Omomorfismi di gruppi ciclici
Ciao a tutti! Sono nuovo del forum 
Sia $f:A→B$ omomorfismo di gruppi.
Se $A$ e' un gruppo ciclico allora anche $B$ e' un gruppo ciclico? O questo si può solo dire limitatamente all'immagine $Imf$ dell'omomorfismo?
Inoltre volevo chiedere come si può dimostrare che NON esiste un omomorfismo $f:ZZ_5→ZZ_12$.
Grazie in anticipo!
Sia $f:A→B$ omomorfismo di gruppi.
Se $A$ e' un gruppo ciclico allora anche $B$ e' un gruppo ciclico? O questo si può solo dire limitatamente all'immagine $Imf$ dell'omomorfismo?
Inoltre volevo chiedere come si può dimostrare che NON esiste un omomorfismo $f:ZZ_5→ZZ_12$.
Grazie in anticipo!
Risposte
La prima domanda ha risposta negativa, basti considerare $f: \mathbb{Z_2} \to \mathbb{Z}$ che manda tutto in $0$.
La seconda domanda ha risposta positiva: sia $f: G \to G'$ omo di gruppi, $G$ ciclico, allora per il primo teorema di omomorfismo $Im(f)$ è isomorfo a $G // Ker(f)$ che è ciclico perché il quoziente di un gruppo ciclico per un suo sottogruppo è ciclico(esercizio!).
Per l'ultima domanda ti do un hint: i due gruppi sono finiti, che relazione c'è fra $[1]_5$ e la sua immagine $f([1]_5)$?
La seconda domanda ha risposta positiva: sia $f: G \to G'$ omo di gruppi, $G$ ciclico, allora per il primo teorema di omomorfismo $Im(f)$ è isomorfo a $G // Ker(f)$ che è ciclico perché il quoziente di un gruppo ciclico per un suo sottogruppo è ciclico(esercizio!).
Per l'ultima domanda ti do un hint: i due gruppi sono finiti, che relazione c'è fra $[1]_5$ e la sua immagine $f([1]_5)$?
Ti ringrazio Shocker,
riguardo all'ultima domanda, beh so che l'immagine $f([1]_5)$ dell'unità di $ZZ_5$ è l'unità di $[1]_12$ di $ZZ_12$. Forse posso utilizzare il fatto che il periodo dell'unità di $ZZ_12$ non divide il periodo dell'unità di $ZZ_5$ e da questo dimostrare che la proprietà dell'omomorfismo di conservare le operazioni $phi(ab)=phi(a)phi(b)$ non è verificata, ma non riesco a formalizzare la cosa.
riguardo all'ultima domanda, beh so che l'immagine $f([1]_5)$ dell'unità di $ZZ_5$ è l'unità di $[1]_12$ di $ZZ_12$. Forse posso utilizzare il fatto che il periodo dell'unità di $ZZ_12$ non divide il periodo dell'unità di $ZZ_5$ e da questo dimostrare che la proprietà dell'omomorfismo di conservare le operazioni $phi(ab)=phi(a)phi(b)$ non è verificata, ma non riesco a formalizzare la cosa.
"Shocker":Occhio, $ZZ$ è ciclico
La prima domanda ha risposta negativa, basti considerare $f: \mathbb{Z_2} \to \mathbb{Z}$ che manda tutto in $0$.
"Martino":Occhio, $ZZ$ è ciclico:)[/quote]
[quote="Shocker"]La prima domanda ha risposta negativa, basti considerare $f: \mathbb{Z_2} \to \mathbb{Z}$ che manda tutto in $0$.
E hai ragione, scusate!
Basta sostituire $ZZ$ con un gruppo non ciclico, per esempio $S3$ oppure $QQ$.
@DdosFv intanto potresti dimostrare che se $f: A \to B$ è un omomorfismo di gruppi e $x \in A$ ha ordine(o periodo) finito allora $o(f(x)) | o(x)$
La risposta alla prima domanda è banalmente no, perché si può prendere il morfismo zero da un ciclico a un qualsiasi gruppo non ciclico; la domanda diventa meno banale se chiedi se per caso, quando $f : G \to H$ è nonzero e $G$ è ciclico, allora $H$ è ciclico. Ovviamente no, e gli esempi fatti sopra vanno bene (in $\mathbb Q$ selezioni la copia di $\mathbb Z_2$ data da $\{\pm 1\}$, in $Sym(3)$ selezioni lo scambio $(12)$... etc).
Per la risposta alla seconda domanda, è un fatto più generale che se $m,n$ sono coprimi, allora non esistono morfismi non zero tra il ciclico con $m$ elementi e quello con $n$ elementi (se $g$ genera, l'ordine di $f(g)$ è...)
Per la risposta alla seconda domanda, è un fatto più generale che se $m,n$ sono coprimi, allora non esistono morfismi non zero tra il ciclico con $m$ elementi e quello con $n$ elementi (se $g$ genera, l'ordine di $f(g)$ è...)
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