Numero di funzioni tra due insiemi di cardinalità finita
Buongiorno,
chiedo aiuto su questa dimostrazione lasciata per esercizio che dovrebbe essere banale..
Sono a pagina 34 di "Algebra" di Di Martino.
Per dimostrare che la funzione h tra l'insieme F delle funzioni da A di cardinalità m a B di cardinalità n è tale che $|F|=n^m$, chiede di mostrare per esercizio che prendendo una funzione h da F in $B^m$ tale h è iniettiva.
Perchè?
Io non riesco a comprenderlo..
Grazie!
chiedo aiuto su questa dimostrazione lasciata per esercizio che dovrebbe essere banale..
Sono a pagina 34 di "Algebra" di Di Martino.
Per dimostrare che la funzione h tra l'insieme F delle funzioni da A di cardinalità m a B di cardinalità n è tale che $|F|=n^m$, chiede di mostrare per esercizio che prendendo una funzione h da F in $B^m$ tale h è iniettiva.
Perchè?
Io non riesco a comprenderlo..
Grazie!
Risposte
Ciao,
Dati due insiemi $A, B$, se esiste una funzione $f: A \to B$ iniettiva allora $|A| \leq |B|$, dove con $| \cdot |$ indico la cardinalità di un insieme. Quindi, per esempio, nel caso in cui $|A| = n$, e $|B| = m$, cioè sono insiemi finiti di $n$ e $m$ elementi, allora una funzione iniettiva fra $A$ e $B$ implica che $n <= m$.
Dati due insiemi $A, B$, se esiste una funzione $f: A \to B$ iniettiva allora $|A| \leq |B|$, dove con $| \cdot |$ indico la cardinalità di un insieme. Quindi, per esempio, nel caso in cui $|A| = n$, e $|B| = m$, cioè sono insiemi finiti di $n$ e $m$ elementi, allora una funzione iniettiva fra $A$ e $B$ implica che $n <= m$.
Ciao Shocker,
grazie della risposta!
Quello che scrivi mi torna, però non capisco comunque come mostrare l'iniettività della funzione tra l'insieme F delle funzioni tra A e B di cardinalità $n^m$ e $B^m$.
Una funzione è iniettiva se a elementi diversi corrispondono elementi diversi nell'immagine, perchè non può accadere in questo caso che non lo sia?
Se ad esempio l'insieme A ha due elementi ed a questi f associa i valori 1 e 3, mentre f2 associa 1 e 7, ho che le due funzioni sono iniettive, ma la funzione h, tra l'insieme delle due funzioni e $B^m$ non è iniettiva, perchè 1 è immagine di due elementi diversi.
?
grazie della risposta!
Quello che scrivi mi torna, però non capisco comunque come mostrare l'iniettività della funzione tra l'insieme F delle funzioni tra A e B di cardinalità $n^m$ e $B^m$.
Una funzione è iniettiva se a elementi diversi corrispondono elementi diversi nell'immagine, perchè non può accadere in questo caso che non lo sia?
Se ad esempio l'insieme A ha due elementi ed a questi f associa i valori 1 e 3, mentre f2 associa 1 e 7, ho che le due funzioni sono iniettive, ma la funzione h, tra l'insieme delle due funzioni e $B^m$ non è iniettiva, perchè 1 è immagine di due elementi diversi.
?
Ciao,
se ho capito bene hai una funzione $h: F \to B^m$, potresti scrivere com'è definita $h$?
se ho capito bene hai una funzione $h: F \to B^m$, potresti scrivere com'è definita $h$?
Ciao,
Di Martino scrive: "...Proponiamo un'altra dimostrazione del fatto che l'insieme $F$ delle funzioni da un insieme $A$ di cardinalità $m$ ad un insieme B di cardinalità $n$ è tale che $|F|=n^m$.
Elenchiamo gli $m$ elementi di $A :{ (a_1),(a_2),......(a_m)}$ e mostriamo come esista una funzione biunivoca dall'insieme $F$ in $B^m$. Consideriamo la funzione $h$ da $F$ in $B^m$ definita da: $h(f)=(f(a_1),f(a_2),......f(a_m)) in B^m$. Provare per esercizio che h è iniettiva...".
Perchè deve essere proprio così?
La funzione $h$ non potrebbe associare a due elementi diversi di $F$ (ad esempio $f_1(a_1)$ e $f_2(a_1)$ ) lo stesso elemento di B?
Grazie!
Di Martino scrive: "...Proponiamo un'altra dimostrazione del fatto che l'insieme $F$ delle funzioni da un insieme $A$ di cardinalità $m$ ad un insieme B di cardinalità $n$ è tale che $|F|=n^m$.
Elenchiamo gli $m$ elementi di $A :{ (a_1),(a_2),......(a_m)}$ e mostriamo come esista una funzione biunivoca dall'insieme $F$ in $B^m$. Consideriamo la funzione $h$ da $F$ in $B^m$ definita da: $h(f)=(f(a_1),f(a_2),......f(a_m)) in B^m$. Provare per esercizio che h è iniettiva...".
Perchè deve essere proprio così?
La funzione $h$ non potrebbe associare a due elementi diversi di $F$ (ad esempio $f_1(a_1)$ e $f_2(a_1)$ ) lo stesso elemento di B?
Grazie!
Ciao,
penso di aver fatto un esempio sbagliato.
Se $h$ è definita su un insieme di funzioni gli elementi del suo dominio non sono $f_1(a1)$ e $f_2(a1)$, ma sono le funzioni stesse. Se $h$ associasse a due funzioni diverse di $F$ la stessa immagine in $B^m$, tali funzioni sarebbero uguali.
Quindi $h$ non può che essere iniettiva.
E' così?
penso di aver fatto un esempio sbagliato.
Se $h$ è definita su un insieme di funzioni gli elementi del suo dominio non sono $f_1(a1)$ e $f_2(a1)$, ma sono le funzioni stesse. Se $h$ associasse a due funzioni diverse di $F$ la stessa immagine in $B^m$, tali funzioni sarebbero uguali.
Quindi $h$ non può che essere iniettiva.
E' così?
"isottina7":
Ciao,
penso di aver fatto un esempio sbagliato.
Se $ h $ è definita su un insieme di funzioni gli elementi del suo dominio non sono $ f_1(a1) $ e $ f_2(a1) $, ma sono le funzioni stesse. Se $ h $ associasse a due funzioni diverse di $ F $ la stessa immagine in $ B^m $, tali funzioni sarebbero uguali.
Quindi $ h $ non può che essere iniettiva.
E' così?
Ciao,
Beh sì, se fosse $h(f_1) = h(f_2)$ allora $f_1(a_i) = f_2(a_i) \forall i= 1, ..., m$ da cui $f_1 = f_2$(poiché coincidono in ogni punto del dominio etc.), quindi $h$ è iniettiva.
Grazie!!!
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