Omomorfismo anello quoziente
Mi sono imbattuto nel seguente esercizio:
Si verifichi quando la posizione $f((a,b,c)+U)=(a-3c,b)$ definisce un'applicazione di $F^3/U \to F^2$ e in tal caso si provi che tale applicazione è un isomorfismo di F-spazi vettoriali, precisandone anche l'inversa, con $U=<(7,0,6),(4,0,5)>$ in funzione della caratteristica.
Ora io so che la dim di U è 2. Considero $g(x)=f([x])$ e applico il teorema fondamentale di omomorfismo. Essendo f omorfismo con $Im(F^3)=F^2$, g è omomorfismo .
Dovrei provare che Kerf=U, ma la dimensione non si trova... mi sa che ho sbagliato i calcoli da qualche parte.
Inoltre quali sono i casi in cui g non è un'applicazione? Deve essere la dimensione del quoziente almeno due?
E l'inversa come la trovo? $g^-1(a,b)=g((a,b,0)+U)$ , tanto mica deve essere iniettiva?
Si verifichi quando la posizione $f((a,b,c)+U)=(a-3c,b)$ definisce un'applicazione di $F^3/U \to F^2$ e in tal caso si provi che tale applicazione è un isomorfismo di F-spazi vettoriali, precisandone anche l'inversa, con $U=<(7,0,6),(4,0,5)>$ in funzione della caratteristica.
Ora io so che la dim di U è 2. Considero $g(x)=f([x])$ e applico il teorema fondamentale di omomorfismo. Essendo f omorfismo con $Im(F^3)=F^2$, g è omomorfismo .
Dovrei provare che Kerf=U, ma la dimensione non si trova... mi sa che ho sbagliato i calcoli da qualche parte.
Inoltre quali sono i casi in cui g non è un'applicazione? Deve essere la dimensione del quoziente almeno due?
E l'inversa come la trovo? $g^-1(a,b)=g((a,b,0)+U)$ , tanto mica deve essere iniettiva?
Risposte
La richiesta dell'esercizio non ha molto senso. Sei sicuro del testo?
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