}(5,2,4) = {\text{20}}\)?
come faccio a trovare quanti sottogruppi esistono in dato ordine?
e come determino esplicitamente il generatore?

[Shocker1]

Il punto uno è corretto.
Per quanto riguarda il secondo: l'ordine di un sottogruppo(o gruppo) corrisponde alla sua cardinalità. In questo caso il sottogruppo è generato da $\sigma$ e dunque ha cardinalità $20$(perché?), tale sottogruppo è ciclico e quindi ammette esattamente uno e un solo sottogruppo di ordine $d$ per ogni divisore $d$ di $20$. Per i generatori gioca un po' con le potenze di $\sigma$.