Omomorfismo suriettivo

[JackBogno]

Salve, ho un quesito da risolvere ma non riesco a venirne a capo

Consideriamo il sottoanello del campo complesso $ZZ[sqrt(-7)] = {a + bsqrt(-7) | a,b in ZZ}$

Determinare un omomorfismo suriettivo $ϕ: ZZ[X] → ZZ[sqrt(−7)]$ tale che $Kerϕ = (x^2+7)$

Io provo ponendo $ϕ(x^2+7)=0$ ma non capisco come fare a usare come argomento un qualcosa che dipenda da $x$. Sono fuori strada?

Grazie in anticipo per l'aiuto.

[Pappappero1]

Osserviamo i fatti seguenti, che sono facili da dimostrare e valgono totalmente in generale: sia $R$ un anello con unita';

- esiste un solo omomorfismo $\mathbb{Z} \to R$ (perche' l'unita' di $\mathbb{Z}$ deve andare nell'unita' di $R$);
- per ogni $\alpha \in R$, la valutazione $e_\alpha : \mathbb{Z}[x] \to R$ definita da $e_\alpha(x) = \alpha$ (ed estesa nel modo naturale) e' un omomorfismo di anelli.
- ogni omomorfismo di anelli $f: \mathbb{Z}[x] \to R$ e' una valutazione, nel senso che $f,g: \mathbb{Z}[x] \to R$ sono lo stesso omomorfismo se e solo se $f(x) = g(x)$.

Detto questo, il nostro $\phi$ dovra' soddisfare $\phi(1) = 1$ e $\phi(x) = \alpha$ per qualche $\alpha \in \mathbb{Z}[\sqrt{-7}]$. Inoltre, visto che vogliamo $\ker \phi = (x^2 + 7)$, bisogna che $\alpha^2 + 7 = 0$.

Come si conclude a questo punto?