Operatore di chiusura - Reticoli

[Sandokan85]

Ciao a tutti,
sto studiando per l'esame di matematiche discrete e non sono riuscito a dimostrare questo teorema sui reticoli:

Sia $\bar () $ un’operatore di chiusura su A e sia $\C_A$ l’insieme dei chiusi di A.
Allora $\C_A$ = ⟨$\C_A$,∨, ∧⟩ è un reticolo completo dove per ogni U, V ∈ $\C_A$

$\ U ∨ V = $$\bar (U ∪ V )$
$\U ∧ V = U ∩ V $

Viceversa, ogni reticolo completo è isomorfo al reticolo dei chiusi di un operatore algebrico
su un opportuno insieme.

Più che altro non riesco a dimostrare l'isomorfismo. Qualcuno mi può aiutare?

Definizioni:
Operatore di Chiusura: Se A è un insieme, un operatore $\bar ()$ $\ P(A) $$\to$$ P(A) $ si dice operatore di chiusura se per ogni X,Y $\in$ A
$\ X$ $\sube$ $\bar X$
X doppio segnato $\sube$ $\bar X$
se $\X$ $\sube$ $\Y$ allora $\bar X$ $\sube$ $\bar Y$

Reticolo Completo: Un reticolo $\L$ si dice completo se ogni suo sottoinsieme ammette estremo superiore
e inferiore

[perplesso1]

Se non mi ricordo male....

Sia $L$ un reticolo completo e sia $A \subset L$. Considera l'operatore

$\Delta (A) = {x \in L | x <= \bigvee A }$

dovresti riuscire a dimostrare che $\Delta$ è un operatore di chiusura su $L$ e che $L \cong C_{\Delta}$ (l'insieme dei chiusi ordinato mediante l'inclusione) tramite l'isomorfismo $x \in L -> \downarrow x \in C_{\Delta}$