Omomorfismo di gruppi suriettivi tra permutazioni
In $S_8$ siano $alpha$ e $beta$ due permutazioni, e siano rispettivamente $H$ e $K$ i due sottogruppi così definiti $H=$ e $K=$
a)trovare se esiste un omomorfismo di gruppi suriettivo $f: H -> K$
b) E' possibile definire un omomorfismo di gruppi, diverso dall'omomorfism banale, $g:$ $Z_2 x Z_2 $ $->$ $S_8$ tale che $ Img nn H = Img nn K = {id}? $
Lasciando stare i dettagli cioè il definire le permutazioni eccetera, come bisognerebbe procedere in linea teorica?
Grazie anticipatamente
a)trovare se esiste un omomorfismo di gruppi suriettivo $f: H -> K$
b) E' possibile definire un omomorfismo di gruppi, diverso dall'omomorfism banale, $g:$ $Z_2 x Z_2 $ $->$ $S_8$ tale che $ Img nn H = Img nn K = {id}? $
Lasciando stare i dettagli cioè il definire le permutazioni eccetera, come bisognerebbe procedere in linea teorica?
Grazie anticipatamente
Risposte
Ti dico la mia opinione per quanto riguarda la prima domanda...
Direi che potresti sfruttare il fatto che $H,K in S_8$ sono ciclici perchè generati da quelle due permutazioni, quindi l'idea adatta probabilmente sarebbe creare un omomorfismo che associa il generatore di H in quello di K...sapendo come sono legati i generatori sai come sono legati gli altri elementi dei sottogruppi tramite f.
(e' solo un idea che mi è venuta al volo leggendo la domanda, aspetta però che i senior rispondano)
Direi che potresti sfruttare il fatto che $H,K in S_8$ sono ciclici perchè generati da quelle due permutazioni, quindi l'idea adatta probabilmente sarebbe creare un omomorfismo che associa il generatore di H in quello di K...sapendo come sono legati i generatori sai come sono legati gli altri elementi dei sottogruppi tramite f.
(e' solo un idea che mi è venuta al volo leggendo la domanda, aspetta però che i senior rispondano)
"Lorin":
Ti dico la mia opinione per quanto riguarda la prima domanda...
Direi che potresti sfruttare il fatto che $H,K in S_8$ sono ciclici perchè generati da quelle due permutazioni, quindi l'idea adatta probabilmente sarebbe creare un omomorfismo che associa il generatore di H in quello di K...sapendo come sono legati i generatori sai come sono legati gli altri elementi dei sottogruppi tramite f.
(e' solo un idea che mi è venuta al volo leggendo la domanda, aspetta però che i senior rispondano)
Uhm, essendo entrambi ciclichi prendo il quoziente di H rispetto ad un suo sottogruppo, vedo che ordine ha e cercare se c'è un elemento in K con lo stesso ordine?
Nel primo punto hai un omomorfismo di gruppi ciclici... sarà suriettivo se il generatore di $H$ va in uno dei generatori di $K$ e, poichè in un omomorfismo di gruppi vale che per ogni $x$ l' ordine di $[f(x)]$ divide l'ordine di $(x)$, esiste un omomorfismo suriettivo se l'ordine del generatore del $K$ divide l'ordine del generatore di $H$ (e anzi ce ne sarà più di uno, ce ne saranno tanti quanti sono i generatori di $K$, cioè $phi(K)$, dove $phi$ è la funzione di eulero). Ora per stabilire se esiste sicuramente un omomorfismo suriettivo penso che forse bisognerebbe fare delle considerazioni sulle permutazioni che io conosco molto poco.
Edit: ora che ci penso però non è detto che IN GENERALE questo omomorfismo esiste.... se prendo $H=<(1 2)>$ e $K=<(3 4 5)>$ in $S_8$ vale che $|H|=2$ e $|K|>2$ quindi la cardinalità di $|K|$ non può dividere la cardinalità di $|H|$ ... pertanto in questo caso non esiste un omomorfismo suriettivo. Quindi la risposta alla domanda 1 è che non sempre esiste questo omomorfismo.
Nel secondo punto non hai un omomorfismo fra gruppi ciclici ma noti che il gruppo di partenza, cioè $ZZ_2xxZZ_2$, è un prodotto diretto di gruppi ciclici, quindi basta vedere dove vanno i generatori del gruppo che sono $(1,0)$ e $(0,1)$. Poi varrà che $f( a,b)=a*f(1,0)+b*f(0,1)$ dove se $f(1,0)=p in S_8$ allora $a*f(1,0)=p^a$.
Sia $(1,0)$ che $(0,1)$ hanno ordine 2, quindi l'elemento immagine avrà ordine 1 o ordine 2. Naturalmente $f(0,0)=id$. Ora possiamo analizzare i seguenti casi...
Se $f(1,0)=id=f(0,1)$ si ottiene l'omomorfismo banale che è stato escluso.
Se $f(1,0)=id$ e $f(0,1)=p$ con p permutazione di ordine 2 allora, poichè $f(0,0)=id$ e $f(1,1)=f(1,0)*f(0,1)=id*p=p$ si ha che $ImG={id,p}$ quindi in questo caso l'omomorfismo richiesto esiste se qualunque siano $H$ e $K$ come nella traccia esiste $p$ permutazione di ordine 2 che non appartiene a $H$ e non appartiene a $K$ .
Se $f(1,0)=p$ con $p$ permutazione di ordine 2 e $f(0,1)=id$ abbiamo un caso analogo a quello di prima.
Se infine $f(1,0)=p$ e $f(0,1)=q$ si avrà $f(0,0)=id$ e $f(1,1)=f(1,0)*f(0,1)=p*q$ ma anche $f(1,1)=f(0,1)*f(1,0)=q*p$ quindi $ImG={id,p,q,p*q=q*p}$ pertanto un omomorfismo di questo tipo esiste se qualunque siano $H$ e $K$ come nella traccia esistono due permutazioni $p$ e $q$ di ordine due che non appartengono a $H$ e $K$ e inoltre $p*q=q*p$
Alla fine chiedere se esiste l'omomorfismo significa chiedere se esistono permutazioni di un certo tipo....
Edit: ora che ci penso però non è detto che IN GENERALE questo omomorfismo esiste.... se prendo $H=<(1 2)>$ e $K=<(3 4 5)>$ in $S_8$ vale che $|H|=2$ e $|K|>2$ quindi la cardinalità di $|K|$ non può dividere la cardinalità di $|H|$ ... pertanto in questo caso non esiste un omomorfismo suriettivo. Quindi la risposta alla domanda 1 è che non sempre esiste questo omomorfismo.
Nel secondo punto non hai un omomorfismo fra gruppi ciclici ma noti che il gruppo di partenza, cioè $ZZ_2xxZZ_2$, è un prodotto diretto di gruppi ciclici, quindi basta vedere dove vanno i generatori del gruppo che sono $(1,0)$ e $(0,1)$. Poi varrà che $f( a,b)=a*f(1,0)+b*f(0,1)$ dove se $f(1,0)=p in S_8$ allora $a*f(1,0)=p^a$.
Sia $(1,0)$ che $(0,1)$ hanno ordine 2, quindi l'elemento immagine avrà ordine 1 o ordine 2. Naturalmente $f(0,0)=id$. Ora possiamo analizzare i seguenti casi...
Se $f(1,0)=id=f(0,1)$ si ottiene l'omomorfismo banale che è stato escluso.
Se $f(1,0)=id$ e $f(0,1)=p$ con p permutazione di ordine 2 allora, poichè $f(0,0)=id$ e $f(1,1)=f(1,0)*f(0,1)=id*p=p$ si ha che $ImG={id,p}$ quindi in questo caso l'omomorfismo richiesto esiste se qualunque siano $H$ e $K$ come nella traccia esiste $p$ permutazione di ordine 2 che non appartiene a $H$ e non appartiene a $K$ .
Se $f(1,0)=p$ con $p$ permutazione di ordine 2 e $f(0,1)=id$ abbiamo un caso analogo a quello di prima.
Se infine $f(1,0)=p$ e $f(0,1)=q$ si avrà $f(0,0)=id$ e $f(1,1)=f(1,0)*f(0,1)=p*q$ ma anche $f(1,1)=f(0,1)*f(1,0)=q*p$ quindi $ImG={id,p,q,p*q=q*p}$ pertanto un omomorfismo di questo tipo esiste se qualunque siano $H$ e $K$ come nella traccia esistono due permutazioni $p$ e $q$ di ordine due che non appartengono a $H$ e $K$ e inoltre $p*q=q*p$
Alla fine chiedere se esiste l'omomorfismo significa chiedere se esistono permutazioni di un certo tipo....
"klarence":
Se $f(1,0)=id$ e $f(0,1)=p$ con p permutazione di ordine 2 allora, poichè $f(0,0)=id$ e $f(1,1)=f(1,0)*f(0,1)=id*p=p$ si ha che $ImG={id,p}$ quindi in questo caso l'omomorfismo richiesto esiste se qualunque siano $H$ e $K$ come nella traccia esiste $p$ permutazione di ordine 2 che non appartiene a $H$ e non appartiene a $K$ .
....
Riprendo da qui, forse ci sono.
$H$ e $K$ sono gruppi ciclici, per i gruppi ciclici vale che per ogni $d$ divisore di $|G|$, dove $G$ è un gruppo ciclico, vale che esiste un unico sottogruppo di ordine $d$.
Applicato al nostro caso... se $2$ divide $|K|$ e $2$ divide |H| allora in entrambi i gruppi esiste un unico sottogruppo di ordine 2, quindi esiste un solo elemento di ordine 2 (il sottogruppo di ordine 2 sarà del tipo ${id,b}$ dove $b$ è l'elemento di ordine 2). Se 2 non divide $|H|$ allora non ci saranno li dentro elementi di ordine 2.
Visto quello che ho detto il numero massimo di elementi di ordine 2 distinti che si troveranno in $H$ o in $K$ è $2$, ma sappiamo che in $S_8$ le permutazioni di ordine 2 sono mooolte più di due, quindi sicuramente esiste $p$ permutazione che non appartiene ad $H$ e non appartiene a $K$. Quindi un omomorfismo che risponde alle nostre caratteristiche è quello tale che $f(0,1)=p ; f(1,0)=id$ e di conseguenza $f(1,1)=f(1,0)f(0,1)=id*p=p*id=f(0,1)f(1,0)$. Risponde alle nostre richieste perchè per quello che ho detto prima $p$ non appartiene ad $H$ e a$K$, $Imf={id,p}$ e quindi l'intersezione di $Imf$ con $H$ e con $K$ è la sola identità.
Io inizierei a fare un'ipotesi, l'ordine di K sia un divisore dell'ordine di H altrimenti a meno d'isomorfismi e per il teorema di Lagrange un epimorfismo tra essi non potrebbe esistere!
"j18eos":
Io inizierei a fare un'ipotesi, l'ordine di K sia un divisore dell'ordine di H altrimenti a meno d'isomorfismi e per il teorema di Lagrange un epimorfismo tra essi non potrebbe esistere!
Che poi in un gruppo ciclico sarebbe come dire che l'ordine del generatore di $K$ divide l'ordine del generatore di $H$... o no?
Penso di aver capito. Ma in teoria qual è la condizione sufficiente per cui l'omomorfismo è suriettivo?
"Kekec":
Penso di aver capito. Ma in teoria qual è la condizione sufficiente per cui l'omomorfismo è suriettivo?
Se $f$ è un omomorfismo fra gruppi ciclici $G$ e $G'$ ( quindi $f:G->G'$) c'è proprio una condizione necessaria e sufficiente...
''$f$ è suriettiva'' se e solo se ''la cardinalità di $G'$ divide la cardinalità di $G$ e $f(g)=g'$ (dove g,g' sono elementi rispettivamente .di $G$ e $G'$ tali che $G=
"klarence":
[quote="Kekec"]Penso di aver capito. Ma in teoria qual è la condizione sufficiente per cui l'omomorfismo è suriettivo?
Se $f$ è un omomorfismo fra gruppi ciclici $G$ e $G'$ ( quindi $f:G->G'$) c'è proprio una condizione necessaria e sufficiente...
''$f$ è suriettiva'' se e solo se ''la cardinalità di $G'$ divide la cardinalità di $G$ e $f(g)=g'$ (dove g,g' sono elementi rispettivamente .di $G$ e $G'$ tali che $G=
Perché $f$ è omomorfismo suriettivo se e solo se la cardinalità di $G'$ divide la cardinalità di $G$?
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